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1、第七章 解耦控制系统系统的关联分析 在过程控制系统设计中,常常会遇到多输出-多输入对象,如何正确选择输出(被控变量)和输入(控制变量)的合理搭配关系,是制定良好的控制方案的关键。Bristol(1966年)提出的相对增益矩阵的概念,为我们的方案选择提供了一个定量的判定标准。设计好控制系统后,常常会发现控制器回路之间还存在关联,要通过设计补偿装置来消除或减少回路之间关联的作用,使系统平稳运行,就要采用多变量解耦控制(Multivariable Decoupling Control)技术。1 控制阀A和B对系统压力的影响同样强烈。压力低时，打开A阀，流量也增加，如果通过流量控制器的作用关小阀B，结
2、果又使管路的压力上升。2PCPTFCFT 关联严重的控制系统系统的关联分析设有两个被控变量和两个控制变量的对象(如图7-1所示),它的输入-输出关系为（7-1）3式中,Gij(s)(i=1,2;j=1,2)是联系输出yi与输入uj之间的传递函数,式(7-1)表明u1或u2的变化都会影响y1和y2这两个被控变量。将y1与u1,y2与u2配对成两个控制回路(如图7-1所示)通过简单转换关系,把两个回路中的测量装置和执行器的传递函数值设为1,两个回路中控制器的传递函数分别为Gc1(s)和Gc2(s)。4图 7-1两个控制回路间的关联5我们来观察两种情况:(1)一个回路是闭环(如回路2),另一个回路打
3、开(如回路1):这时改变闭合回路的给定值y2,sp,控制器Gc2(s)就要改变u2,并通过G22(s)来影响y2,使它跟随y2,sp变化,同时u2的变化又通过G12(s)去干扰y1,但因为回路1打开,所以这个干扰不可能通过回路1反过来再影响y2。y2,sp对y1、y2的影响为67（7-2）(2)两个回路均闭合的情况:这时y2,sp的改变除了直接影响y2外,它对y1的干扰作用又可通过回路1作用于控制器Gc1(s)去改变u1,而这又会通过G21(s)传回来,反过来又影响回路2的输出,并且通过回路2反馈通道返回至y2,sp输入端,形成第三个闭合回路,这便是两控制回路间关联的实质。如果处于闭环状态的两
4、个控制器的输出u1、u2不断地相互影响,就会严重影响控制系统的品质。在大多数场合中,控制系统的关联都是不好的,应予避免或削弱。8在两个回路都闭合的情况下,控制系统的输入y1,sp、y2,sp和输出y1、y2间的关系为9（7-3）从式(7-3)中可解出:10其中:11而的所有根都具有负实部时,关联回路才是稳定的（7-4）Q(s)是关联系统的公共特征多项式,故只有当特征方程（7-5）当G12(s)和G21(s)有一个为0时,此时,第三个闭合回路不存在,闭环特征方程就成为(7-6)这时只要两个单独回路都稳定,关联系统也必然稳定。如果G12(s)=G21(s)=0,那么两个回路彼此完全独立。由式(7-
5、6)可知,假定两个反馈控制器Gc1和Gc2是各自独立整定的(即被整定的回路处于闭环状态,另一个回路则处于开环状态),也不能保证两个回路都投入闭环时整个控制系统的稳定性。132.相对增益对于图7-1,为了观察回路1和回路2之间的关联情况,我们研究两种状态:(1)回路1和回路2均打开,让控制量u1做阶跃变化u1,而控制量u2保持不变,即u2为常数。输出y1在经历过渡过程后达到新的稳态,设y1为y1稳态值变化量,定义(y1/u1)u2为y1对u1通道的第一增益,下标表示它是在回路2处于开环状态,即u2=常量时测出来的开环增益。14(2)回路1打开,回路2闭合,仍让u1做阶跃变化,这时u1不仅影响到y
6、1,也使y2产生了变化。通过调整控制器Gc2,使y2稳定下来,回到了原来值,即y2保持不变,y2为常量,但u2却发生了变化,进而又影响y1,使y1的稳态值变化了y1,这个y1是u1和u2共同作用的结果。一般来说,y1与y1并不相等。定义(y1/u1)y2为y1对u1通道的第二增益,下标表示它是在回路2为闭环状态,即y2=常量时测出来的开环增益。15定义y1对u1通道的相对增益11为上述两个增益之比,即16（7-7）11值提供了衡量两个回路间关联程度的一个尺度,具体如下:如果11=0,则(y1/u1)u2=0,这说明y1对u1无响应,表明不能用u1来控制y1,变量搭配是错误的。如果11=1,则(
7、y1/u1)u2=(y1/u1)y2,这说明不论回路2处于开环状态还是闭环状态,y1对u1的增益都是一样的,这表示回路1和回路2不存在关联。如果011(y1/u1)u2,说明回路2的存在使y1-u1通道的开环增益增大,也就是加强了控制作用(我们称为正关联)。11越小,加强作用越大,表示正关联越强。17 如果111,两回路仍然是关联的,由于(y1/u1)y2(y1/u1)u2,说明回路2的存在使u1对y1的控制作用削弱(我们称之为负关联),11值越大,削弱得越厉害,负关联越强。如果110,则两回路关联严重,而且y1/u1)y2与(y1/u1)u2符号相反,这表示回路2打开和闭合时,u1对y1的控
8、制作用产生相反方向的变化,这种关联影响非常危险。18除了11外,对双输入-双输出对象,还可定义其余三个增益:y1与u2间的相对增益:19 y2与u1间的相对增益:20 y2与u2间的相对增益21类似对于11的分析,这些增益同样也可度量相应情况下的关联程度,例如,12表示y1与u2搭配、y2与u1搭配时两回路的关联程度。3.相对增益矩阵对于双输入-双输出对象,有两个不同的回路组成方案,如图7-2(a)、(b)所示。我们可以用一个矩阵表示输入u1、u2与输出y1、y2的搭配关系,矩阵的元素就是11、12、21、22四个相对增益，即该矩阵称为相对增益矩阵。2223图 7-2双输入-双输出对象两种不同
9、的回路方案1)相对增益矩阵元素的确定方法 相对增益阵元素,也就是相应通道的相对增益ij可以按照定义式,用实验的方法测取,也可以从输入-输出静态关系 (7-8)求出第一增益,再从式(7-8)中消去u2得到24由此第二增益 故25（7-9）同理可从式(7-8)中求出26（7-10）上面关于阵的计算也可以通过矩阵运算来进行,式(7-8)用矩阵表示为y=Ku(7-11)其中,27从式(7-11)中解出 u=Hy(7-12)其中,28则则 =K*HT=K*(K-1)T (7-13)这里*是两个矩阵对应的相同行相同列元素相乘的计算,即29阵的元素为 (7-14)其中,Kij是K中元素kij的代数余子式30
10、4.回路的选择对于双输入-双输出对象,有两种不同的回路选择方法,如图7-2所示。选择的原则是应选回路间关联最小的方案。按照11值的大小,可分为下列几种不同的情况:(1)11=1,则相对增益矩阵是这时,y1与u1搭配和y2与u2搭配的回路间没有关联31(2)11=0,则相对增益矩阵是这时,y1与u2搭配和y2与u1搭配所构成的回路间没有关联。32(3)11=0.5,则相对增益矩阵是这时,图7-2中两种回路选择的关联作用大小是一样的,是正关联最严重的情况。33(4)0110.5,如11=0.2,则相对增益矩阵是这时,y1与u2搭配、y2与u1搭配的方案比y1与u1搭配、y2与u2搭配的方案好得多,
11、因为前者回路间的关联小得多。对于0.5111,如11=1.5,则相对增益矩阵是这时如选择y1与u2搭配、y2与u1搭配,由于相应的相对增益12和21是负数,因此关联将使被控变量向与控制作用预期的方向相反的方向变化,从而失去控制作用,因而决不能用相对增益为负数的输入与输出来搭配构成回路。35选择y1与u1搭配、y2与u2搭配是可以的,但由于111,两回路之间存在负关联,控制作用被削弱,且11越大,负关联越厉害,关联使控制作用削弱得也越厉害,因此需要较大的控制器增益,这会使得在单独回路控制(即另一回路开路)时系统稳定性变差。根据以上讨论可以归纳出选择控制方案的规则是:通过被控变量yi与控制变量uj的搭配,所选择的控制回路应使相对增益ij为正数,并尽可能接近于1。36相对增益矩阵是方阵,这意味着控制变量与被控变量数目相同。但当可供选择控制变量数大于被控变量数时,就要对不同的相对增益阵进行比较,从中选出最小关联回路。例如,对象的被控变量为y1和y2,控制变量为u1、u2和u3,这样就可组成三个不同的22阶增益矩阵(子矩阵)。3738（7-17）需要对全部相对增益矩阵12、13及23考察以后,方能选出最小关联的两个回路。应该指出,通常11(12)11(13),因为它们是在不同的子矩阵中。39