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1、极限运算法则极限运算法则求极限方法举例求极限方法举例小结小结 思考题思考题 作业作业1.5 极限运算法则极限运算法则第一章第一章 函数与极限函数与极限1定理定理1证证(1)无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系一、极限运算法则一、极限运算法则极限运算法则极限运算法则2即常数因子可以提到极限符号外面即常数因子可以提到极限符号外面.由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得(2)的特例是的特例是b ba a+BA+=BAb ba a=)()(limxgxf极限运算法则极限运算法则3定理定理2 2那末那末如果如果极限运算法则极限运算法则4 注意注意应用四则运算法则时应用四则运算法则时,要注意条件要
2、注意条件:参加运算的是参加运算的是有限有限个函数个函数,它们的极限它们的极限都都商的极限要求分母的极限不为商的极限要求分母的极限不为0.不要随便参加运算不要随便参加运算,因为因为不是数不是数,它是它是表示函数的一种性态表示函数的一种性态.存在存在,极限运算法则极限运算法则5解解例例二、求极限方法举例二、求极限方法举例极限运算法则极限运算法则6 小小 结结则有则有则有则有极限运算法则极限运算法则7解解商的法则不能用商的法则不能用由由无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系,例例得得极限运算法则极限运算法则8解解例例 消去零因子法消去零因子法再求极限再求极限.方方 法法分子分子,分母的极限都是零分
3、母的极限都是零.先约去不为零的无穷小因子先约去不为零的无穷小因子极限运算法则极限运算法则9例例解解无穷小因子析出法无穷小因子析出法分子分子,分母的极限均为无穷大分母的极限均为无穷大.方方 法法先用先用去除分子分母去除分子分母,分出无穷小分出无穷小,再求极限再求极限.先将分子、分母同除以先将分子、分母同除以x 的最高次幂的最高次幂,无穷小分出法无穷小分出法以分出以分出再求极限再求极限.求有理函数当求有理函数当的极限时的极限时,无穷小无穷小,极限运算法则极限运算法则10 小小 结结例例解解极限运算法则极限运算法则11例例解解先作恒等变形先作恒等变形,和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,再求
4、极限再求极限.使和式的项数固定使和式的项数固定,原式原式=不能用运算法则不能用运算法则.方方 法法极限运算法则极限运算法则12例例解解“根式转移根式转移”法法化为化为 型型不满足每一项极限都存在的条件不满足每一项极限都存在的条件,不能直接不能直接应用四则运算法则应用四则运算法则.分子有理化分子有理化13 解解 当当x x时时 分子及分母的极限都不存在分子及分母的极限都不存在 故关故关于商的极限的运算法则不能应用于商的极限的运算法则不能应用 例例 是无穷小与有界函数的乘积是无穷小与有界函数的乘积 极限运算法则极限运算法则14解解 原式原式=解解原式原式=极限运算法则极限运算法则15 求极限求极限
5、 例例 解解 例例 解解 极限运算法则极限运算法则16 解解 例例 解解 例例 根据无穷大与无穷小的关系得根据无穷大与无穷小的关系得 因为因为极限运算法则极限运算法则17先用先用x x3 3去除分子及分母去除分子及分母 然后取极限然后取极限 解解 先用先用x x3 3去除分子及分母去除分子及分母 然后取极限然后取极限 例例 解解:例例 极限运算法则极限运算法则18 例例 解解 所以所以极限运算法则极限运算法则19 x x=3 =3 时分母为时分母为 0!0!解解 极限运算法则极限运算法则20极限运算法则极限运算法则定理定理4(复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)设函数设函数是由函数是
6、由函数与函数与函数复合而成复合而成,则则注注定理中定理中,把把或或而把而把)(xgfy=)(ufy=)(xgu=21例例求极限求极限:解解可看作可看作与与复合而成复合而成.并且并且因而因而22例例解解原式原式=这种用变量代换方法求极限这种用变量代换方法求极限,实质就是复合函数求极限法实质就是复合函数求极限法.极限运算法则极限运算法则故故23思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？是否有极限？极限运算法则极限运算法则解答解答没有极限没有极限假设假设由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假
7、设错误故假设错误有极限，有极限，为什么？为什么？(1)24试确定常数试确定常数解解 令令则则使使即即极限运算法则极限运算法则(2)0)1(lim33=-xaxx25思考及练习解解:原式原式2.2.极限运算法则极限运算法则26求解法解法 1 1 原式原式=解法解法 2 2 令令则则原式原式=极限运算法则极限运算法则27求解解:x x=1 =1 时，时，分母分母=0=0，分子，分子00，但因但因极限运算法则极限运算法则28求解解:时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“抓大头抓大头”原式原式极限运算法则极限运算法则29 求解解:令令已知已知 原式原式=极限运算法则极限运算法则30求
8、解解:方法方法 1 1则则令令 原式原式方法方法 2 2极限运算法则极限运算法则31 解 极限运算法则极限运算法则32 两个正两个正(负负)无穷大之和仍为正无穷大之和仍为正(负负)无穷大无穷大;有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大;有非零极限的变量有非零极限的变量(或无穷大或无穷大)与无穷大之与无穷大之 积仍为无穷大积仍为无穷大;用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.容易证明容易证明无穷小与无穷大无穷小与无穷大33备用题 设解解:利用前一极限式可令利用前一极限式可令再利用后一极限式再利用后一极限式,得得可见可见是多项式是多项式,且且求求故故极限运算法则极限运算法则34