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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其目录 上页 下页 返回 结束 相应于自变量增量定义定义:若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理:函数在点 可微的充要条件充要
2、条件是即在点可微可微,的微分，且可微时必目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:函数证证:“必要性必要性”已知在点 可微,则故在点 可导,且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且可微时必即目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 可导,则目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,基本初等函数的微分公
3、式(见 P116表)函数 y=f(x)在任意点 x 处的微分称为函数的微分,记作dy或df(x)，如目录 上页 下页 返回 结束 二、二、微分运算法则微分运算法则设 u(x),v(x)均可微,则(C 为常数)分别可微,的微分为微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求 解解:目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设求 解解:利用一阶微分形式不变性,有例例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 数学中的反问题往往出现多值性.注意:目录 上页 下页 返回 结束 三、三、微分在近似计算中的应用
4、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:或目录 上页 下页 返回 结束 特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得目录 上页 下页 返回 结束 的近似值.解解:例例4.计算目录 上页 下页 返回 结束 例例5.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为，镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分概念 微分的定义及几何意义 可微可导2.微分运算法则微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.目录 上页 下页 返回 结束 2.目录 上页 下页 返回 结束 5.设由方程确定,解解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设 且则目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P123 1;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);9(2);*12习题课 目录 上页 下页 返回 结束 1.已知求解解：因为所以备用题备用题目录 上页 下页 返回 结束 已知求解解:方程两边求微分,得2.习题课