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1、第 - 1 - 页 共 13 页难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点1. 产生洛伦兹力的条件：电荷对磁场有相对运动磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0 ；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=q B；当电荷运动方向与磁场方向有夹角时，洛伦兹力f= q Bsin 3. 4. 洛伦兹力不做功（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行， 0或180时，带电粒子粒子在磁场中
2、以速度 做匀速直线运动2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即90时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度 做匀速圆周运动向心力由洛伦兹力提供：RvmqvB2轨道半径公式：qBmvR周期：qBm2vR2T，可见 T 只与qm有关，与v、R无关。（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运
3、动时间t和转过的圆心角之间的关系（T2tT360t或）作为辅助。圆心的确定，通常有以下两种方法。 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1 中 P为入射点， M为出射点）。第 - 2 - 页 共 13 页 已知入射方向和出射点的位置，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-2,P 为入射点， M为出射点）。（2）半径的确定和计算：利用平面几何关系，求出该圆的可能半径或圆心角。并注意以下两个重要的特点： 粒子速度的偏向角等于回旋角 ，并等于AB
4、弦与切线的夹角（弦切角）的 2倍，如图9- 3 所示。即：t2。 相对的弦切角相等，与相邻的弦切角/互补，即 /180o。（3）运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为时，其运动时间可由下式表示T2tT360t或。注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等； 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。例 1：如图 9-4 所示，在y 小于 0 的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直
5、于xy 平面并指向纸面外， 磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度v0从 O点射入磁场， 入射速度方向为xy 平面内， 与 x 轴正向的夹角为，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。图 9-4 图 9-5 图 9-1 图 9-2 图 9-3 第 - 3 - 页 共 13 页【审题】 本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。【解析】 根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5 所示，找出圆心A ，向x 轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：RLsin12带电粒子在磁场中
6、作圆周运动，由qv BmvR002解得RmvqB0联立解得qmvLB20sin【总结】 在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。例 2：电视机的显像管中，电子（质量为m ，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图9-6 所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O ，半径为r 。当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心 M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感强度B应为多少？【审题】 本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径
7、向， 而粒子出磁场后作匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径r 和轨迹半径R有关的直角三角形即可求解。【解析】 如图 9-7 所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b 分别为进入和射出的点。做a、b 点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有：2mveU2图 9-6 图 9-7 第 - 4 - 页 共 13 页对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有：RvmevB2由图可知，偏转角与 r 、R的关系为：Rr2tan联立以上三式解得：2tanemU2r1B【总结】 本题为基本
8、的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到P 点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。2. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的范围型问题例 3：如图 9-8 所示真空中宽为d 的区域内有强度为B 的匀强磁场方向如图，质量m带电 -q 的粒子以与CD成角的速度V0垂直射入磁场中。要使粒子必能从EF射出，则初速度 V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？【审题】 如图 9-9 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从
9、右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可。【解析】粒子从 A点进入磁场后受洛伦兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从EF射出，则相应的临界轨迹必为过点A并与 EF相切的轨迹如图9-10 所示，作出A、P点速度的垂线相交于 O/即为该临界轨迹的圆心。临界半径R0由dCosRR00有: Cos1dR0；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径RR0即:Cos1dqBmvR0有:)Cos1(mqBdv0。由图知粒子不可能从P点下方向射出EF ，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线
10、上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG ，图 9-8 图 9-9 图 9-10 第 - 5 - 页 共 13 页且由图知 :cotdCos1dSincotdSinRPG0。【总结】 带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与 R0的大小关系确定范围。例 4：如图 9-11 所示 S 为电子射线源能在图示纸面上和360范围内向各个方向发射速率相等的质量为m 、 带电 -e 的电子，MN 是
11、一块足够大的竖直挡板且与S的水平距离OS L，挡板左侧充满垂直纸面向里的匀强磁场；若电子的发射速率为V0， 要使电子一定能经过点O ，则磁场的磁感应强度B的条件？若磁场的磁感应强度为B，要使S 发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？若磁场的磁感应强度为B，从 S 发射出的电子的速度为meBL2，则档板上出现电子的范围多大？【审题】 电子从点S 发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点 S射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点 S向与 SO成锐角且位于SO上方发射出的电子才可能经过点O ；由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹
12、构成绕S 点旋转的一动态圆，动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9-12 所示，最低点为动态圆与MN 相切时的交点，最高点为动态圆与MN相割，且 SP2为直径时 P为最高点。【解析】 要使电子一定能经过点O，即 SO为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足2LR，由2LeBmv0得：eLmv2B0要使电子从S 发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的O点，故仍有粒子圆周运动半径2LR，由2LeBmv0有：m2eBLv0图 9-11 图 9-12 第 - 6 - 页 共 13 页当从 S发出的电子的速度为meBL2时， 电子在磁场中的运动轨迹半径L2
13、qBmvR/作出图示的二临界轨迹，故电子击中档板的范围在P1P2间；对 SP1弧由图知L3L)L2(OP221对 SP2弧由图知L15L)L4(OP222【总结】 本题利用了动态园法寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与 R0的大小关系确定范围。3. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的极值型问题寻找产生极值的条件：直径是圆的最大弦；同一圆中大弦对应大的圆心角；由轨迹确定半径的极值。例 5：图 9-13 中半径 r 10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y 轴在坐标原点O处相切； 磁场 B033T 垂直于纸面向内，在 O处有一放射源S可沿纸面向各个方
14、向射出速率均为v=3.2 106m/s 的粒子； 已知 粒子质量为m=6.610-27kg，电量 q=3.2 10-19c，则粒子通过磁场空间的最大偏转角及在磁场中运动的最长时间t 各多少？【审题】 本题 粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角 不同，要使 粒子在运动中通过磁场区域的偏转角最大， 则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出 粒子的运动轨迹进行求解。【解析】 粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：r2m2.0qBmvR粒
15、子从点O入磁场而从点P出磁场的轨迹如图圆O/所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角。由上面计算知SO/P必为等边三角形，故60此过程中粒子在磁场中运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最长时间。【总结】 当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。图 9-13 第 - 7 - 页 共 13 页例 6：一质量 m 、带电 q 的粒子以速度V0从 A 点沿等边三角形ABC的 AB方向射入强度为 B的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC射出，求圆形磁场区域的最小面积。【审题】 由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故
16、作出粒子沿AB进入磁场而从BC射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧PQ能处于磁场中即能完成题中要求；故由直径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线PQ为直径的圆如图中实线圆所示。【解析】 由题意知，圆形磁场区域的最小面积为图中实线所示的圆的面积。 ABC为等边三角形，故图中30则：qBmv3RCos2PQr20故最小磁场区域的面积为222022Bq4vm3rS。【总结】 根据轨迹确定磁场区域，把握住“直径是圆中最大的弦”。4. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的多解型问题抓住多解的产生原因：（1）带电粒子电性不确定形成多解。（2）磁场方向不确定形成多解。（3）临界状态不唯
17、一形成多解。（4）运动的重复性形成多解。例 7： 如图 9-15 所示，第一象限范围内有垂直于xoy 平面的匀强磁场， 磁感应强度为B 。质量为 m ，电量大小为q的带电粒子在xoy 平面里经原点O射入磁场中， 初速度 v0与 x 轴夹角 =60o，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？图 9-14 图 9-15 图 9-16 第 - 8 - 页 共 13 页【审题】 若带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为 O1，粒子向 x 轴偏转，并从 A点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为O2
18、，粒子向 y轴偏转，并从B点离开磁场。粒子速率一定，所以不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径一定。只要确定粒子的运动轨迹，即可求解。【解析】 粒子运动半径：。如图 9-16，有带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为（1）若粒子带负电，它将从x 轴上 A点离开磁场，运动方向发生的偏转角A点与 O点相距若粒子带正电，它将从y 轴上 B点离开磁场，运动方向发生的偏转角B点与 O点相距（2）若粒子带负电，它从O到 A所用的时间为若粒子带正电，它从O到 B所用的时间为【总结】 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。例 8：
19、一质量为m ，电量为 q 的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）A. B. C. D. 【审题】 依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。因此分两种情况应用牛顿第二定律进行求解。【解析】 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知，得第 - 9 - 页 共 13 页此种情况下，负电荷运动的角速度为当负电
20、荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，有，得此种情况下，负电荷运动的角速度为应选 A 、C。【总结】 本题中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成双解。例 9：如图 9-17 甲所示， A、B为一对平行板，板长为L，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m ，带电量为 +q 的带电粒子以初速，从 A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求在什么范围内，粒子能从磁场内射出？【审题】 粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。要想使粒子能射出磁
21、场区，半径r 必须小于 d/4 （粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出）或大于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）【解析】 如图 9-17 乙所示，当粒子从左边射出时，若运动轨迹半径最大，则其圆心为图中O1点，半径。因此粒子从左边射出必须满足。由于rvmBqv200所以即: 当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中O2点，半径为。由几何关系可得: 因此粒子从右边射出必须满足的条件是，即图 9-17 第 - 10 - 页 共 13 页所以当或时，粒子可以从磁场内射出。【总结】 本题只问带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去
22、了，也可能转过180o从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。例 10：如图 9-18 所示，在x 轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下。在x 轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x 轴上有一点P，离原点的距离为 a。现有一带电量+q 的粒子，质量为m ，从 y 轴上某点由静止开始释放，要使粒子能经过 P点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计）图 9-18 【审题】根据带电粒子在电场中的加速运动和带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动知识，要使带电粒子能通过P点，由于粒子在磁场中偏转到达P点时可能经过的半圆个数不确定，导致多解。【解析】 （
23、1）粒子从y 轴上由静止释放，在电场加速下进入磁场做半径为R的匀速圆周运动。由于粒子可能偏转一个、二个, 半圆到达P点，故设释放处距O的距离为 y1，则有 : 由、式有【总结】 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。5. 带电粒子在几种“有界磁场”中的运动（1）带电粒子在环状磁场中的运动例 11： 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速图 9-19 第 - 11 - 页 共 13 页运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图 9-19 所示， 环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子
24、只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径 R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4710C/，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。【审题】 本题也属于极值类问题，寻求“临界轨迹”是解题的关键。要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场， 则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切；要使所有粒子都不穿越磁场，应保证沿内圆切线方向射出的粒子不穿越磁场，即运动轨迹与内、外圆均相切。【解析】（1）轨迹如
25、图9-20 所示由图中知2122121)(rRRr，解得mr375. 01由1211rVmBqV得smmBqrV/105.1711所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为smV/105. 171。（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图9-21 所示。由图中知mRRr25.02122由2222rVmBqV得smmBqrV/100 .1722所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度smV/100. 172【总结】 带电粒子在有界磁场中运动时，运动轨迹和磁场边界“相切” 往往是临界状态，对于解题起到
26、关键性作用。（2）带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动例 12：如图 9-22 所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、 b、c 和 d，外筒的外半径为r ，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为、带电量为q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的 S 点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压Ua b c d S o 图 22 图 9-21 OO2 图 9-20 r1 第 - 12 - 页 共 13 页应是多少？（
27、不计重力，整个装置在真空中）【审题】 带电粒子从S 点出发， 在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区， 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S 点。【解析】 如图 9-23 所示，设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有221mVqU设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有：RVmBqV2由上面分析可知，要回到S 点，粒子从a 到 d 必经过43圆周，所以半径 R 必定等于筒的外半径r，即 R=
28、r.由以上各式解得：mqrBU222【总结】 根据题意及带电粒子匀速圆周运动的特点，画出粒子的运动轨迹是解决此类问题的关键所在。（3）带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例 13：如图 9-24 所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为 L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。一个质量为m 、电量为 q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度d; （2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用
29、时间t. 【审题】 带电粒子在电场中经过电场加速，进入中间区域磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，又进入右侧磁场区域做圆周运动，根据题意，粒子又回到O 点，所以粒子圆周运动的轨迹具有对称性，如图9-25 画出粒子运动轨迹。【解析】（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：221mVqEL带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：B B E L d O 图 9-24 a b c d S o 图 9-23 图 9-25O O3 O1 O2 600 第 - 13 - 页 共 13 页RVmBqV2由以上两式，可得qmELBR21。可见在两磁场区粒子运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形 O1O2O3是等边三角形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为qmELBRd62160sin0（2）在电场中qEmLqEmVaVt22221，在中间磁场中运动时间qB3m26T2t2在右侧磁场中运动时间qBmTt35653，则粒子第一次回到O 点的所用时间为qBmqEmLtttt3722321。【总结】 带电粒子从某一点出发，最终又回到该点，这样的运动轨迹往往具有对称性，由此画出运动的大概轨迹是解题的突破点。