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1、第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形一、挠曲线一、挠曲线 梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强度条件，还要满足度条件，还要满足刚度条件刚度条件，即要求梁在工作时的，即要求梁在工作时的变变形形不能超过不能超过一定范围一定范围，否则就会影响梁的正常工作。，否则就会影响梁的正常工作。挠曲线方程挠曲线方程第一节第一节 工程中的弯曲变形工程中的弯曲变形挠曲线挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的的作用下，将产生平面弯作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线，为一条光滑
2、的平面曲线，称梁的称梁的挠曲线挠曲线。第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形二、挠度和转角二、挠度和转角 挠度挠度：截面：截面形心形心线位线位移移的的垂直分量垂直分量称为该称为该截面的挠度，用截面的挠度，用 y 表表示，一般用示，一般用 ymax 表示表示全梁的最大挠度。全梁的最大挠度。转角转角：横截面横截面绕绕中性轴中性轴转动转动产生了产生了角位移角位移，此角，此角位移称转角，用位移称转角，用 表示。表示。小变形小变形时，转角时，转角 很小，很小，则有以下关系：则有以下关系：第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 由此可知，只要知道梁的挠曲线方程由此可知，只要知道梁的挠曲线方程 ，就，就可求
3、出挠度和转角。可求出挠度和转角。挠度挠度和和转角转角的的正负号正负号的的规定规定 挠度：与挠度：与y轴正方向轴正方向同向为同向为正正，反之反之为为负负；转角：以转角：以逆时针逆时针方向转动为方向转动为正正，反之反之为为负负。第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形一、挠曲轴线近似微分方程一、挠曲轴线近似微分方程 梁任一截面的曲率梁任一截面的曲率第二节第二节 梁变形的基本方程梁变形的基本方程 曲线曲线 的曲率的曲率 挠曲轴线挠曲轴线近似微分方程近似微分方程二阶小量二阶小量 第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形1）如图）如图a所示，梁的挠曲轴线是一所示，梁的挠曲轴线是一下凸下凸曲线，梁的下曲线，梁
4、的下侧纤维受拉，弯矩侧纤维受拉，弯矩 M 0，曲线的二阶导数，曲线的二阶导数 y 0；微分方程弯矩微分方程弯矩M与曲线的二阶导数与曲线的二阶导数 y 的的正负号关系正负号关系 挠曲轴线挠曲轴线近似微分方程近似微分方程2）如图）如图b所示，梁的挠曲轴线是一所示，梁的挠曲轴线是一上凸上凸曲线，梁的下曲线，梁的下侧纤维受压，弯矩侧纤维受压，弯矩 M 0，曲线的二阶导数，曲线的二阶导数 y 0；第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形挠曲轴线挠曲轴线近似微分方程近似微分方程结结 论论两种情况下弯矩与曲线的二阶导数两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号均同号，微分，微分方程式应方程式应取正号取正号，即：，即
5、：梁的挠曲轴线近似微分方程的梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件适用条件：梁的变：梁的变形是线弹性的形是线弹性的小变形小变形。挠曲轴线挠曲轴线近似微分方程近似微分方程第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形二、积分法求梁的挠度与转角二、积分法求梁的挠度与转角 积分积分一次一次得得转角转角方程：方程：对梁的挠曲轴线近似微分方程式对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分积分：积分积分二次二次得得挠度挠度方程：方程：挠曲轴线挠曲轴线近似微分方程近似微分方程第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 简支梁：简支梁：悬臂梁：悬臂梁：转角转角方程方程挠度挠度方程方程式中式中积分常数积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截
6、面由边界条件（梁中已知的截面位移）位移）确定确定：由由边界条件边界条件、变形连续条件变形连续条件可确定积分常数，通可确定积分常数，通过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度，过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度，这方法称这方法称积分法积分法。第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 例例9-1 如图所示简支梁，跨度为如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷，受均布载荷q作用，梁的抗弯曲刚度作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面已知，求跨中截面C的挠的挠度及截面度及截面A处的转角。处的转角。解：解：梁的弯矩方程为：梁的弯矩方程为：将上式一次积分得转角：将上式一次积分得转角：Cx再次积分，可得
7、挠度方程：再次积分，可得挠度方程：第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形边界条件边界条件：时，时，；时，时，故有故有第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 例例9-2 悬臂梁悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨度在三角形分布载荷作用下，跨度为为l，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI，如图所示。试求，如图所示。试求B截面的挠度。截面的挠度。解：解：与与B截面距离为截面距离为 x 的任一截面的载荷集度为的任一截面的载荷集度为 AB梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为 将上式一次积分得转角方程将上式一次积分得转角方程 x第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形再次积分，即得挠度方程再次积分，即得挠度方程 边界条件边界
8、条件：时，时，梁的挠度方程梁的挠度方程令令 ，得，得B截面的挠度为截面的挠度为（）第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形第三节第三节 用用叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形叠加原理叠加原理：当：当梁为梁为小变形小变形时，梁的挠度和转角均是时，梁的挠度和转角均是载荷的载荷的线性函数线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和，可以使用叠加法计算梁的转角和挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加和，这就是计算梁弯曲变形的和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理叠加原理。叠加原理
9、的步骤叠加原理的步骤：分解载荷；分解载荷；分别计算各载荷分别计算各载荷单独作用时梁的变形；单独作用时梁的变形；叠加得最后结果。叠加得最后结果。梁在简单载荷作用下的变形，可梁在简单载荷作用下的变形，可查表查表8-1。挠曲轴线挠曲轴线近似微分方程近似微分方程第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的简图梁的简图挠曲线方程挠曲线方程转角和挠度转角和挠度表表8-1 梁在简单载荷作用下的变形梁在简单载荷作用下的变形第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的简图梁的简图挠曲线方程挠曲线方程转角和挠度转角和挠度第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的简图梁的简图挠曲线方程挠曲线方程转角和挠度转角和挠度第九
10、章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形梁的简图梁的简图挠曲线方程挠曲线方程转角和挠度转角和挠度第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 例例9-3 悬臂梁悬臂梁AB上作用有均布载荷上作用有均布载荷q，自由端作，自由端作用有集中力用有集中力F=ql，梁的跨度为，梁的跨度为l，抗弯刚度为，抗弯刚度为EI，如，如图所示。试求截面图所示。试求截面B的挠度和转角。的挠度和转角。解：解：1）分解载荷）分解载荷 梁梁上上载载荷荷可可分分解解成成均均布布载荷载荷q与集中力与集中力F的叠加。的叠加。2）查表可得这两钟情况下）查表可得这两钟情况下 截面截面B的挠度和转角：的挠度和转角：+第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯
11、曲变形3）叠加叠加得截面得截面B的挠度和转角的挠度和转角（）（顺时针顺时针）+第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形解：解：1）简化、分解载荷）简化、分解载荷3）叠加）叠加 例例9-4 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布载荷载荷q，梁的抗弯刚度为，梁的抗弯刚度为EI。求。求C截面的挠度。截面的挠度。2）分别计算）分别计算B截面挠度：截面挠度：悬臂梁因悬臂梁因 B 截面产生转角引截面产生转角引起的挠度起的挠度 和悬臂梁在均布和悬臂梁在均布载荷作用下产生的挠度载荷作用下产生的挠度 0.5qa2qa+第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 例例9-5 悬臂梁跨度为悬
12、臂梁跨度为 l=2m，截面为矩形，宽，截面为矩形，宽b=100mm，高，高h=120mm，材料的弹性模量，材料的弹性模量E=210GPa，梁上载荷如图所示，求自由端梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。的挠度。解：解：1）分解载荷）分解载荷2）查表查表分别得到三种载荷分别得到三种载荷 引起自由端引起自由端A的挠度的挠度第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形代入数值得：代入数值得：3）叠加叠加得自由端得自由端A的挠度的挠度（）第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 第四节第四节 梁的刚度条件和提高弯曲梁的刚度条件和提高弯曲刚度的措施刚度的措施梁的刚度条件梁的刚度条件
13、挠度的许用值挠度的许用值 f 一般为梁的跨度一般为梁的跨度l 的的1/2001/1000。在安装在安装齿轮齿轮或或滑动轴承滑动轴承处，轴的处，轴的 。根据梁的根据梁的不同用途不同用途，其许用挠度和许用转角可在，其许用挠度和许用转角可在机机械设计手册械设计手册中查得。中查得。设梁的最大挠度和最大转角分别为设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和和 max，f 和和 分别为分别为挠度和转角的挠度和转角的许用值，则许用值，则第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 例例9-6 如图所示简支梁，选用如图所示简支梁，选用32a工字钢，跨工字钢，跨中作用有集中力中作用有集中力F=20kN，跨度为，跨度为 l
14、=8.86m，弹性，弹性模量模量 E=210GPa，梁的许用挠度，梁的许用挠度 。试。试校核梁的刚度。校核梁的刚度。解：解：查型钢表可得查型钢表可得32a工工字钢的惯性矩为：字钢的惯性矩为：查表可得梁的跨中挠度为查表可得梁的跨中挠度为故该梁故该梁满足满足刚度条件刚度条件第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形二、提高梁弯曲刚度的措施二、提高梁弯曲刚度的措施 梁梁的的弯弯曲曲变变形形与与梁梁的的抗抗弯弯刚刚度度EI、梁梁的的跨跨度度l以以及及梁梁的的载载荷荷等等因因素素有有关关，要要降降低低梁梁的的弯弯曲曲变变形形，以以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：1）提
15、高梁的抗弯刚度提高梁的抗弯刚度EI 梁的挠度与抗弯刚度梁的挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的成反比，因此提高梁的抗弯刚度抗弯刚度EI，可以降低梁的变形。值得，可以降低梁的变形。值得注意注意的是，的是，由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的合金钢合金钢代替代替普通低碳钢普通低碳钢，并并不能不能明显提高其刚度。明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下增大增大截面的惯性矩截面的惯性矩，例如使用工字形、圆环形截面，可，例如使用工字形、圆环形截面，可提高单位面积的惯性矩。提高单位面积的惯性矩。第
16、九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形2）减小梁的跨度减小梁的跨度 因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度减小梁的跨度，将使，将使梁的挠度梁的挠度大为减小大为减小。如果把简支梁的支座如果把简支梁的支座向内向内移动移动 a，简支梁变成，简支梁变成外伸梁外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部分下的挠度，它们之间有一部分相互抵消相互抵消，因此，因此挠度挠度减小减小了。了。yyy第九章第九章 梁的弯曲变形梁的弯曲变形3）改善梁的载荷作用方式改善梁的载荷作用方式 合理调整载荷的位置合理调整载荷的位置及分布方式，可以降低弯及分布方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集如图所示作用在跨中的集中力，如果分成一半对称中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右图作用在梁的两侧（见右图），甚至化为均布载荷，），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。则梁的变形将会减小。