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1、第二章第二章 随机变量的分布与数字特征随机变量的分布与数字特征2.1 2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量的概念一、随机变量的概念掷一颗骰子掷一颗骰子,任选一个人任选一个人,记录某交叉路口记录某交叉路口在一批灯泡中任取一个在一批灯泡中任取一个,发射炮弹发射炮弹,观察其点数观察其点数.测量其身高测量其身高.在任意一个小时内在任意一个小时内通过的车辆数通过的车辆数.测试其使用寿命测试其使用寿命.记录弹着点与目标的距离记录弹着点与目标的距离.有些随机试验，有些随机试验，例如例如,=正面正面,反面反面 于是事件于是事件 “硬币出现反面硬币出现反面”就表示就表示为为虽然其结果虽然其结果但
2、通过适当的规定，但通过适当的规定，令令=“=“反面反面”=“=“正面正面”就表示为就表示为没有直接表现为数量没有直接表现为数量,抛掷一枚硬币一次抛掷一枚硬币一次,“硬币出现正面硬币出现正面”也可以用数量表示也可以用数量表示.抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,反反正正,事件事件 “反反反反反反正正”直到首次出现正面为止直到首次出现正面为止.正正,反反反反正正,反反反反反反正正,反反反反反反反反正正,令令X X为为则则 的取值范围为的取值范围为就表示为就表示为样本空间为样本空间为抛掷的次数抛掷的次数,定义定义2.1 2.1 某一随机试验的某一随机试验的如果如果对每一个样本点对每一个样本点样本空间样本空间,
3、这样就定义了一个这样就定义了一个 定义域为定义域为的的称之为称之为随机变量随机变量.有一个实数有一个实数 与之对应与之对应,例如例如,令令=“=“反面反面”=“=“正面正面”=正面正面,反面反面，为随机变量为随机变量.实值函数实值函数抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,设设为为例如例如为随机变量为随机变量.掷一颗骰子掷一颗骰子,令令“掷出掷出1 1点点”“掷出掷出2 2点点”“掷出掷出6 6点点”随机变量通常用大写英文字母随机变量通常用大写英文字母小写英文字母小写英文字母又如又如,在一天中任选一个时刻在一天中任选一个时刻,记录下记录下当时的气温当时的气温.任一时刻的气温任一时刻的气温为随机变量为随机变量
4、.有时也用小写希腊字母有时也用小写希腊字母等表示等表示,表示随机变量所取的值表示随机变量所取的值.随机变量随机变量也记为也记为某气象站某气象站用用X X表示表示,等表示等表示.随机变量的分类随机变量的分类:随机变量随机变量离散型随机变量离散型随机变量非离散型随机变量非离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量非离散非连续型非离散非连续型随机变量随机变量例例 可以统一表示为可以统一表示为有有3 3个次品个次品,从中任取从中任取2 2个个,其中其中的的次品数为次品数为是随机变量是随机变量.的取值范围是的取值范围是1010个产品中个产品中二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布定义定
5、义2.2 2.2 离散型随机变量的特点是离散型随机变量的特点是如如 “取到次品的个数取到次品的个数”“掷骰子出现的点数掷骰子出现的点数”“某电话交换台某电话交换台只可能取有限个只可能取有限个如果随机变量如果随机变量或可数或可数无穷多无穷多个值个值,离散型随机变量离散型随机变量.则称则称 是是它的所有取值它的所有取值可以逐可以逐个个一一列举出来一一列举出来.任一小时内收到的呼叫次数任一小时内收到的呼叫次数”定义定义2.3 2.3 称称(2.1)(2.1)式式它的一切可能它的一切可能设设X X取值为取值为且且 取各个值的概率为取各个值的概率为的概率分布的概率分布,的分布的分布.有时也写成有时也写成
6、X X的概率分布的概率分布为为简称简称记记也可以用列表法表示：也可以用列表法表示：是离散型随机变量是离散型随机变量,证证 (1)(1)概率分布的性质：概率分布的性质：1.1.非负性非负性2.归一性归一性例例 已知已知求求c.c.解解 随机变量随机变量X X 的取值范围为的取值范围为且且求求p.p.解解 其中其中例例 已知已知随机变量随机变量X X的取值范围为的取值范围为所有正偶数，所有正偶数，且且若离散型若离散型的概率分布为的概率分布为则对于集合则对于集合的任一子集的任一子集事件事件 “在在 中取值中取值”,即即“”的概率为的概率为例例 相互独立相互独立.规则是：规则是：投中后投中后命中率为命
7、中率为就停止投篮，就停止投篮，“此人投此人投篮篮设设 表示表示 求求 的概率分布的概率分布.设设 表示表示“第第 次投中篮框次投中篮框”，解解的次数的次数”，或投了或投了4 4次后次后某人投篮，某人投篮，例例 相互独立相互独立.规则是：规则是：投中后投中后命中率为命中率为就停止投篮，就停止投篮，“此人投此人投篮篮设设 表示表示 求求 的概率分布的概率分布.设设 表示表示“第第 次投中篮框次投中篮框”，解解的次数的次数”，或投了或投了4 4次后次后某人投篮，某人投篮，例例 相互独立相互独立.规则是：规则是：投中后投中后命中率为命中率为就停止投篮，就停止投篮，“此人投此人投篮篮设设 表示表示 求求
8、 的概率分布的概率分布.设设 表示表示“第第 次投中篮框次投中篮框”，解解的次数的次数”，或投了或投了4 4次后次后某人投篮，某人投篮，或或为偶数为偶数令令X X表示表示只有两种对立结果：只有两种对立结果：“A A发生发生”对于贝努利试验，对于贝努利试验，与与“A A不发生不发生”一次一次贝努利试验中，贝努利试验中，A A发生的次数，发生的次数，设事件设事件A A发生发生的概率为的概率为则事件则事件 发生发生的概率为的概率为则则即即A A不发生不发生A A发生发生称称X X服从服从0101分布分布.例例 从中随机抽取从中随机抽取一个一个抽到正品抽到正品抽到次品抽到次品用用X X表示表示即即抽到
9、抽到的次品的个数，的次品的个数，一批产品，一批产品，抽取抽取一次一次，次品率为次品率为例例 一般地一般地,即即具有具有离散均匀分布离散均匀分布.编号为编号为随机取一个随机取一个设对应的号码为设对应的号码为则则 的概率分布为的概率分布为若若 的概率分布是的概率分布是则称则称将将2626个英文字母个英文字母字母字母,如掷一颗骰子如掷一颗骰子五支签中有一支五支签中有一支“好签好签”,”,出现的点数出现的点数具有离散均匀分布具有离散均匀分布.五个人依次抽取五个人依次抽取,不放回不放回,表示第表示第 个人抽到个人抽到 “好签好签”设设服从离散均匀分布服从离散均匀分布.三三、分布函数分布函数定义定义2.4
10、 2.4 设设 是是称称为随机变量为随机变量 的的分布函数分布函数.任意任意一个随机变量一个随机变量,记为记为定义定义2.4 2.4 设设 是是称称为随机变量为随机变量 的的分布函数分布函数.任意任意一个随机变量一个随机变量,如如,电台每到整点报时电台每到整点报时,某人午觉醒来某人午觉醒来,X X为为他打开他打开收音机收音机,他等待报时的时间他等待报时的时间.)记为记为解解 设设 服从服从0-10-1分布分布例例 求求 的分布函数的分布函数.例例 求求 的分布函数的分布函数.解解已知随机变量已知随机变量X X的概率分布为的概率分布为证（证（1 1）随机变量的分布函数随机变量的分布函数具有如下性
11、质具有如下性质:是是 的的 即即时时,（2 2）即即单调不减函数单调不减函数.时时,随机变量的分布函数随机变量的分布函数具有如下性质具有如下性质:是是 的的 即即时时,单调不减函数单调不减函数.至多有可数多个间断点至多有可数多个间断点,且在其间断点处且在其间断点处,即对任何实数即对任何实数有有是右连续的是右连续的,设随机变量设随机变量的分布函数已知的分布函数已知,则则若随机变量若随机变量 的分布函数的分布函数在点在点 连续，连续，则则四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数例例 出现的点数为出现的点数为 求求 的分布函数的分布函数.解解1 2 3 4 5 61 2 3 4 5
12、6 1 2 3 4 5 6 掷一颗骰子掷一颗骰子,1 2 3 4 5 6是一个阶梯形函数是一个阶梯形函数,它在它在X X的可能取值点的可能取值点1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6 处发生跳跃处发生跳跃,跳跃的高度跳跃的高度等于等于X X取相应取相应值的概率值的概率.任一任一离散型离散型随机变量随机变量都具有这个都具有这个特征特征.反之反之,若一随机变量若一随机变量X X的分布函数的分布函数是是阶梯型阶梯型函数函数,则则X X一定是一定是离散型离散型随机变量随机变量.的全部跳跃点的全部跳跃点而且而且就是就是X X的全部取值点的全部取值点.在跳跃点处在跳跃点处跳跃的高度跳跃的高度等于等
13、于X X在相应取值点在相应取值点处的概率处的概率.的分布函数的分布函数,例例 已知随机变量已知随机变量X X的分布函数为的分布函数为解解 求求X X的分布的分布.五、连续型随机变量五、连续型随机变量及其概率密度及其概率密度定义定义2.5 2.5 对于随机变量对于随机变量如果存在一个非负如果存在一个非负使得对任意实数使得对任意实数有有则称则称 是是称称 为为 的的概率密度概率密度简称简称密度函数密度函数.记为记为 的概率密度函数的概率密度函数具有以下性质具有以下性质:可积函数可积函数连续型随机变量连续型随机变量,函数函数,此时，此时，即即为为X X的密度函数，的密度函数，记为记为例例 在区间在区
14、间等可能地投入点，等可能地投入点，落点的坐标落点的坐标X X是随机变量，是随机变量，设设则则X X落在区间落在区间的概率为的概率为称随机变量称随机变量X X 服从区间服从区间上的均匀分布上的均匀分布.例例 在区间在区间等可能地投入点，等可能地投入点，落点的坐标落点的坐标X X令令其它其它则则X X为连续型随机变量为连续型随机变量,为为X X的密度函数的密度函数.对连续型随机变量对连续型随机变量设设 是任一实数是任一实数,由于由于或或或或或或 连续型随机变量连续型随机变量取值落入某一区间的概率取值落入某一区间的概率与区间的开或闭无关与区间的开或闭无关.或或例如例如,抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币一次一
15、次,出正面记为出正面记为1,1,出反面出反面出正面的次数出正面的次数,即用即用 表示表示对离散型随机变量对离散型随机变量,此结论不成立此结论不成立.记为记为0 0牛顿牛顿莱布莱布尼兹公式尼兹公式由由 是是 的原函的原函数数当当 连连续时续时由于由于连续型连续型随机变量随机变量故对任一实数故对任一实数连续型连续型随机变量随机变量在任一单个点取值的在任一单个点取值的概率概率又又故故即即 在点在点 连续连续.在任意一点在任意一点 连续连续,在在 连续连续.在在 连续连续.的分布函数的分布函数为为0,0,例例 设随机变量设随机变量X X的密度函数为的密度函数为确定系数确定系数 求求X X的分布函数的分布函数,计算计算解解例例 随机变量随机变量X X的密度函数为的密度函数为求求X X的分布函数的分布函数.解解时时,时时,或或计算计算