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1、概率与统计概率与统计 开课系：理学院开课系：理学院 统计与金融数学系统计与金融数学系国家精品国家精品课程主页课程主页:http:/教师教师:陆中胜陆中胜E-mail:lusin2000自然现象分类自然现象分类确定性现象确定性现象:1、磁铁的同性相斥、磁铁的同性相斥,异性相吸异性相吸2、液体在达到沸点时就会沸腾、液体在达到沸点时就会沸腾序言概率论是研究什么的？概率论是研究什么的？随机现象：随机现象：随机现象：随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定在个别试验中其结果呈现出不确定在个别试验中其结果呈现出不确定在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性，在大量重复试验中
2、其结果又具有统计规律性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。性的现象。性的现象。性的现象。不确定性与统计规律性的统一不确定性与统计规律性的统一不确定性与统计规律性的统一不确定性与统计规律性的统一概率论概率论研究和揭示随机现象研究和揭示随机现象的统计规律性的科学的统计规律性的科学&1 1、随机事件及其运算随机事件及其运算随机事件及其运算随机事件及其运算&2 2、古典概型古典概型古典概型古典概型&3 3 3 3、概率与频率、概率与频率、概率与频率、概率与频率&4 4、条件概率条件概率条件概率条件概率&5 5 5 5、事件的独立性、事件的独立性、事件
3、的独立性、事件的独立性第一章第一章 概率论的基础知识概率论的基础知识 随机事件及其运算随机事件及其运算一、随机试验一、随机试验对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。对随机现象的观察，称为随机试验。简称试验。随机试验的特点随机试验的特点1.可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行；2.试验结果可能不止一个试验结果可能不止一个,但能明确所有的可能结果但能明确所有的可能结果;3.试验前无法确定是哪个结果会出现。试验前无法确定是哪个结果会出现。随机试验可表为随机试验可表为E随机试验的例E1:抛一枚硬币，分别用抛一枚硬币，分别用“H”和和“T”表示出正面和反面表示出正面和反面,观察正反面出现的
4、情况观察正反面出现的情况;E2:将一枚硬币连抛将一枚硬币连抛三三次，次，观察观察正反面出现的情况；正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，观察可能出现的点数；掷一颗骰子，观察可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重任选一人，记录他的身高和体重。随机事件随机事件二、样本空间二、样本空间 1、样本空间：试验的、样本空间：试验的所有可能结果所组成的所有可能结果所组成的集合
5、称为样本空间，记为集合称为样本空间，记为S（）.2、样本点、样本点:试验的每一个结果或样本空间的试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点元素称为一个样本点,记为记为e（）.3.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个基本事称为一个基本事件件,记为记为e（）.试验中可能出现也可能不出现的情况叫试验中可能出现也可能不出现的情况叫“随机事件随机事件”，简称简称“事件事件”。记作。记作A、B、C等。等。定义定义注注任何事件均对应着样本空间的某个子集任何事件均对应着样本空间的某个子集.称称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A中的元素中的元素三、随机事
6、件三、随机事件样本空间的子集称为样本空间的子集称为随机事件。随机事件。定义定义例例1E4:掷一颗骰子，考掷一颗骰子，考察察可能出现的点数。可能出现的点数。S4=1,2,3,4,5,6;A=“掷出偶数点掷出偶数点”B=“掷出大于掷出大于4的点的点”=2，4，6 =5，6 C=“掷出奇数点掷出奇数点”=1，3，5几个特殊事件几个特殊事件:必然事件必然事件、不可能事件、不可能事件、基本事件基本事件e四、事件间的关系四、事件间的关系1.包含关系包含关系A B “A发生必导致发生必导致B发生发生”。SAB2.2.相等关系相等关系 A AB B A A B B且且B B A A3n个事件个事件A1,A2,
7、An至少有一个发生至少有一个发生 发生发生3.3.和（并）事件：和（并）事件：和（并）事件：和（并）事件：“事件事件事件事件A A与与与与B B至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生”A A B B发生发生发生发生4.积（交）事件积（交）事件:A与与B同时发生同时发生 A BAB发生发生4n个事件个事件A1,A2,An同时发生同时发生 A1A2An发生发生5.差事件差事件：AB称为称为A与与B的差事件。的差事件。AB发生发生 事件事件A发生而发生而B不发生不发生何时何时A-B=?何时何时A-B=A？SBASAA A与与B B互斥表示互斥表示事件事件A与与B不可能同时发生。不可
8、能同时发生。A与与B互为逆事件互为逆事件.表示表示A,B不可能同时发生，不可能同时发生，但必有一个发生。但必有一个发生。事件与集合对应关系类比事件与集合对应关系类比1、交换律：、交换律：A BB A，ABBA2、结合律：、结合律：(A B)CA(B C)，(AB)CA(BC)3、分配律：、分配律：(A B)C(AC)(BC)，(AB)C(A C)(B C)4、德德.摩根摩根(De Morgan)律：律：五、事件的运算交变并，并变交，最后加补交变并，并变交，最后加补例例2作业可参照此例题1.2 古典概型古典概型 从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A发生的可
9、能性。发生的可能性。P（A A）应具有何种性质？应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？定义：定义：若某试验若某试验E满足满足1.有限性：样本空间有限性：样本空间Se1,e 2 ,e n;2.等可能性：（公认）等可能性：（公认）P(e1)=P(e 2)=P(e n).则称则称E为古典概型也叫为古典概型也叫等可能等可能概型。概型。1.2.1.古典概型与概率古典概型与概率设设事事件件A中中所所含含样样本本点点个个数数为为N(A)，以以
10、N(S)记记样本空间样本空间S中样本点总数，则有中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：具有如下性质：(1)0 P(A)1；非负性非负性(2)P(S)1；P()=0 规范性规范性(3)AB，则，则 P(A B)P(A)P(B)有限可加性有限可加性1.2.2 古典概型的几类基本问题古典概型的几类基本问题两个原理与排列与组合两个原理与排列与组合例例1:设盒中设盒中有有3个白球，个白球，2个红球，现从盒中个红球，现从盒中任任抽抽2个个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。解解:设事件设事件A为取到一红一白为取到一红一白1、抽球问题、抽球问题已知同上例，求至少有一只白球的概率？已知同上例
11、，求至少有一只白球的概率？解：令解：令 B=“至少有一只白球至少有一只白球”则：则：N(B)=超几何分布超几何分布2、分球入盒问题分球入盒问题作业可参照此例题作业可参照此例题例例3：30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均名学生平均分成分成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组名运动员集中在一组3、分组问题、分组问题作业可参照此例题作业可参照此例题例例4：从：从1，2，3，4，5诸数中，任取诸数中
12、，任取3个排成自左向右的次序，个排成自左向右的次序，求：求：（1）“所得三位数是偶数所得三位数是偶数”的概率？的概率？（2）“所得三位数不小于所得三位数不小于200”的概率？的概率？解：解：4、随机取数问题随机取数问题例例6：袋中有：袋中有 a 只白球，只白球，b 只红球，依次将球一只只摸出，不只红球，依次将球一只只摸出，不放回，求第放回，求第 k 次摸出白球的概率？次摸出白球的概率？解：解：设想设想 a+b 只球进行编号，将只球进行编号，将 a+b 只球顺次排列在只球顺次排列在 a+b 个个 位置上。位置上。令令 A=“第第 k 次摸到白球次摸到白球”则则 N(S)=(a+b)!N(A)=C
13、a1(a+b-1)!所以所以 P(A)=a(a+b-1)!/(a+b)!=a/(a+b)5、抽签问题抽签问题1.3 频率与概率频率与概率频率的性质频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若可加性：若A1,A2,Ak两两不相容两两不相容，则则 fn(A1A2 Ak)fn(A1)+fn(Ak).(4)随机波动性。随机波动性。(5)当当n充分大时，具有稳定性。充分大时，具有稳定性。历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币试图证明抛掷匀质硬币时时,出现正反面的机会均等。出现正反面的机会均等。实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，
14、增大时，fn(A)逐渐逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件作为事件A的概率的概率.此为概率的统计定义此为概率的统计定义.两者的关系两者的关系概率的公理化定义概率的公理化定义1.定义：定义：若对随机试验若对随机试验E所对应的样本空间所对应的样本空间S中的中的每一事件每一事件A，均赋予一实数均赋予一实数P(A)，集合函数集合函数P(A)满足条件：满足条件：(1)非负性：非负性：P(A)00；(2)规范性规范性（归一性）：（归一性）：P(S)1；(3)可列可加性可列可加性：设设A1，A2，,是一列两两互不是一列两两互不相容的事件，即相容的事件，即A
15、iAj，(i j),i,j1,2,有有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.则称则称P(A)为事件为事件A的概率。的概率。(2)有限有限可加性可加性：设设A1，A2，An,是是n个两两互不个两两互不相容的事件，即相容的事件，即AiAj ，(i j),i,j1,2,n,则则有有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);(1)概率的性质概率的性质(5)加法公式加法公式：对任意两事件：对任意两事件A、B，有有 P(A B)P(A)P(B)P(AB)该公式该公式可推广到可推广到任意任意n个个事件事件A1，A2，An的的情形情形.例例1解解:(6)(6)互补性互补性例例2某某市市有
16、有甲甲,乙乙,丙丙三三种种报报纸纸,订订每每种种报报纸纸的的人人数数分分别别占占全全体体市市民民人人数数的的30%,其其中中有有10%的的人人同同时时定定甲甲、乙乙两两种种报报纸纸.没没有有人人同同时时订订甲甲丙丙或或乙乙丙丙报报纸纸.求求从从该该市市任任选选一一人人,他他至至少少订订有有一一种报纸的概率种报纸的概率.解解:设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报例例3 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数既不能被）取到的数既不
17、能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解:设设A取到的数能被取到的数能被2整除整除;B-取到的数能被取到的数能被3整除整除 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是红球，若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到
18、红球的概率又是则第二个人取到红球的概率又是多少？多少？一、条件概率一、条件概率例例1 1 设袋中设袋中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现从袋中任意个红球，现从袋中任意抽取两次，每抽取两次，每次取一次取一个个，取后不放回，取后不放回，（1 1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2 2）求第二次取到红球的概率）求第二次取到红球的概率（3 3）求两次均取到红球的概率）求两次均取到红球的概率S=AB例例3.3.一盒中混有一盒中混有100100只新只新 ,旧乒乓球，各有红、旧乒乓球，各有红、白两色，分白两色，分 类如下表。从盒中随机取出
19、一球，类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。概率。红白新4030旧2010解：设解：设AA从盒中随机取到一只红从盒中随机取到一只红球球.B.B从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球.设设A、B S，P（A）0,则则 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件上式就称为事件A、B的概率的概率乘法公式乘法公式。上式还可推广到三个事件的情形：上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An
20、1)二、乘法公式二、乘法公式例例4 4 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从盒中任取一只，个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球同的球，若从盒中连续取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取得白次取得白球、第球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。作业可参照此例题作业可参照此例题定义：定义：事件组事件组A1，A2，An(n可为可为)，称，称为样本空间为样本空间S的一个划分，若满足：的一个划分，若满足：A1A2AnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公
21、式与贝叶斯公式例：例：S=南理工全体本科生南理工全体本科生 Ai=“南理工本科南理工本科i i年级学生年级学生”i i=1,2,3,4 “南理工本科生中男学生南理工本科生中男学生”“南理工本科生中女学生南理工本科生中女学生”概率论意义概率论意义：若：若A1，A2，An是是S的一个划分，的一个划分，则，则，A1，A2，An任意两个不可能同时发生但任意两个不可能同时发生但必有一个发生。必有一个发生。定理定理1、设、设A1，,An是是S的一个划分，且的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件则对任何事件B S有有 上式称为上式称为全概率公式全概率公式。例例6.6.市市场场上上有有甲甲、乙
22、乙、丙丙三三家家工工厂厂生生产产的的同同一一品品牌牌产产品品，已已知知三三家家工工厂厂的的市市场场占占有有率率分分别别为为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且且三三家家工工厂厂的的次次品品率率分分别别为为 2 2、1 1、3 3，试试求求市市场场上上该该品品牌产品的次品率。牌产品的次品率。例例7 有有甲甲乙乙两两个个袋袋子子，甲甲袋袋中中有有两两个个白白球球，1个个红红球球，乙乙袋袋中中有有两两个个红红球球，一一个个白白球球这这六六个个球球手手感感上上不不可可区区别别今今从从甲甲袋袋中中任任取取一一球球放放入入乙乙袋袋，搅搅匀匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？后再从乙袋中任取
23、一球，问此球是红球的概率？甲乙作业可参照此例题作业可参照此例题例例8 在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴在某次世界女排锦标赛中，中、日、美、古巴4个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本对个队争夺决赛权，半决赛方式是中国对古巴，日本对美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战美国，并且中国队已经战胜古巴队，现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为与绩，假定中国队战胜日本队和美国队的概率分别为与，而日本队战胜美国队的概率为，试问中国队取得冠，而日本队战胜美国队的概率为，试问中国队取得冠军的可能性有多大？军的可能性有多大？若已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队若
24、已知中国队获得了冠军，问中国队是与美国队决赛而获胜的概率是多少？决赛而获胜的概率是多少？定理定理2 2 设设A A1 1，,A,An n是是S S的一个划分，且的一个划分，且P(AP(Ai i)0)0，(i(i1 1，n)n)，则对，则对任何事件任何事件B,P(B)0,B,P(B)0,有有 例例10数数字字通通讯讯过过程程中中，信信源源发发射射0、1两两种种状状态态信信号号，其其中中发发0的的概概率率为为，发发1的的概概率率为为。由由于于信信道道中中存存在在干干扰扰，在在发发0的的时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率、和和接接收收为为0、1和和“不不清清”。在在发发1的的时时候候，接接收
25、收端端分分别别以以概概率率、和和接接收收为为1、0和和“不不清清”。现现接接收收端端接接收收到到一一个个“1”的的信信号号，则则发发端端发发的的是是0的的概概率率是是多多少少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+条件概率 缩减的样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 条件概率条件概率 小小 结结有限可加性 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球依次从袋中各取一球,令令 Ak=“第第k个人摸到红球个人摸到红球”，K=1,2若摸后不放回：若摸后不放回：若摸后放回：若摸后放回：结论：若摸后放回
26、结论：若摸后放回,A1发生与否对发生与否对A2不产生影响。不产生影响。1.5 事件的独立性事件的独立性设设A、B是两事件，若是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件则称事件A与与B相互独立相互独立,简称独立简称独立。一、两事件独立一、两事件独立定理：以下四种情形等价：定理：以下四种情形等价：(1)事件事件A、B相互独立；相互独立；(2)事件事件A、B相互独立；相互独立；(3)事件事件A、B相互独立；相互独立；(4)事件事件A、B相互独立。相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2、若三个事件、若三个事件A、B、C满足：满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=
27、P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；一般地，设一般地，设A1，A2，An是是n个事件，如果对个事件，如果对任意任意k (1 k n),任意的任意的1 i1 i2 ik n，具有等具有等式式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立。相互独立。其中其中k=2等式成立时称等式成立时称n个事件个事件A1，A2，An两两独立。两两独立。推论推论1 若事件若事件A1，A2，An,相互独立，相互独立，则其中任意则其中任意k(1 kn)个事件也相互独立个事件也相互
28、独立.推论推论2 若事件若事件A1，A2，An,相互独立，则将这相互独立，则将这n个事件中任意多个事件换成它们的对立事件，个事件中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的所得的n个事件仍相互独立个事件仍相互独立.例：电路由元件例：电路由元件A与两个并联的元件与两个并联的元件B,C串联而成，串联而成，若若A,B,C损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率损坏与否是相互独立的，且它们损坏的概率依次为依次为.，.，.，则电路断路的概率是多，则电路断路的概率是多少？少？解：设解：设A,B,C分别表元件分别表元件A,B,C损坏。因损坏。因A,B,C独立，独立，则则三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、
29、加法公式的简化：若、加法公式的简化：若事件事件A1，A2，An相互相互独立独立,则则 作业作业4.7(1)可参照此例题可参照此例题第一章第一章 小结小结本章由六个概念（随机本章由六个概念（随机现象现象、样本空间、样本空间、随机随机事件、概率、条件概率、独立性事件、概率、条件概率、独立性）、两个性质）、两个性质（有限可加性和互补性）、四个公式（加法公（有限可加性和互补性）、四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成。另外一个概型（古典概型）组成。另外还有两个原还有两个原理理、两个排列、两个组合公式。、两个排列、两个组合公式。思考题思考题1、50只只铆铆钉钉随随机机地地取取来来用用于于10个个部部件件上上，其其中中有有3个个铆铆钉钉为为次次品品.若若每每个个部部件件用用3只只铆铆钉钉，问问3个个次次品品铆铆钉钉恰恰好好用用于于同同一一部部件的概率是多少？件的概率是多少？