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1、初中数学九年级培优目录第 1 讲 二次根式的性质和运算(P2-7)第 2 讲 二次根式的化简与求值(P7-12)第 3 讲 一元二次方程的解法(P13-16)第 4 讲 根的判别式及根与系数的关系(P16-22)第 5 讲 一元二次方程的应用(P23-26)第 6 讲 一元二次方程的整数根(P27-30)第 7 讲 旋转和旋转变换（一）(P30-38)第 8 讲 旋转和旋转变换（二）(P38-46)第 9 讲 圆的基本性质(P47-51)第 10 讲 圆心角和圆周角(P52-61)第 11 讲 直线与圆的位置关系（P62-69）第 12 讲 圆内等积证明及变换(P70-76)第 13 讲 弧长
2、和扇形面积(P76-78)第 14 讲 概率初步(P78-85)第 15 讲 二次函数的图像和性质(P85-91)第 16 讲 二次函数的解析式和综合应用(P92-98)第 17 讲 二次函数的应用(P99-108)第 18 讲 相似三角形的性质 (P109-117)第 19 讲 相似三角形的判定(P118-124)第 20 讲 相似三角形的综合应用(P124-130)每天进步一点点！坚持就是胜利！第 1 讲 二次根式的性质和运算考点方法破译1了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件
3、，求参数的值（或取值范围）.经典考题赏析【例】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.21a12827【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：被开方式中不能含分母；被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母， C、D 含开方数 4、9，故选 A.【变式题组】1（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.0862 ； ； ； ，最简二次根式是（ ）2ab5x2xy7abcA, B, C, D,【例】(黔东南)方程 ，当 y0 时，m 的取值范围是（ ）48A0m1 Bm2 Cm2 Dm 2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问
4、题，隐含两个代数式均为 0 的结论.由题意得4x80，xy m0.化为 y2m，则 2m0，故选 C.【变式题组】2 （宁波）若实数 x、y 满足 ，则 xy 的值是_.2(3)y3 （荆门）若 ，则 xy 的值为（ ）1A 1 B1 C2 D34 （鄂州）使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ）34xAx3 Bx 3 Cx 4 Dx3 且 x45.（怀化） ，则 abc_.22()0abc【例】下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）A B C D18304854【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A ； B 不能化简；C
5、. ；D ，而 .故本题应选 D.1832304835436246【变式题组】6如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a_8a172a7在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A 和 B 和 C 和 D 和31832b21a8已知最简二次根式 和 是同类二次根式，则 a_，b_.ba2【例】下列计算正确的是（ ）A B53284C D7(12)1【解法指导】正确运用二次根式的性质 ； ； 2()(0)a 2(0)a； 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的(0,)abab (,)ba 项不能合并.D. .故本题应选 C.2121)【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是
6、（ ）A B3465842C D27(3)10计算： _207207(1)(4111 _33)12(济宁)已知 a 为实数，那么 （ ）2aAa Ba C1 D013已知 ab0，ab6 ，则 的值为（ ）bbA B2 C D21【例】已知 xy0，化简二次根式 的正确结果为（ ）2yxA B C D yyy【解法指导】先要判断出 y0，再根据 xy0 知 x0. 故原式 .选 D.2xy【变式题组】14已知 a、b、c 为AB C 三边的长，则化简 的结果是_.2()abcc15观察下列分母有理化的计算： ， ， ，算果1213143中找出规律，并利用这一规律计算：_.1( )(06)232
7、062516已知，则 0x1，则 _.211()4()4xx【例】 （辽宁）先化简吗，再求值： ，其中 ， .()baa512b已知 ， ，那么代数式 值为_.32x32y2()xy【解法指导】对于，先化简代数式再代入求值；对于，根据已知数的特征求 xy、x y 的值，再代入求值.【解】原式 ，当 ， 时，ab1，ab ,22()()abbab512ab5原式 .5由题意得：xy1，xy 10, 原式 .1019【变式题组】17 （威海）先化简，再求值：(ab) 2(ab)(2ab) 3a 2，其中 , .32b18 （黄石）已知 a 是 的小数部分，那么代数式 的值为_.43224()(4a
8、【例】已知实数 x、y 满足 ，则 3x22y 23x 3y2007 的值为2(08)08)xy（ ）A2008 B2008 C1 D1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a、b 的关系，再代入求值.解: ，22(08)(08)xy ，2208y，由以上两式可得 xy.2(08)y208x2x , 解得 x22008，所以2x3x22y 23x 3y20073x 22x 23x 3x2007x 22007 1，故选 D.【变式题组】19若 a0，b0，且 ，求 的值.()(5)abab3ab演练巩固反馈提高01若 ，则估计 m 的值所在的范围是（ ）40mA1m2 B2m3 C
9、3m 4 D4m502 （绵阳）已知 是正整数，则实数 n 的最大值为（ ）nA12 B11 C8 D303 （黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.7312204 （贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.2681005下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.123x322ab06 （常德）设 a2 0， b(3) 2, , , 则 a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的是（ 39c1()d）Acadb Bbd ac Cacdb Dbcad07 （十堰）下列运算正确的是（ ）A B325326C D2(31)25
10、308如果把式子 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）1()aA B C D11a1a09 （徐州）如果式子 化简的结果为 2x3，则 x 的取值范围是（ ）2(1)xAx1 Bx2 C1x2 Dx010 （怀化）函数 中自变量的取值范围是_.y11 （湘西）对于任意不相等的两个数 a，b，定义一种运算 ab .那么 124_.32512 （荆州）先化简，再求值： ，其中 .232113 （广州）先化简，再求值： ，其中 .()(6)aa152a培优升级01 （凉山州）已知一个正数的平方根是 3x2 和 5x6，则这个数是_.02已知 a、b 是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对（
11、a，b）共有_对.1()03 （全国）设 ，则 _.525432a04 （全国）设 ,a 是 x 的小数部分,b 是 x 的小数部,则 a3b 33ab_.1x05 （重庆）已知 ，则 x2y 2_.22545yx06 （全国）已知 ， ， ，那么 a、b、c 的大小关系是（ ）1a6aAabc Bba c Ccba Dcab 07 （武汉）已知 （x，y 均为实数） ，则 y 的最大值与最小值的差为（ ）4yxA B3 C D6536308 （全国）已知非零实数 a、b 满足 ，则 ab 等于（ ）22()4babA1 B0 C1 D209 （全国） 等于（ ）23172A B C5 D15
12、4410已知 ，则 的值为（ ）20(,)xyxy34xyA B C D132311已知 ，求 abc 的值.121452abbc12已知 与 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab3a4b8 的值.9第 2 讲 二次根式的化简与求值考点方法破译1会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典考题赏析【例】 （河北）已知 ，那么 的值等于_12x223191xx【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 表示或化简变形.x解：两边平方得， ， ，两边同乘以 x 得， ，
13、，124x12x22315xx，原式= =291x5【变式题组】1若 （0a1） ，则 _41a2设 ，则 的值为（ ）x24xA B C D不能确定1a1a1a【例】 （全国）满足等式 203203xyxyx2003 的正整数对（x,y ）的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为 ，()0()203(203)xyxyxy 20323y ， ，则 xy2003，且 2003 是质数，xxy正整数对（x,y ）的个数有 2 对，应选 B.【变式题组】3若 a0，b0，且 ，求 的值.(4)3(2)abab3ab
14、【例】 （四川）已知： ，求代数式1(0)x的值.2 22634xxx【解法指导】视 x2，x 2-4x 为整体，把 平方，移项用含 a 的代数式表示 x2，x 2-4x，注意1a0a1 的制约.解：平方得， ， ， ，1aa2214xa，224x化简原式2(3)(2)34xxxA 221()()aa【变式题组】4 （武汉）已知 ，求代数式 的值.312x35(2)24xx5 （五羊杯）已知 ， ，且 ，则 a 的值等于（ ）12mn22(714)(367)8manA5 B5 C9 D9【例】 （全国）如图，点 A、C 都在函数 的图像上，点 B、D 都在 x 轴上，且使得3(0)yxOAB、
15、BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为_.【解法指导】解：如图，分别过点 A、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F.设OE=a， BF=b，则 AE= a，CF = b，所以，点 A、C 的坐标为（a, a） 、3 3（2ab, b） ，所以 ，解得 ，32()336因此，点 D 的坐标为（ ,0）6【变式题组】6 （邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：1325，； （一） ； （二）3535 6； （三）112以上这种化简的步骤叫做分母有理化， 还可以用以下方法化简：32； （四）1131322 （1）请
16、你用不同的方法化简 ；35参照（三）试得： =_；（要有简化过程）2参照（四）试得： =_；（要有简化过程）35（2）化简： 111752nyxAO BCDE Facdb CDA BE F【例】 （五羊杯）设 a、b、c、d 为正实数，ab，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为 ，2ac， ，求此三角形的面积.2bd22()()【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)， 的几何意义是以 a、c 为直角边的直角2ac三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形 ABCD，使 ABba，ADc，延长 DA 至 E，使 DEd，延长 D
17、C 至 F，使 DFb，连结 EF、FB、EB ，则 BF ，EF ，BE=22d 22()()dc，从而知BEF 就是题设的三角形，而 SBEF S 长方形ABCDS BCF S ABE S DEF (ba)c (dc)(ba) bd (bcad)1212【变式题组】7(北京)已知 a、b 均为正数，且 ab2，求 U 2241ab演练巩固反馈提高01已知 ， ，那么代数式 值为_32x32y2xy02设 ，则 （ ）71a3261aA 24 B25 C D470471203 （天津）计算 _201219(3)(3)(3)004 （北京）若有理数 x、y 、z 满足 ，则 _2()xyzxyz2()xyz