滤波器设计方法.ppt

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1、4.1引言引言数字滤波器的总体设计步骤包括：（1）按照设计要求，确定滤波器的性能指标；（2）采用一个因果、稳定的离散LTI系统的系统函数逼近该性能指标;（3）利用有限精度算法来实现该系统函数;（4）采用通用计算机软件、专用或通用的数字信号处理器（DSP）来实现。本章主要讨论其中的第（2）项和第（3）项中的运算结构等内容模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 按照频率特性，模拟滤波器可分为低通、高通、带通、带阻和全通等类型。模拟低通滤波器的传输函数经频率变换可以转换成模拟高通、带通和带阻滤波器。设计模拟低通滤波器是根据一组设计规范求得模拟系统函数，使其逼近理想低通滤波器的特性。通常可根据滤波器的幅度平

2、方函数进行逼近，也可根据相位特性或群延迟特性进行逼近。模拟低通滤波器的幅度平方逼近函数有巴特沃斯型、切比雪夫型和椭圆型函数等。低通模拟滤波器特性及幅度 平方逼近 1理想滤波器的幅频特性上图给出了各种理想滤波器的幅频特性，这些特性包括：(1)通带内传输函数的幅度是常数，相移特性是线性的；(2)阻带内传输函数的幅度为零，对相移特性没有要求；(3)从通带到阻带有一个过渡带，对于理想滤波器为零。2.低通滤波器的技术指标及其幅频特性对于模拟低通滤波器，技术指标包括：(1)通带截止频率 及通带内的最大衰减(2)（或通带边缘增益 ）或通带波纹 ；(2)阻带截止频率 及阻带内最小衰减（或阻带边缘增益 ）或阻带

3、波纹 。对于单调下降的幅度特性，如果 且 ，则 称为3dB截止频率或半功率截止频率。通带波纹 用来描述通带内最大和最小增益之差，即 。衰减为。可得 与 的关系为：阻带波纹 用来描述阻带内的最大增益，即 。衰减为 dB，可得 与 的关系为：给定技术指标后，模拟滤波器的设计任务就是求得一个系统函数，使其满足该技术指标。3由幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器的幅度响应常用幅度平方函数来表示，即 由于滤波器冲激响应是 实信号，有，所以 若已知，如何求得呢？由于 为实信号，其系统函数中的极点（或零点）必以共轭对形式出现。又由于实际可实现的滤波器都是稳定的，其系统函数 的极点一定位于s左半平面，而 的极点

4、一定位于s右半平面，即左半平面的极点属于 ，而右半平面的极点属于 。4.2.2巴特沃斯滤波器设计1巴特沃斯滤波器的特性巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：式中，N为正整数，表示滤波器的阶数，为3dB截止频率。应用巴特沃斯幅度平方函数描述的低通滤波器具有如下特点。（1）当 时，。（2）当 时，或 。（4）当 时，即过渡带和阻带内，也随着 的增大单调减小，但比通带内衰减的速度快得多，且N越大，衰减速度越快，过渡带也就越陡峭，如图所示。（3）当 时，即通带内，随着 的增加单调减小，且N越大，实际越慢，通带也就越平坦。巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系2巴特沃斯滤波器的系统函数将 代入式中，可得

5、：可见，巴特沃斯滤波器是一个全极点型滤波器。共有2N个极点，每个极点表示如下：由上可看出，的极点分布特点为：（1）极点在s平面是象限对称的，分布在半径为 的 圆（巴特沃斯圆）上，共有2N个极点。极点间的角度间 隔为 。（2）极点绝不能落在虚轴上，这样滤波器才有可能稳 定。（3）N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上 无极点。选取在左半平面上的极点作为 的极点，因此有：例例4-1 导出三阶巴特沃斯型低通滤波器 的系统函数，已知解解 该巴特沃斯型低通滤波器的幅度平方函数为：即即 各极点为：即极点的分布如图所示。取s平面左半平面的极点 、和 组成 ：3巴特沃斯模拟滤波器的设计方法确定技术指标，

6、包括：通带截止频率 及通带内的最大衰减 ，阻带截止频率 及阻带内最小衰减 。根据式得到：从而得到：则 当 时，简化得：例例4-24-2 已知一个模拟低通滤波器通带截止频率 通带最大衰减 阻带起始频率 ，阻带最小衰减 ，试根据上述要求设计巴特沃斯低通滤波器。解解 （1）确定滤波器的阶数 因为 ，由 及 可求得则取阶数N5。因为 所以（2）计算s左半平面上的N个极点（3）写出滤波器的系统函数4.2.3切比雪夫切比雪夫I型滤波器设计型滤波器设计1切比雪夫滤波器的特性 若切比雪夫滤波器的幅度特性在通带内是等波纹的，而在阻带内是单调的，则称之为切比雪夫I型滤波器，如图所示 若幅度特性在通带内是单调的，而

7、在阻带内是等波纹的，则称之为切比雪夫II型滤波器。这里主要介绍切比雪夫I型滤波器的设计。N阶切比雪夫I型滤波器形状N阶模拟切比雪夫I型滤波器，其幅度平方函数定义为：式中，参数 为小于1的正数，为低通滤波器的截止频率（不一定是3dB频率）。是N阶切比雪夫多项式，定义为：可知，幅度平方函数由阶数N和参数 确定。2切比雪夫模拟滤波器的设计方法模拟切比雪夫I型滤波器的阶数N可由下式确定：式中，由阻带边缘增益 （如图所示）计算得到：参数 由通带边缘增益计算得到：则系统函数为：线性增益频谱图例例4-3一个模拟低通滤波器，要求通带截止频率为 3kHz，通带最大衰减为，阻带截止频率为12kHz，阻带最小衰减为

8、60dB。应用切比雪夫I型滤波器的设计 方法求该滤波器的幅度函数。解解由 ，求得，则由 ，求得。则所需滤波器的阶数为：取N=5，则该模拟低通滤波器的幅度表示为：4.3 无限冲激响应（IIR）数字滤波器设计 无限冲激响应滤波器也称为递归滤波器，其所对应的差分方程如下：一般IIR滤波器的传输函数为：具有M个零点和N个极点，可见递归滤波器不能保证其稳定性。所以，稳定性检验是许多IIR滤波器设计的重要组成部分。递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的线性相位；递归滤波器的优势在于，在实现类似的性能要求时，递归滤波器比非递归滤波器所需要的系数（或阶数）要小得多。设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法。递归

9、滤波器与非递归滤波器之间的区别还包括：（1）先按照技术指标设计一个模拟滤波器 ，然后再按照一定的映射关系将 转换成数字滤波器的 。（2）计算机辅助设计法。这是一种最优化的设计方法。这种设计需要进行大量的迭代运算，故需要计算机的支持。我们主要介绍第一种方法，即利用模拟滤波器设计数字滤波器。那么，如何将模拟滤波器的传输函数 转换成数字滤波器的传输函数 呢？模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现，也可以在频域实现。时域转换法是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等，具体方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法和匹配z变换法。频域变换法是使数字滤波器在范围内的幅度特性与模拟滤波器在范围内

10、的幅度特性一致，具体方法有：双线性变换法、微分映射法。上述方法中得到广泛使用的有冲激响应不变法和双线性变换法。无论采用哪种方法，为了保证由转换得到的仍然满足技术指标并具有稳定性，复变量s到复变量z之间的映射关系必须满足以下两个基本要求：（1）的频率响应要能够模仿的频率响应。（2）因果稳定的能够映射成因果稳定的。4.3.1冲激响应不变法1变换原理冲激响应不变法是依据数字滤波器的冲激响应与模拟滤波器的冲激响应在采样点上值相等，即如果令是的拉普拉斯变换，是的z变换，则由模拟系统的系统函数求拉普拉斯逆变换得到模拟的冲激响应，然后采样得到，再取z变换得。s平面和z平面之间的对应关系：下图显示了冲激响应不

11、变法的s域到z域的映射关系。若将和代入，可得分析结果表明：（1）当，即时，即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上；（2）当时，即s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内；（3）当时，即s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外。分析图不难发现，从s平面到z平面是一种多值映射关系，因此，要求 必须在 内严格带限，且带限于折叠频率以内时，即2混叠失真混叠失真时才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真，即但是，任何严格设计的模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后会产生周期延拓分量的频谱交叠。,由于是实数，因而的极点必成共轭对存在，则变成的映射关系为：，3模拟滤波

12、器数字化例例4-4已知模拟滤波器的系统函数为试用冲激响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函数。解根据冲激响应不变法中z平面和s平面的映射关系可知，相应的数字滤波器在处有一对极点，其系统函数为：这是一个二阶递归滤波器，在处有一对共轭极点，在和处有两个零点。将进行部分分式展开得4冲激响应不变法的优缺点冲激响应不变法的最大优点是保持了模拟滤波器的时域瞬态特性，具有良好的时域逼近，而且模拟频率和数字频率之间呈线性映射关系。冲激响应不变法的主要缺点是有频域混叠，所以它只适用于带限的模拟滤波器。4.3.2双线性变换法冲激响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但是由于从s平面到z平面是多值映射关系

13、，所以产生了频率响应的混叠失真。为了克服这一缺点，可以采用双线性变换法。1变换原理 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应 相近似的一种变换方法。它通过将整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的一条横带里（宽度为 ，即 ），然后再通过标准变换关系 将此横带变换到整个z平面上去，如图所示，4.3.2双线性变换法双线性变换法的映射关系将s平面整个 轴压缩到s1平面轴 上的 一段上，可以通过以下的正切映射来实现：从而得到s平面和z平面的单值映射关系为：则这两式就是s平面与z平面之间的单值映射关系，这种变换方法称为双线性变换法。(1)(2)将和 代入式得到模拟角频率 和数字角频率

14、 之间的变换关系：上式的逆双线性变换式为：下面讨论双线性变换法对变换条件的可满足性：（1）将代入式(1)，可得即s平面的虚轴映射成z平面的单位圆。（2）将代入式(2)，可得因此有可见，当时，；当时，；当时，。因此，稳定的模拟滤波器经过双线性变换后，所得的数字滤波器也一定是稳定的。2.频率预畸变 双线性变换的最大优点是避免了频率响应的混叠现象。但是，由于 变换关系是非线性的，所以 和 之间存在着严重的非线性关系，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅度响应必须是分段恒定的。对应分段恒定的滤波器，经过双线性变换后，仍得到幅频特性为分段恒定的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变。这种现象可以通过

15、频率的预畸变来加以校正，也就是将临界频率事先加以畸变（利用公式），然后再经过双线性变换后映射到所需要的频率上。3.模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化模拟滤波器的数字化可以由模拟滤波器的系统函数通过式（1），得到数字滤波器的系统函数，即也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统或级联的子系统，使每个子系统函数都变成低阶的（如一、二阶），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换法。例例4-5 已知模拟滤波器的系统函数为 ，试利用双线性变换法将其转换成数字滤波器 。解解当T=1或 时，则1冲激响应不变法设计数字低通滤波器 步骤如下：4.3.3 4.3.3 低通数字滤波器设计低通数字滤波器设计（）确定待求

16、通带边缘频率 、待求阻带边缘频率 和待求阻带边缘增益 ，通带边缘频率一般对应3dB增益。（）用 把以Hz为单位表示的待求边缘频率转换成以rad为单位的数字频率，得到 和 。（）模拟频率 和数字频率 之间的转换关系为线性关系，即：，或 ，求得 和 ，单位是rad/s。（）由已知的阻带边缘增益 dB，确定阻带边缘增益 。（）用下式计算所需滤波器的阶数。（）将代入N阶巴特沃斯滤波器的传输函数中，求出的N个极点。（7）用下面公式求得所需数字滤波器的传输函数。2双线性变换法设计数字低通滤波器步骤如下：（）确定待求通带边缘频率 、待求阻带边缘频率 、待求的通带边缘增益 dB和待求阻带边缘增益 dB。（注意

17、：这时，通带边缘频率不必一定对应-3dB增益。）（）用公式 把以Hz为单位的待求边缘频率转换成以rad为单位的数字频率，得到 和 。（）计算预扭曲模拟频率，以避免双线性变换带来的失真。由 求得 和 ，单位是rad/s。（4）由指定的通带边缘增益 dB，确定通带边缘增益 ，并由下式计算参数 ：（5）由指定的阻带边缘增益 dB，确定阻带边缘增益 ，并用下式确定 。（6）用下式确定所需滤波器的阶数N。（7）把 和 代入N阶切比雪夫I型滤波器的传输函数 中（由于系统函数通常非常复杂所以一般借助于滤波器设计软件来完成），并对 进行双线性变换得到N阶数字系统函数 。（8）把 代入下式即可得到数字滤波器幅频

18、特性 。高通、带通和带阻高通、带通和带阻IIR数字滤波数字滤波器设计器设计 实际应用中的高通、带通和带阻数字滤波器的设计主要有如图所示的三种方法。（a）方法一：先进行模拟域频率变换，再数字化（b）方法二：先数字化，再进行数字域频率变换（c）方法三：直接对模拟原型进行数字化1.方法一：先进行模拟域频率变换，再数字2.化设计步骤如下：（1）将设计中所给出的数字技术指标转换为模拟技术指标。冲激响应不变法采用的转换公式为：双线性变换法采用的转换公式为：（2）将模拟指标对截止频率进行归一化。（3）将其它类型模拟滤波器（高通、带通和带阻）的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。模拟高通滤波器到模拟低通滤

19、波器（）的技术指标转换方法如图所示。模拟高通到模拟低通滤波器的技术指标转换,模拟带通滤波器到模拟低通滤波器（）的技术指标转换方法如图所示。模拟带阻滤波器到模拟低通滤波器（）的技术指标转换方法如图所示。模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟高通滤波器的系统函数：模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟带通滤波器的系统函数：（4）将模拟低通滤波器的系统函数转换为其它类型模拟滤波器的系统函数（包括去归一化）。若以上各式中的为归一化后的模拟低通滤波器的系统函数，则。（5）模拟滤波器的数字化采用冲激响应不变法或双线性变换法。模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟带阻滤波器的系统函数：2.方法二：先数字化，再进行数字域

20、频率变换具体转换公式如表所示。3.方法三：直接对模拟原型进行数字方法三：直接对模拟原型进行数字化化具体转换公式如表所示。4.4 4.4 有限冲激响应（有限冲激响应（FIRFIR）数字滤）数字滤 波器设计波器设计 FIRFIR数字滤波器的线性相位特性数字滤波器的线性相位特性 由于不同输入频率分量通过滤波器所产生的输出相位延迟不同，从而产生了相位失真。确保不产生相位失真的唯一办法是，使不同输入频率的信号通过滤波器时有相同的输出相位延迟。1相位失真当信号通过线性滤波器后，输出信号的幅度和相位会发生改变。保证所有输出相位延迟相等的方法有两种：一种是使滤波器所有频率分量的相位特性为零，但这是不实际的；另

21、一种方法是随着频率的变化而改变滤波器的相位特性，则可使所有频率的相位延迟保持恒定，这种方法可通过使滤波器相位特性为频率的线性函数来实现。下面讨论如何设计具有线性相位特性的滤波器，及为了获得线性相位，FIR滤波器应该满足的条件。2.线性相位条件FIR滤波器的频率响应为：用欧拉恒等式展开为因为为实序列，则的相位特性为有两类线性相位，其定义分别为：l第一类线性相位式中，为用采样点数来表示的与无关的常数。l第二类线性相位式中，为起始相位。严格地说，这样的不具有线性相位，但它的群延迟仍是一个常数，即所以仍可将其视为具有线性相位，有时也称其为准线性相位。对于第一类线性相位，当时，则有整理后有 当 时，对称

22、中心为 。这样，使上式成立的条件是 关于 偶对称，即要求对于第二类线性相位，当时，可用类似的方法得到式中余弦函数 为偶对称函数，当 时，对称中心也为 。这样，使上式成立的条件是 关于 奇对称，即要求FIR数字滤波器的线性相位特性仅取决于的对称性，而与 的取值无关。但其幅频特性取决于 的取值。所以设计线性相位FIR滤波器时，在保证 的对称性条件下，只需考虑幅度的逼近。3.线性相位FIR滤波器的频率特性 将频率特性 表示成：其中 为幅频特性，是一个纯实数，为相位特性。已知FIR滤波器的冲激响应满足式或式，因而系统函数可表示为进一步改写为下面分两种情况讨论FIRFIR 滤波器的频率特性。（1）当 偶

23、对称，即 时，频率特性函数为则幅频特性函数为相位特性函数为1)当N为奇数时因为对于偶对称，所以对于也为偶对称，即由于在、和时，所以可用来设计低通、高通、带通或带阻滤波器。2)当N为偶数时因为对于奇对称，所以对于也为奇对称，即由于在和时，而时，所以可用来设计低通或带通滤波器。（2）当 奇对称，即 时，频率特性为则幅频特性函数为相位特性函数为1)当N为奇数时因为对于奇对称，所以对于也为奇对称，即由于在 、和 时，所以只能用它设计带通滤波器。2)当N为偶数时因为对于偶对称，所以对于也为偶对称，即由于在和时，而在时，所以可用来设计高通或带通滤波器。4.4.2窗函数设计法窗函数设计法1窗函数设计法的基本

24、思想 FIR数字滤波器的设计一般是先给出所要求的理想的滤波器频率响应 ，然后寻找一组 ，使由其所确定的频率响应逼近 。2.截断效应（吉布斯效应）截断效应（吉布斯效应）用窗函数 对进行直接截断，得到有限长序列 ，并以 替代 ，肯定会引起误差，表现在频域就是通常所说的截断效应或吉布斯效应。下面以矩形窗为例分析截断效应对信号幅频特性的影响。由于所以，应用复卷积定理可以得到（1）式 其中 式中 是矩形窗的幅度函数，在范围内形成主瓣，两侧形成许多逐渐衰减的旁瓣，如图所示。将 和 代入式（1）中得其中 上面两式表明，的相位特性函数 是线性的，幅度特性 是理想低通滤波器的幅度特性 与矩形窗的幅度特性 的卷积

25、，其卷积过程如图（a）（f）所示。从图中可以看出，对加矩形窗处理后，其幅频特性 与原理想低通滤波器的幅频特性 有着明显的区别：（2）在截止频率 的两边 （即过渡带两侧）形成了逐渐衰减的波纹，在 处达到最大正肩峰，在 处形成最大负肩峰。（1）在理想特性不连续点 附近形成了过渡带，过渡带的宽度近似为窗函数频率响应 的主瓣宽度，即 。以上两点就是窗函数直接截断 引起的截断效应在频域的反应。截断效应直接影响滤波器的性能，因此，减少截断效应也是FIR数字滤波器设计的关键之一。3.常用的窗函数一个理想的窗函数应满足以下两项要求：（1）窗函数的幅频特性的主瓣要尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；（2）窗函数的幅

26、频特性的最大旁瓣的幅度要尽 可能地小，从而使主瓣包含尽可能多的能量。3.常用的窗函数一个理想的窗函数应满足以下两项要求：常用的窗函数有以下几种：常用的窗函数有以下几种：（1 1）矩形窗矩形窗，矩形窗所对应的冲激响应 如图所示。矩形窗的冲激响应 矩形窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。（a）矩形窗幅频特性（b）滤波器幅频特性（2 2）汉宁窗汉宁窗当N1时，有 汉宁窗的冲激响应汉宁窗所对应的冲激响应如图所示。汉宁窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。（a）汉宁窗幅频特性 （b）滤波器幅频特性（3 3）海明窗海明窗当N1时，有 海明窗的冲激响应海明窗所对应的冲激响应如图

27、所示。海明窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。（a）海明窗幅频特性 （b）滤波器幅频特性（4 4）布莱克曼窗布莱克曼窗当N1时，有布莱克曼窗冲激响应布莱克曼窗所对应的冲激响应如图所示。布莱克曼窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。（a）布莱克曼窗幅频特性 （b）滤波器幅频特性（5）凯塞窗其中为第一类零阶修正贝塞尔函数。定义为：是一个可以自由选择的参数，它可以同时调整主瓣宽度与旁瓣电平。越大，则窗越窄，而幅频特性的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加。因而改变值就可以对主瓣宽度和旁瓣衰减进行选择。4.4.3线性相位线性相位FIR滤波器的设计滤波器的设计1.窗函数法的设计步

28、骤（1）给定所要求的频率响应函数 。（2）求 ，为了保证线性相位，将 右移 个采样点，使此滤波器为因果的。（3）由过渡带宽度和阻带最小衰减的要求，选择窗函数 的形状及N的大小。窗函数形式的选择原则是：在保证阻带衰减满足要求的条件下，尽量选择主瓣窄的窗函数。（4）求得所设计的FIR滤波器的单位冲激响应。（5）求 ，并检验是否满足设计要求，若不满足，则需要重新设计，选择其他的窗函数 或改变窗口长度N，重复（3）、（4）、（5）步。2.低通低通FIR数字滤波器的设计举例数字滤波器的设计举例 举例来说明线性相位FIR低通数字滤波器的设计过程。例例4-6 根据下列指标设计FIR低通数字滤波器：（1）通带

29、边缘频率 2kHz（2）阻带边缘频率 3kHz（3）阻带衰减 40db（4）采样频率 10kHz解解（1）求出各对应的数字频率。通带截止频率为 阻带截止频率为阻带衰减为dB（2）确定频率响应函数 。其中：（3）确定 ，并进行因果化。其中（4）由阻带衰减 确定窗函数，由过渡带宽度确定窗口长度N。因为阻带衰减为40db，所以可以选择汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗。考虑布莱克曼窗 的过大，而在 比较接近的情况下，汉宁窗的阻带衰减不及海明窗，所以选择了海明窗：海明窗的过渡带宽度归一化因子，从而可确定窗口长度N为：N取为最接近的奇数，即N35。（5）求得所设计的FIR滤波器的单位冲激响应。因为则 所以有（6

30、）由 求 ，并检验各项指标是否满足设计要求，如不满足要求，则需要 选择其他的窗函数 或改变窗口长度N，来重新进行设计。的图形在图中给出，它已经满足设计要求。设计出的线性相位FIR低通滤波器的幅频特性（海明窗，N35）高通、带通和带阻FIR数字滤波器的频率移位设计法1.高通和带通FIR数字滤波器的设计 如果将频域中的单个脉冲函数置于待求滤波器的中心频率处，则脉冲函数与低通滤波器形状的卷积就可把双边低通滤波器形状的副本移位到新的位置，结果就可得到与低通原型有相同形状的高通或带通滤波器。下图正说明了这种关系。以下是高通和带通FIR数字滤波器的频率移位设计步骤。（1）将高通或带通滤波器的设计要求转换为

31、低通滤波器的设计要求。1)高通到低通的技术指标的转换如图所示 高通到低通的技术指标的转换具体转换内容包括：l高通滤波器的通带边缘频率对应低通滤波器的通带边缘频率l高通滤波器的阻带边缘频率对应低通滤波器的阻带边缘频率l高通滤波器关于该点对称的中心频率为，对应低通滤波器的原点处；l高通滤波器的过渡带宽度等于低通滤波器的过渡带宽度。2)带通到低通的技术指标的转换如图所示具体转换内容包括：l带通滤波器的通带边缘频率（通带上截止频率）对应低通滤波器的通带边缘频率；l带通滤波器的阻带边缘频率（阻带上截止频率）对应低通滤波器的阻带边缘频率；l带通滤波器的中心频率介于之间，对应低通滤波器的原点处；l带通滤波器

32、的过渡带宽度等于低通滤波器的过渡带宽度。带通到低通的技术指标转换（2）按照低通FIR数字滤波器的设计步骤，确定窗函数 ，并计算该低通数字滤波器的冲激响应 。（3）将低通数字滤波器的冲激响应 与 相乘，即可得到相应的高通或带通滤波器的冲激响应 和 。1)对于高通滤波器，此中心频率 ，2)即 。则有2)对于带通滤波器 为其中心频率，介于 之间，即 。则有2.带阻FIR数字滤波器的设计 对于带阻滤波器，只要选择了准确的通带边缘频率，通过把低通和高通滤波器结合起来，就可以构造出带阻滤波器。低通滤波器为带阻滤波器的低端规定了通带边缘频率，同时，高通滤波器为带阻滤波器的高端设定了通带边缘频率，如图所示。带

33、阻滤波器的等效低通和高通滤波器 高通滤波器和低通滤波器的冲激响应 和 可以用前面的方法得出。带阻滤波器的冲激响应就是低通和高通滤波器的冲激响应之和。例例4-7 根据下列指标设计带阻滤波器：（1）通带边缘上截止频率 （2）通带边缘下截止频率 （3）阻带中心频率 2kHz（4）过渡带宽度 500Hz（5）阻带衰减 50db（6）采样频率 10kHz解解 为了实现该带阻滤波器，需要构造一个低通滤波器和一个高通滤波器。（1）构造低通滤波器 根据前面的例子可知，该低通滤波器的设计采用海明 窗，窗口长度N69，所以该低通滤波器的冲激响应 为：应用例4-13的方法，则该等效低通滤波器的设计也采用海明窗，窗口

34、长度也为N69，其冲激响应为 ：（2）构造高通滤波器 因为该高通滤波器的中心频率 ，所以其冲激响应 为：如图所示（3）求得带阻滤波器的冲激响应带阻滤波器的冲激响应和幅频特性4.4.5频率采样法1.频率采样法的设计思想 频率采样法的基本设计思想是使所设计的滤波器的频率特性在某些离散的频率点上的值，准确地等于所需滤波器在这些频率点上的值，在其他频率处的特性则有较好的逼近。频率采样法的基本设计流程如图：其中 上面讨论的是频率采样法的基本设计思想，但在应用频域采样法设计滤波器时，还需要考虑以下两个问题：（）为了保证 具有线性相位，对采样频率 应加以怎样的约束条件。（）如何确定并减少迫近误差。2线性相位

35、的约束 正如在节中所论述的，具有线性相位的FIR滤波器，其单位冲激响应 是实序列，且满足线性相位的条件：那么满足第一类和第二类线性相位的幅度特性和相位特性，就是对采样 的约束条件。首先，将 写成幅度和相位的形式：式中 这里主要讨论一下当 时 的取值，具体分为N为奇数和 数两种情况。当N为奇数时，对于偶对称，即 则有 这就是幅度特性 必须满足的约束条件。对于相位，因为 ，所以若以代替上式中的，则有当N为奇数时，为偶数，因此有所以，当N为奇数时，频域采样值的幅度和相位的约束为：同理，当N为偶数时，频域采样值的幅度和相位约束为：3设计误差及内插公式（1）时域分析 如果带设计的滤波器的频率响应 对应的

36、单位冲激响应 为：根据频域采样定理，对 在频域02等间隔的N个采样值进行IDFT所得到的 应是 以N为周期进行 延拓后的主值区间，即（2）频域分析 频域等间隔采样值 经IDFT变换后得到 ，其z变换 和 的关系为：将 代入上式，得的内插公式其中则的内插公式FIR滤波器的最优化设计滤波器的最优化设计 最优化的设计应是将所有采样值作为变量，在某一优化准则下，通过计算机进行迭代运算得到的最优结果。设计FIR滤波器的最优化准则有两种，即均方误差最小准则和最大误差最小化准则。应用两类线性相位的条件，将四种形式的线性 相位FIR滤波器的幅频响应用统一的公式表达为：1.线性相位FIR滤波器频率响应的统一表示

37、利用三角函数恒等变换，可将写成两项相乘的形式，其中一项是 的固定函数，另一项为余弦求和式，即2.最大误差最小化准则及其数学模型 最大误差最小化准则的加权切比雪夫等波纹逼近方法是根据设计要求，导出一组条件，使整个逼近区域（通带和阻带）上的逼近误差最小。为了统一使用最大误差最小化准则，采用误差函数加权的方法，设定一个误差加权函数 ,在不同的频带可以取不同的值。加权逼近误差函数定义为：因为 所以令则可得到如下数学模型上式即是加权逼近误差函数的最终表达式。3.交错定理定理1：若 是r个余弦函数的线性组合，即A为闭区间 内的一个闭区间（包括各通带和阻带，但不包括过渡带），是A上的一个连续函数。那么，是

38、的唯一地和最佳地加权切比雪夫逼近的充要条件是：加权逼近误差函数在区域A上至少有（r+1）个极值频率点，即在区域A上必须存在（r+1）点 ，且 ，使得 其中 若 为理想低通滤波器，用切比雪夫逼近法得到的幅频特性如图所示。的极值包括以下两种：（1）的极值点；（2）单有的极值点（不属于 的极值点）。以第一种类型的线性相位滤波器为例来研究 的极值点的最大数目。4.极值点数目的限制第一类线性相位的幅频函数为：利用三角公式将余弦的倍角化为余弦的多项式形式，即由上两式可得令 ，并将式中 的同次幂合并，则上式可表达为 上式中 是与 和 有关的常系数，通过合并 的同次幂项系数而得到。为求极值频率，取 对 的导数

39、，可得 对线性相位FIR滤波器第一种情况，的极值点数目 应满足 ，同样可求得其他三种情况的极值点数目 。其次，我们来看 单独具有的极值点。可以看出，如果要在几个频带上求逼近问题，很显然在每个频带的端点上误差函数会得到一个极值，而且这些点一般不是 的极值点（和除外）。预先知道极值点的最大数目很重要，根据交错定理，我们可以预先给出闭区间A上的r+1个极值点的初始猜测位置，然后用计算机辅助设计的方法，最后确定这些极值频率点的位置。在CAD中，瑞米兹（Remez）交换算法是其中最为实用和有效的算法，它可以设计任何最优线性相位FIR滤波器。5.瑞米兹交换算法 这一算法是给定单位冲激响应长度N、通带截止频

40、率 和阻带截止频率来进行设计的。其算法原理框图如图所示。第一步：设定（r+1）个极值点频率 的初始猜测值，并计算极值点上的最优化误差 。第二步：运用内插法计算 。第三步：计算误差函数 并求出 处的新的极值点。如果在这组频率的所有频率上都有 ，则最佳逼近已经找到，计算即可结束。如果发现在某些频率点上 时，就必须找出误差曲线上的（r+1）个极值频率点，以它们作为新的极值频率点代替初始猜测值，再次重复进行上面的计算，从而构成新一轮的迭代。由于每次迭代得到的新交错点形成的一组频率都 是 的局部极值点频率，因此 是递增的，通过多次迭代，最后收敛于自己的上界，所以当 与其前一次迭代的值 相同时迭代即终止，

41、此时问题得到求解。通过瑞米兹迭代运算可求得 ，且 满 足 。因为 是实数，所以有 第四步：计算 的系数 （或 、）。若要求出单位冲激响应 ，就要求得 。多项式 的系数 通常是通过计算 的 个采样值 的IDFT得到，即从而可确定滤波器的单位冲激响应 。4.5 4.5 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构 一个数字滤波器可以用传输函数 表示，也可以用差分方程描述。那么，一个滤波器在具体实现时，也可以有以下两种方法：（1）软件实现：把滤波器所要完成的运算编成程序让计算机执行。（2）硬件实现：设计专用的数字硬件、专用的数字信号处理器或采用通用的数字信号处理器来实现。无论用软件还是用硬件，实现一个数

42、字滤波都需要以下几种基本的运算单元：（1）加法器（2）乘法器（3）延迟单元其信号流图如下：4.5.1IIR数字滤波器的基本结构 无限冲激响应（IIR）滤波器系统所对应的是递归差分方程：即 IIR滤波器的基本结构有：直接I型、直接II型、级联型和并联型。1直接I型实现 下图是按照上式直接画出的流图，其中 。这种形式的流图被称为递归差分方程的直接I型实现。例例4-8画出下列差分方程所描述的递归数字滤波器的直接I型流图：解 可以画出流图如图所示。将差分方程重新排列如下：2.直接直接II型实现型实现 这一实现需要用中间信号 代替过去的M个输入和N个输出，仅记录max（N,M）个中间信号的采样值以产生新

43、的滤波器输出。直接I型滤波器的结构对于IIR非递归差分方程的实现不是最有效的方法。如果采用直接II型，所用的存储器要少得多。定义直接II型实现的方程为：其中假设 。把以上两个方程结合起来，就可以产生入如下图所示的输入为 、输出为 的直接II型结构流图。颠倒图中的信息流，可以得到直接II型流结构的 转置型结构，它给出了另一种通用的实现模型，如 图所示。由于减少了过去输入和输出状态的存储，直接II型 较直接I型节省了存储单元（软件实现）或寄存器（硬件实现），而且也减少了延迟单元，所以直接II型又称为典范型。例例4-9写出该流图的差分方程。解解由上图所得的滤波器的差分方程为：4.5.2FIR数字滤波

44、器的基本结构 有限冲激响应（FIR）滤波器系统所对应的是非递归差分方程：即根据差分方程，可得到FIR型滤波器的基本结构如下图所示：例例4-10画出下列差分方程的结构流图：解解以上差分方程的结构流图如图所示。与IIR型滤波器一样，FIR型滤波器在实现时系数量化也会受到有限字长效应的影响，从而产生误差。为了减少这些误差，有效的方法也是把高阶滤波器分解成若干个二阶或一阶（阶数为奇数的情况下）滤波器子系统，然后再将它们级联起来。下图为FIR滤波器的级联型结构。例例4-11写出下图所示的级联型结构流图的差分方程。解解第二级的差分方程为：第一级的差分方程为：第三级的差分方程为：因为第一级的输出等于第二级的输入，即 ；第二级的输出等于第三级的输入，即 ，则可求得级联系统总的输出 与输入 之间的关系。将第二级的输出代入第三级有：同样，将第一级的输出代入上式有：