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1、第二章第二章 电磁场基本方程电磁场基本方程 Electromagnetic field equations2.0电磁场的源电磁场的源2.1静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量2.2法拉弟电磁感应定律和全电流定律法拉弟电磁感应定律和全电流定律2.3麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.4电磁场的边界条件电磁场的边界条件2.5坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量2.6唯一性定理唯一性定理 一、电荷与电荷密度一、电荷与电荷密度 Charge and charge density1 1、体电荷密度、体电荷密度v体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。体电荷：电荷连续
2、分布在一定体积内形成的电荷体。v体电荷密度体电荷密度 的定义：的定义：在电荷空间在电荷空间V V内，任取体积元内，任取体积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为2.0 电磁场的源量电磁场的源量 Source of Electromagnetic field 电荷和电流是产生电磁场的源电荷和电流是产生电磁场的源2 2、面电荷密度、面电荷密度v面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。v体电荷密度体电荷密度 的定义：的定义：在面电荷上，任取面积元在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为，其中电荷量为3 3、线电荷密度、线电荷密度v线电荷：当电荷
3、只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。v线电荷密度线电荷密度 的定义：的定义：在线电荷上，任取线元在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为，其中电荷量为4 4、点电荷、点电荷v点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量电荷。点电荷可看作是电量q q无限集中于一个几何点上。无限集中于一个几何点上。v运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度I I描述。描述。v电流强度电流强度I I的定义：的定义：设在设在 时间内通过某曲面时间内通过某
4、曲面S S的电量为的电量为 ，则定义通，则定义通过曲面过曲面S S的电流为：的电流为：v电流强度的物理意义电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面单位时间内流过曲面S S的电荷量。的电荷量。v恒定电流恒定电流：电流大小恒定不变。即：电流大小恒定不变。即：二、电流与电流密度二、电流与电流密度 Electronic current(density)v引入电流密度矢量引入电流密度矢量 描述空间电流分布状态。描述空间电流分布状态。1 1、体电流密度、体电流密度 Volume Electronic current density v体电流：电荷在一定体积空间内流动所形成的电流体电流：电荷在一定体积空间内流
5、动所形成的电流v体电流密度体电流密度 定义：定义：设正电荷沿设正电荷沿 方向流动，则在垂直方向流动，则在垂直 方向上取一面元方向上取一面元 ，若在，若在 时时间内穿过面元的电荷量为间内穿过面元的电荷量为 ，则：，则：为空间中电荷体密度，为空间中电荷体密度，为正电荷流动速度。为正电荷流动速度。2)2)2 2、面电流密度、面电流密度 Surface Electronic current density v当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。v面电流密度面电流密度 定义：定义：电流在曲面电流在曲面S S上流动，在垂直于上流动，在垂直于电流方向
6、取一线元电流方向取一线元 ，若通过，若通过线元的电流为线元的电流为 ，则定义，则定义1 1）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）的方向为电流方向（即正电荷运动方向）讨论：讨论：2 2）若表面上电荷密度为）若表面上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以速，且电荷沿某方向以速度度 运动，则可推得此时面电流密度为：运动，则可推得此时面电流密度为：注意：注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。电流就有面电流。3 3、线电流与电流元、线电流与电流元v电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。v电流元电流元
7、 ：长度为无限小的线电流元。：长度为无限小的线电流元。3 3）穿过任意曲线的电流：）穿过任意曲线的电流：证明2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量基本场矢量：基本场矢量：电场强度电场强度E电通量密度（电位移矢量）电通量密度（电位移矢量）D磁通量密度磁通量密度(磁感应强度磁感应强度)B磁场强度磁场强度H基本定律：基本定律：库仑定律库仑定律 高斯定理高斯定理毕奥毕奥-萨伐定律萨伐定律安培环路定律安培环路定律v静电场：静电场：恒定不变的电场，由静止电荷产生。即：恒定不变的电场，由静止电荷产生。即：v恒定电磁、场：恒定电磁、场：恒定电流所产生的电场和磁场。恒定电流所产
8、生的电场和磁场。静态电磁场：静电场、恒定电场、恒定磁场静态电磁场：静电场、恒定电场、恒定磁场图图 2-1 两点电荷间的作用力两点电荷间的作用力 库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。一、库仑定律库仑定律 Coulombs Law 2.1.1 库仑定律和电场强度库仑定律和电场强度Coulombs Law and Electronic field indensity式式中中,K是是比比例例常常数数,r是是两两点点电电荷荷间间的的距距离离,是是从从q1指指向向q2的的单单位矢量。若位矢量。若q1和和q2同号同号,该力是斥力该力是斥力,异号
9、时为吸力。异号时为吸力。在国际单位制中在国际单位制中,库仑定律表达为库仑定律表达为 式式中中,q1和和q2的的单单位位是是库库仑仑(C),r的的单单位位是是米米(m),0是是真真空空的的介介电常数电常数:说明说明：v2 2、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中、库仑定律是在无限大的均匀、线性、各向同性介质中总结出的实验定律。总结出的实验定律。v1 1、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点电、静止点电荷之间的相互作用力称为静电力。两个点电荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷之荷之间静电力的大小与两个电荷的电量成正比、与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上
10、。间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。v3 3、静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中、静电力遵从叠加原理，当有多个点电荷存在时，其中任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对其作用力的任一个点电荷受到的静电力是其他各点电荷对其作用力的矢量叠加矢量叠加 v4 4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和线、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必须电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必须进行矢量积分进行矢量积分 v5)由库仑定律知由库仑定律知,在离点电荷在离点电荷q距离为距离为r处的电场强度为处的电场强度为 二、电场强度
11、二、电场强度单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强度度，以以E E 表示表示。式中式中q 为试验电荷的电量，为试验电荷的电量，F F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。说明：说明：v1 1）对）对q q取极限是避免引入试验电荷影响原电场；取极限是避免引入试验电荷影响原电场；v2 2）电场强度的方向与电场力的方向一致；）电场强度的方向与电场力的方向一致；v3 3）电场强度的大小与试验电荷）电场强度的大小与试验电荷q q的电量无关。的电量无关。v4)4)电场的单位：牛顿电场的单位：牛顿/库仑库仑(N/C)N/C)定义定义：是是媒媒质质
12、的的介介电电常常数数,在在真真空空中中=0 0。这这样样,对对真真空空中的点电荷中的点电荷q,除除电电场场强强度度E外外,描描述述电电场场的的另另一一个个基基本本量量是是电电通通量量密密度度D,又称为电位移矢量。又称为电位移矢量。在简单媒质中在简单媒质中,电通量密度由下式定义电通量密度由下式定义:一、电通量密度：一、电通量密度：Electronic flux电通量电通量:电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量二、高斯定理二、高斯定理2.1.2 高斯定理高斯定理,电通量密度电通量密度Gausss Law,Electroni
13、c fluxGausss Law q此通量仅取决于点电荷量此通量仅取决于点电荷量q,而与所取球面的半径无关。而与所取球面的半径无关。q如如果果在在封封闭闭面面内内的的电电荷荷不不止止一一个个,则则利利用用叠叠加加原原理理知知,穿穿出封闭面的出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电量电通量总和等于此面所包围的总电量 即穿过任一封闭面的电通量即穿过任一封闭面的电通量,等于此面所包围的自由电荷总电量等于此面所包围的自由电荷总电量取积分曲面为半径为取积分曲面为半径为r的球面，电通量为的球面，电通量为：高斯定理：高斯定理：说明：说明：若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度若封闭面所包围的体积内的电荷是以
14、体密度v分布的分布的,则所包则所包围的总电量为围的总电量为 上式对不同的上式对不同的V都应成立都应成立,因此两边被积函数必定相等因此两边被积函数必定相等,于是有于是有 高斯定理的微分形式高斯定理的微分形式三、利用高斯定理求解静电场三、利用高斯定理求解静电场v关键：高斯面的选择。关键：高斯面的选择。v高斯面的选择原则：高斯面的选择原则：v用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。布的电荷系统。1 1）场点位于高斯面上；）场点位于高斯面上；2 2）高斯面为闭合面；）高斯面为闭合面；3 3）在整个或分段高斯面上，）在整个或分段高斯面上，
15、或或 为恒定值。为恒定值。求真空中半径为求真空中半径为a a，带电量为，带电量为Q Q的导体球在球外空间中产生的导体球在球外空间中产生E E。分析：分析：v电场方向沿半径方向：电场方向沿半径方向：v电场大小只与场点距离球心的距离相关。电场大小只与场点距离球心的距离相关。解：解：在球面上取面元在球面上取面元dsds，该面元在，该面元在P P点点处产生的电场径向分量为：处产生的电场径向分量为：式中：式中：例题一例题一说明：说明：与位于球心的点电荷与位于球心的点电荷Q Q在空间中产生的电场等效。在空间中产生的电场等效。已知真空中电荷分布函数为：已知真空中电荷分布函数为：式中式中r为球坐标系中的半径求
16、空间各点的电场强度。为球坐标系中的半径求空间各点的电场强度。解：解：由高斯定理由高斯定理ra例例2.1.3 毕奥毕奥-萨伐定律萨伐定律,磁通量密度磁通量密度The Biot-Savart Law,Magnetic flux density 运动电荷在磁场中受到的作用力的特点：运动电荷在磁场中受到的作用力的特点：与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向与电荷量及运动速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。有关。电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为电荷沿某一方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。受力为零的方向为零线方向零。受力为零的方向为零线方向如果
17、最大作用力为如果最大作用力为 Fm，则实验发现沿偏离零线方向则实验发现沿偏离零线方向 角度角度运动时，受力为运动时，受力为Fmsinv磁场的重要特性：磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。力的作用，称为磁场力。v磁感应强度矢量磁感应强度矢量 :描述空间磁场分布。描述空间磁场分布。一、磁感应强度一、磁感应强度 Magnetic flux density 在磁场在磁场 空间中，以速度空间中，以速度 运动的电荷运动的电荷q0 0所受的作用力为所受的作用力为说明：说明：称为称为磁感应强度或磁通密度磁感应强度或磁通密度，单位为，单位为T
18、 T（特斯拉）。（特斯拉）。其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。其方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。两个载流回路间的作用力两个载流回路间的作用力 真空中，两电流回路真空中，两电流回路C C1 1,C,C2 2，载流分别为载流分别为I I1 1,I,I2 2，则：，则：r是是电流元电流元Idl至至Idl的距离的距离,是由是由dl指向指向dl的单位矢量的单位矢量,0是真空的磁导率是真空的磁导率:二、毕奥二、毕奥-萨伐定律萨伐定律The Biot-Savart Law两个电流回路之间的作两个电流回路之间的作用力为：用力为：q安培力定律安培力定律:Amperes force law 电流元
19、电流元 在磁场在磁场 中受到的磁场力为：中受到的磁场力为：若若 由电流元由电流元 产生，则由安培力定律产生，则由安培力定律可知，电流元可知，电流元 产生的磁感应强度为：产生的磁感应强度为：毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律说明：说明：、三者满足右手螺旋关系。三者满足右手螺旋关系。二、电流元产生的磁场的磁场强度二、电流元产生的磁场的磁场强度1 1、体电流、体电流三、体电流与面电流产生的磁感应强度三、体电流与面电流产生的磁感应强度2 2、面电流、面电流3 3、载流为、载流为I I的无限长线电流在空间中产生磁场的无限长线电流在空间中产生磁场例题一例题一求半径为求半径为a a的电流环在其轴线上产生的磁场。的
20、电流环在其轴线上产生的磁场。分析：在轴线上，磁场方向沿分析：在轴线上，磁场方向沿z z向向。电流分布呈轴对称。电流分布呈轴对称。解解：建立如图柱面坐标系。：建立如图柱面坐标系。在电流环上任取电流元在电流环上任取电流元 ，令其坐，令其坐标位置矢量为标位置矢量为 。易知：易知：例例 2.1 参参看看图图2-3,长长2l的的直直导导线线上上流流过过电电流流I。求求真真空空中中P点点的的磁磁通量密度通量密度。图图 2-3 载流直导线载流直导线 解解 采用柱坐标采用柱坐标,电流电流Idz到到P点的距离点的距离矢量是矢量是解解 采用柱坐标采用柱坐标,电流电流Idz到到P点的距离矢量是点的距离矢量是对无限长
21、直导线对无限长直导线,l,有有在简单媒质中在简单媒质中,磁场强度磁场强度H由下式定义由下式定义:在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与在恒定磁场中，磁场强度矢量沿任意闭合路径的环量等于其与回路交链的电流之和，即：回路交链的电流之和，即：称为媒质磁导率。称为媒质磁导率。为真空中的为真空中的磁场强度磁场强度 Magnetic field intensity安培环路定律安培环路定律 Amperes circuital law安培环路定律安培环路定律(积分形式积分形式)2.1.4 安培环路定律、磁场强度安培环路定律、磁场强度因为因为S面是任意取的面是任意取的,所以必有所以必有 由斯托克
22、斯定理，由斯托克斯定理，J为为电流密度，电流密度，是一个矢量，电流密度的方向为是一个矢量，电流密度的方向为正正电荷的电荷的运动方向，其大小为单位时间内运动方向，其大小为单位时间内垂直垂直穿过单位面积的电穿过单位面积的电荷量。荷量。安培环路定律安培环路定律(微分形式微分形式)在静电场中在静电场中E沿任何闭合路径的线积分恒为零沿任何闭合路径的线积分恒为零:利用斯托克斯定理得利用斯托克斯定理得 S由于电场强度的旋度为由于电场强度的旋度为0，可引入电位函数，可引入电位函数，使使 物理意义：物理意义：静态电场是无旋场即保守场静态电场是无旋场即保守场在静态电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力在静
23、态电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零做功为零静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）静电场为保守场。（电力线不构成闭合回路）一、电场强度的旋度一、电场强度的旋度2.1.5 两个补充的基本方程两个补充的基本方程二、磁场强度的散度：二、磁场强度的散度：在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面的磁通量为量为0，即：，即：散度定理散度定理磁通连续性定律（积分形式）磁通连续性定律（积分形式）孤立磁荷不存在孤立磁荷不存在磁力线在空间任意位置是连续的。磁力线在空间任意位置是连续的。孤立磁荷不存在孤立磁荷不存在 (A)0A)0，故故B B可
24、用一矢量函数的旋度来表示。可用一矢量函数的旋度来表示。结论：结论：2.2.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律(Faradays Law of Induction)静态场静态场:场大小不随时间发生改变场大小不随时间发生改变(静电场静电场,恒定电、磁场恒定电、磁场)时变场时变场:场的大小随时间发生改变。场的大小随时间发生改变。特特性性：电电场场和和磁磁场场相相互互激激励励，从从而而形形成成不不可可分分隔隔的的统统一一的的整整体，称为电磁场。体，称为电磁场。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。一、电磁感应现象与楞次定律一、电磁感应现象与楞次定律q电电磁磁感感
25、应应现现象象实实验验表表明明：当当穿穿过过导导体体回回路路的的磁磁通通量量发发生生变化时，回路中会出现感应电流。变化时，回路中会出现感应电流。q 楞楞次次定定律律：回回路路总总是是企企图图以以感感应应电电流流产产生生的的穿穿过过回回路路自自身身的磁通，去的磁通，去反抗反抗引起感应电流的磁通量的改变。引起感应电流的磁通量的改变。2.2 Time-varying Electromagnetic Fields法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律q 法法拉拉第第电电磁磁感感应应定定律律：当当穿穿过过导导体体回回路路的的磁磁通通量量发发生生改改变变时时，回回路路中中产产生生的的感
26、感应应电电动动势势与与回回路路磁磁通通量量的的时时间间变变化化率率成成正正比关系。数学表示：比关系。数学表示：说说明明：“-”“-”号号表表示示回回路路中中产产生生的的感感应应电电动动势势的的作作用用总总是是要要阻阻止止回路磁通量的改变。回路磁通量的改变。二、法拉第电磁感应定律二、法拉第电磁感应定律 当回路以速度当回路以速度v运动时，运动时，斯托克斯定理斯托克斯定理法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式物物理理意意义义：1 1、某某点点磁磁感感应应强强度度的的时时间间变变化化率率的的负负值值等等于于该该点点时时变变电场强度的旋度。电场强度的旋度。2 2、感感应应电电场场是是有有旋
27、旋场场，其其旋旋涡涡源源为为 ，即即磁磁场场随随时时间间变变化化的的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。说明：说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中间变化在回路中“感生感生”的电动势的电动势;第二部分是导体回路第二部分是导体回路以速度以速度v对磁场作相对运动所引起的对磁场作相对运动所引起的“动生动生”电动势电动势当回路静止时，当回路静止时，变化的电场变化的电场能产生磁场能产生磁场q电流连续性方程电流连续性方程 时间内，时间内，V V内流出内流出S S的电荷量为的电荷量为电荷
28、守恒定律：电荷守恒定律：时间内，时间内，V V内电荷改内电荷改变量为变量为由电流强度定义：由电流强度定义：电流连续性方电流连续性方程的微分形式程的微分形式电流连续性方程积分形式电流连续性方程积分形式2.2.2 位移电流和全电流定律位移电流和全电流定律在时变情况下在时变情况下 另一方面，由另一方面，由 得到了两个相互矛盾的结果。得到了两个相互矛盾的结果。q 位移电流位移电流 在在 的右端加一修正项的右端加一修正项则则是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为为位移电流密度位移电流密度:q 全电流定律全电流定律 由积分形式：积分形式：物理
29、意义：物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。上的全电流。推广的安培环推广的安培环路定理路定理全电流定律全电流定律全电流全电流变化的电场变化的电场能产生磁场能产生磁场对任意封闭面对任意封闭面S有有 2.2.3 全电流连续性原理全电流连续性原理 物理意义：物理意义：穿穿过过任任一一封封闭闭面面的的各各类类电电流流之之和和恒恒为为零零。这这就就是是全全电电
30、流流连连续续性性原理。原理。将将它它应应用用于于只只有有传传导导电电流流的的回回路路中中,得得知知节节点点处处传传导导电电流流的的代代数数和和为为零零(流流出出的的电电流流取取正正号号,流流入入取取负负号号)。这这就就是是基基尔尔霍霍夫夫(G.R.Kirchhoff,德德)电流定律电流定律:I=0。例例：在在z=0和和z=d位位置置有有两两个个无无限限大大理理想想导导体体板板，在在极极板板间间存存在在时时变变电电磁磁场场，其其电场强度为电场强度为求求：(1)(1)该时变场相伴的磁场强度该时变场相伴的磁场强度 ；例题例题解：解：(1)(1)由由法拉第电磁感应定律微分形式法拉第电磁感应定律微分形式
31、设设平平板板电电容容器器两两端端加加有有时时变变电电压压U,试试推推导导通通过过电电容容器器的的电电流流I与与U的关系。的关系。图 2-4 平板电容器 例例 2.2解：解：设平板尺寸远大于其间距设平板尺寸远大于其间距,则板间电场可视为均匀则板间电场可视为均匀,即即E=U/d,从而得从而得 式中式中C=A/d为平板电容器的电容。为平板电容器的电容。2.3.1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 2.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组Maxwells Equations（推广的安培环路定律）（推广的安培环路定律）（法拉第电磁感应定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续
32、性定律）（磁通连续性定律）（高斯定律）（高斯定律）一、麦克斯韦方程组的微分形式一、麦克斯韦方程组的微分形式 时变电磁场的源：时变电磁场的源：1 1、真实源（变化的电流和电荷）；、真实源（变化的电流和电荷）；2 2、变化的电场和变化的磁场。、变化的电场和变化的磁场。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。物理意义：物理意义：时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。场是有旋
33、有散场。在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。电磁波。麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组的的地地位位：揭揭示示了了电电磁磁场场场场量量与与源源之之间间的的基基本本关关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础电磁场理论的基础。二、麦克斯韦方程组的积分形式二、麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒
34、定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之之间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方间的关系，它们适用于任何媒质，通常称为麦克斯韦方程组的非限定形式程组的非限定形式 本构关系本构关系 将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。三、麦克斯韦方程组的限定形式三、麦克斯韦方
35、程组的限定形式麦克斯韦方程麦克斯韦方程组限定形式组限定形式Constitutive equations 若若媒媒质质参参数数与与位位置置无无关关,称称为为均均匀匀(homogeneous)媒媒质质;若媒质参数与场强大小无关若媒质参数与场强大小无关,称为称为线性线性(linear)媒质媒质;若若媒媒质质参参数数与与场场强强方方向向无无关关,称称为为各各向向同同性性(isotropic)媒媒质质;若若媒媒质质参参数数与与场场强强频频率率无无关关,称称为为非非色色散散媒媒质质;反反之之称称为为色色散散(dispersive)媒质。媒质。四、媒质的分类四、媒质的分类在在无无源源区区域域中中充充满满均均
36、匀匀、线线性性、各各向向同同性性的的无无耗耗媒媒质质空空间间中中,由由麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组,=0,J=0=0,J=0无无源源区区电电场场波动方程波动方程同理，可以推得无源区磁场波动方程为：同理，可以推得无源区磁场波动方程为：2.3.2 2.3.2 无源区的波动方程无源区的波动方程wave equations for source-free medium时时变变电电磁磁场场的的电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量在在空空间间中中是是以以波波动动形形式式变变化化的，因此称时变电磁场为电磁波。的，因此称时变电磁场为电磁波。建建立立波波动动方方程程的的意意义义：通通过过解解波波动动方方程程，可
37、可以以求求出出空空间间中中电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量的的分分布布情情况况。但但需需要要注注意意的的是是：只只有有少少数数特特殊殊情况可以通过直接求解波动方程求解。情况可以通过直接求解波动方程求解。一、定义一、定义令：令：，故：故：动态矢量位和标量位动态矢量位和标量位 dynamic Vector potential scalar potentialq 时时变变场场电电场场场场量量和和磁磁场场场场量量均均为为时时间间和和空空间间位位置置的的函函数数，因因此此动动态态矢矢量量位位和和动动态态标标量量位位也也为为时时间间和和空空间间位置的函数位置的函数。q 由由于于时时变变场场电电场场和和
38、磁磁场场为为统统一一整整体体，因因此此动动态态标标量量位和动态矢量位也是一个统一的整体。位和动态矢量位也是一个统一的整体。为为了了使使时时变变电电磁磁场场场场量量和和动动态态位位之之间间满满足足一一一一对对应关系，须引入额外的限定条件应关系，须引入额外的限定条件规范条件。规范条件。洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件二、洛伦兹规范条件三、动态位满足的方程三、动态位满足的方程引入洛伦兹规范条件，则方程简化为引入洛伦兹规范条件，则方程简化为达朗贝尔方程达朗贝尔方程从达朗贝尔方程可以看出：从达朗贝尔方程可以看出：试试用用麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组导导出出图图2-6所所示示的的RLC串串联
39、联电电路路的的电电压压方方程程(电路全长远小于波长电路全长远小于波长)。图 2-6 RLC串联电路 解解:沿沿导导线线回回路路l作作电电场场E的的闭闭合合路路径径积积分分,根根据据麦麦氏氏方方程程式式(a)有有 上上式式左左端端就就是是沿沿回回路路的的电电压压降降,而而是是回回路路所所包包围围的的磁磁通通。将将回路电压分段表示回路电压分段表示,得得 设电阻段导体长为设电阻段导体长为l1,截面积为截面积为A,电导率为电导率为,其中电场为其中电场为J/,故故 电感电感L定义为定义为m/I,m是通过电感线圈的全磁通是通过电感线圈的全磁通,得得 通过电容通过电容C的电流已由例的电流已由例2.2得出得出
40、:设外加电场为设外加电场为Ee,则有则有 因为回路中的杂散磁通可略因为回路中的杂散磁通可略,d/dt0,从而得从而得 这这就就是是大大家家所所熟熟知知的的基基尔尔霍霍夫夫电电压压定定律律。对对于于场场源源随随时时间间作作简简谐变化的情形谐变化的情形,设角频率为设角频率为,上式可化为上式可化为 2.4 证明导电媒质内部证明导电媒质内部v=0。;解解 利用电流连续性方程利用电流连续性方程(2-31),并考虑到并考虑到J=E,有有 其解为其解为 例例导体内的电荷极快地衰减导体内的电荷极快地衰减,使得其中的使得其中的v可看作零。可看作零。铜铜=5.8107S/m=0=1.510-19sv随时间按指数减
41、小随时间按指数减小驰豫时间驰豫时间:衰减至衰减至v0的的1/e即即36.8%的时间的时间,=/(s)一、一般媒质分界面上的边界条件一、一般媒质分界面上的边界条件()()2-4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件v在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、发生突变，发生突变，因而分界面处的场矢量因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程也会突变，麦克斯韦方程组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边
42、界条件就由它导出。1 1、的边界条件的边界条件The boundary conditions for time-varying fields 为表面传导电流密度。为表面传导电流密度。式中：式中：为由媒质为由媒质2 211的法向。的法向。r 特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则结结论论：当当分分界界面面上上存存在在传传导导面面电电流流时时，切切向向不不连连续续，其其不不连续量等于分界面上面电流密度。连续量等于分界面上面电流密度。当且仅当分界面上不存在传导面电流时，当且仅当分界面上不存在传导面电流时，切向连续。切向连续。2 2、的边界条件的边界条件结论：
43、结论：只要磁感应强度的时间变化率是有限只要磁感应强度的时间变化率是有限的，的，切向连续。切向连续。3 3、的边界条件的边界条件结论：在边界面上，结论：在边界面上，法向连续。法向连续。4 4、的边界条件的边界条件q 为分界面上自由电荷面密度。为分界面上自由电荷面密度。特殊地：若媒质为理想介质，则特殊地：若媒质为理想介质，则 ,此时有此时有q 当当分分界界面面上上存存在在自自由由电电荷荷时时，切切向向不不连连续续，其其不不连连续量等于分界面上面电荷密度。续量等于分界面上面电荷密度。q 当且仅当分界面上当且仅当分界面上不存在不存在自由电荷时，自由电荷时，切向连续切向连续。5 5、J J的边界条件的边
44、界条件 在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。二、理想介质分界面上的边界条件二、理想介质分界面上的边界条件q 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上，矢量切向连续矢量切向连续 在理想介质分界面上，在理想介质分界面上，矢量法向连续矢量法向连续Boundary conditions Between two Perfect dielectrics 在在理理想想导导体体内内部部 ，在在导导体体分分界界面面上上，一般存在自由电荷和传导电流。一般存在自由电荷和传导电流。式中：式中：为导体外法向。为导体外法向。三、理想导体分界面上的边界条件三、理想导体分
45、界面上的边界条件q 对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁场总是与理想导体相切。场总是与理想导体相切。Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric 时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两个法向分量的边界条件。个法向分量的边界条件。说明：说明：在理想介质的分界面上，用于定
46、解的边界条件为在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为 ，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用这个边界条件。这个边界条件。理理想想介介质质和和理理想想导导体体只只是是理理论论上上存存在在。在在实实际际应应用用中中，某某些些媒媒质质导导电电率率极极小小或或者者极极大大，则则可可视视作作理理想想介介质质或或理理想想导导体体进行处理。进行处理。在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件为为 或或 。分析电磁波在理想导体表面上。分析电磁波在理想导体表面上的反射时就要使用这个边界
47、条件。的反射时就要使用这个边界条件。同轴线横截面如图同轴线横截面如图2-9（a）所示。设通过直流）所示。设通过直流I,内外导体上电内外导体上电流大小相等，方向相反。求各区中的流大小相等，方向相反。求各区中的H和和H,并验证各分界处并验证各分界处的边界条件的边界条件。例例 在在直直流流情情形形下下内内外外导导体体中中电电流流密密度度是是均均匀匀的的,分分别别为为解解（2）（3）以以上上H结结果果证证明明表表2-1中中的的麦麦氏氏方方程程组组式式(b)处处处处成成立立。下面再验证边界条件下面再验证边界条件:（4）例例 2.6 设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m,板间媒质是云母,r=7.4,
48、求二导体极板上的面电荷密度。解解 参看图2-9(b),把极板看作理想导体,在A,B板表面分别有 例例：在在z=0和和z=d位位置置有有两两个个无无限限大大理理想想导导体体板板，在在极极板板间间存存在在时时变变电电磁磁场场，其其电场强度为电场强度为求求：(1)(1)该时变场相伴的磁场强度该时变场相伴的磁场强度 ；(2)(2)导体板上的电流分布。导体板上的电流分布。例题例题解：解：(1)(1)由麦克斯韦方程由麦克斯韦方程(2)(2)由边界条件由边界条件在下极板上：在下极板上：在上极板上：在上极板上：q 时时变变场场中中，电电场场和和磁磁场场相相互互激激励励，能能量量不不断断转转换换，在在这这个个过
49、过程程中，电磁能量从一个地方传递到另外的地方。中，电磁能量从一个地方传递到另外的地方。一、坡印廷定理一、坡印廷定理q 坡印廷定理描述了空间中坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系电磁能量守恒关系。2-5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量Poyntings theorem the Poyntings vectorThe energy and flow of energy in the time-varying fields 利用矢量函数求导公式，利用矢量函数求导公式，在线性、均匀、各向同性的媒质中，有在线性、均匀、各向同性的媒质中，有坡印廷定理微分形式坡印廷定理微分形式说明：说明：单
50、位时间单位体积内流出的电磁能量；单位时间单位体积内流出的电磁能量；单位时间单位体积内电场能量减少量；单位时间单位体积内电场能量减少量；单位时间单位体积内磁场能量减少量；单位时间单位体积内磁场能量减少量；单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得坡印廷定理积分形式坡印廷定理积分形式说明：说明：表流出闭合面表流出闭合面S S的电磁功率；的电磁功率；单位时间内体积单位时间内体积V V内电场能量增加量；内电场能量增加量；坡印廷定理物理意义：坡印廷定理物理意义：单位时间内，体积单位时间内