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1、 双侧检验示意图双侧检验示意图（显著性水平与拒绝域（显著性水平与拒绝域）抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布 0 0值值值值值值临界值临界值临界值临界值临界值临界值临界值临界值临界值临界值临界值临界值 /2/2 /2/2/2 样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域接受域接受域接受域接受域接受域接受域1-1-1-置信水平置信水平置信水平置信水平置信水平置信水平H0：0，HA：0假设检验的两类错误假设检验的两类错误u根据假设检验做出判断无非下述四种情况：根据假设检验做出判断无非下述四种情况：1
2、 1、原假设真实，、原假设真实，并接受原假设，判断正确；并接受原假设，判断正确；2 2、原假设不真实，且拒绝原假设，判断正确；、原假设不真实，且拒绝原假设，判断正确；3 3、原假设真实，、原假设真实，但拒绝原假设，判断错误；但拒绝原假设，判断错误；4 4、原假设不真实，却接受原假设，判断错误。、原假设不真实，却接受原假设，判断错误。u假设检验是依据样本提供的信息进行判断，有犯错误的可能。所犯错误假设检验是依据样本提供的信息进行判断，有犯错误的可能。所犯错误有两种类型：有两种类型：u第一类错误第一类错误是原假设是原假设H0为真时，检验结果把它当成不真而拒绝了。犯这为真时，检验结果把它当成不真而拒
3、绝了。犯这种错误的概率用种错误的概率用表示，表示，也称作也称作错误错误(error)或弃真错误。或弃真错误。u第二类错误第二类错误是原假设是原假设H0不为真时，检验结果把它当成真而接受了。犯这不为真时，检验结果把它当成真而接受了。犯这种错误的概率用种错误的概率用表示，表示，也称作也称作错误错误(error)或取伪错误。或取伪错误。正确决策和犯错误的概率可以归纳为下表：正确决策和犯错误的概率可以归纳为下表：假设检验中各种可能结果的概率假设检验中各种可能结果的概率接受接受H0拒绝拒绝H0，接受，接受H1H0 为真为真1-1-（正确决策）（正确决策）（弃真错误）（弃真错误）H0 为伪为伪（取伪错误）
4、（取伪错误）1-1-（正确决策）（正确决策）以单侧上限检验为例，设以单侧上限检验为例，设H0：0，H1：0弃真错误区弃真错误区 取伪错误区取伪错误区 图图(a)0H0为真为真图图(b)10H0为伪为伪 错误和错误和 错误的关系错误的关系 你不能同时减你不能同时减少两类错误少两类错误!和和和和 的关系就像的关系就像的关系就像的关系就像翘翘板，翘翘板，翘翘板，翘翘板，小小小小 就就就就大，大，大，大，大大大大 就小就小就小就小u在样本容量在样本容量n一定的情况下，假设检验一定的情况下，假设检验不能同时做到犯不能同时做到犯和和两类错误的概两类错误的概率都很小。若减小率都很小。若减小错误，就会增大犯错
5、误，就会增大犯错误的机会；若减小错误的机会；若减小错误，也会错误，也会增大犯增大犯错误的机会。要使错误的机会。要使和和同时变小只有增大样本容量。但样本容量同时变小只有增大样本容量。但样本容量增加要受人力、经费、时间等很多因素的限制，无限制增加样本容量就会增加要受人力、经费、时间等很多因素的限制，无限制增加样本容量就会使抽样调查失去意义。因此假设检验需要慎重考虑对两类错误进行控制的使抽样调查失去意义。因此假设检验需要慎重考虑对两类错误进行控制的问题。问题。两类错误的控制准则两类错误的控制准则u假设检验中人们普遍执行同一准则：假设检验中人们普遍执行同一准则：首先控制弃真错误（首先控制弃真错误（错错
6、误）。误）。假设检验的基本法则以为显著性水平就体现了这一原则。u两个理由两个理由:u统计推断中大家都遵循统一的准则，讨论问题会比较统计推断中大家都遵循统一的准则，讨论问题会比较方便。方便。u更重要的是更重要的是:原假设常常是明确的，而备择假设往往原假设常常是明确的，而备择假设往往是模糊的。是模糊的。如如H0：0很清楚，很清楚，而而H1：0则不太清楚，则不太清楚，是是0还是还是0？大多少小多少都不清楚。？大多少小多少都不清楚。对含义清晰对含义清晰的数量标准进行检验更容易被接受。的数量标准进行检验更容易被接受。因此，第一类错误成为控制两类错误的重点。因此，第一类错误成为控制两类错误的重点。在固定在
7、固定的条件下，可以考虑如何减小犯的条件下，可以考虑如何减小犯错误的概率。错误的概率。用A、B、C、D4种不同N、P配比的营养液浇灌种植的小麦幼苗，30天后计算平均日增重，得到下表的数据，问4种营养液的效果是否相同？营养液日增重（g）A5549624551B6158526870C7165567359D8590767869u研究单味中药对小鼠细胞免疫机能的影响，把40只小鼠随机均分为4组，每组10只，雌雄各半，用药15d后测定E-玫瑰花环形成率（%），结果如下，试比较各组总体均值之间的差别有无显著性意义？u对照组：1410121613141210139党参组：2124181722191823201
8、8黄芪组：24202218172118221923淫羊藿组：35272329314035302836第六章 方差分析方差分析方差分析(Analysis of variance，ANOVA)又叫变量分析，是英国著名统计学家又叫变量分析，是英国著名统计学家R.A.R.A.FisherFisher于于2020世纪提出的。它是用以检验世纪提出的。它是用以检验两个或多个两个或多个两个或多个两个或多个均数间均数间均数间均数间差异的假设检验方法。差异的假设检验方法。t t 检验可以判断两组数据平均数间的差异显著检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数性，而方差分析既
9、可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。据平均数之间的差异显著性。有人说，我们可以把多组数据化成有人说，我们可以把多组数据化成n n个两组数据（化整个两组数据（化整为零），用为零），用n n次次t t检验来完成这个多组数据差异显著性的判检验来完成这个多组数据差异显著性的判断。断。对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用对多个处理进行平均数差异显著性检验时，采用t t检验法的缺点：检验法的缺点：1.1.检验过程烦琐。检验过程烦琐。试验包含个处理试验包含个处理t t 检验：检验：C C4 42 2 6 6次次缺缺 点点缺缺 点点2.2.无统一的试验误差，误差估计无统一的试验误差，误
10、差估计的精确性和检验的灵敏性低。的精确性和检验的灵敏性低。t t检验：检验：C C4 42 2 6 6次次需计算需计算 6 6个标准误个标准误误差估计不统一误差估计不统一误差估计精确性降低误差估计精确性降低缺缺 点点3.3.推断的可靠性低，检验时犯推断的可靠性低，检验时犯错误错误概率大。概率大。t t检验：检验：C C4 42 2 6 6次次H H0 0的概率：的概率：1-1-6 6次检验次检验相互独立相互独立6 6次都接受的概率次都接受的概率(0.95)(0.95)6 6犯犯错误的概率错误的概率犯犯错误的概率明显增加错误的概率明显增加例如我们用例如我们用t t检验的方法检验检验的方法检验4
11、4个样本平均数之间的差异显著性个样本平均数之间的差异显著性试验指标（experimental index）：为衡量试验结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、DNA含量等等。试验因素（experimental factor）：试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试验；若同时研究两个或两个以上因素对试验指标的影响时，则称为两因素或多因素试验。因素水平（level of factor）:试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。如研究5个温度对酶活力的
12、影响，5个温度就是温度这个试验因素的5个水平。试验处理（treatment）:事先设计好的实施在实验单位上的具体项目就叫试验处理。试验单位（experimental unit）:在实验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。一只小白鼠，一条鱼，一定面积的小麦等都可以作为实验单位。重复（repetition）:在实验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理二、数学模型二、数学模型一、方差分析的基本思想、目的和用途一、方差分析的基本思想、目的和用途三、平方和与三、平方和与df的
13、分解的分解四、统计假设的显著性检验四、统计假设的显著性检验 五、多重比较五、多重比较观观测测值值不不同同的的原原因因处理效应处理效应(treatment effect)：处理不同引起处理不同引起试验误差：试验过程中偶然性试验误差：试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致。因素的干扰和测量误差所致。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。方差分析的基本思想方差分析的基本思想总变异处处理理效效应应试试验验误误差差方差分析的目的方差分析的目的确定各种
14、原因在总变异中所占的重要程度。确定各种原因在总变异中所占的重要程度。处理效应处理效应试验误差试验误差相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差较大，即处理效应比试验误差大得多，相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。说明试验处理影响是很大的，不可忽视。方差分析的用途方差分析的用途1.1.用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2.2.分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用3.3.回归方程的假设检验回归方程的假设检验4.4.方差的同质性检验方差的同质性检验1.1.用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的
15、比较2.2.分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用二、数学模型二、数学模型假定有假定有k k组观测数据，每组有组观测数据，每组有n n个观测值，则共有个观测值，则共有nknk个观测值个观测值平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2x xij ijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21 处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 用线性模型用线性模型(linear model)(linear model)来描述每一观测值：来描述每一观测值：xij=+i+ij(i=1,2,3,k j=1,2,3,n)(i=1,2
16、,3,k j=1,2,3,n)总体平均数总体平均数i 处理效应处理效应ij 试验误差试验误差xij 是在第是在第 i 次处理下的第次处理下的第 j 次观测值次观测值要求要求ij 是相互独立的，且服从标准正态是相互独立的，且服从标准正态分布分布 N(0,2)二、数学模型二、数学模型对于由样本估计的线性模型为对于由样本估计的线性模型为：xij=x+ti+eijx 样本平均数样本平均数ti 样本处理效应样本处理效应eij 试验误差试验误差二、数学模型二、数学模型xij=+i+ij 根据的根据的i i不同假定，可将数学模型分为以下三种不同假定，可将数学模型分为以下三种：固定模型固定模型随机模型随机模型
17、混合模型混合模型二、数学模型二、数学模型(一一)固定模型固定模型(fixed model)(fixed model)指各个处理的效应值指各个处理的效应值i i 是固定值是固定值，各个的，各个的平均效应平均效应i i i i 是一个常量，且是一个常量，且i i 0 0。就是说除去随机误差以后每个处理所产生。就是说除去随机误差以后每个处理所产生的效应是固定的。的效应是固定的。二、数学模型二、数学模型实验因素的各水平是根据试验目的事先主观选定的而不是随机选定的。不同离子对木聚糖酶活性的影响不同离子对木聚糖酶活性的影响(mg/ml)(mg/ml)固定模型固定模型Na+K+Cu2+Mn2+二、数学模型二
18、、数学模型在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理在固定模型中，除去随机误差之后的每个处理所产生的效应是固定的，试验重复时会得到相所产生的效应是固定的，试验重复时会得到相同的结果同的结果方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个方差分析所得到的结论只适合于选定的那几个水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它水平上。水平上。固定模型固定模型二、数学模型二、数学模型(二二)随机模型随机模型(random model)(random model)指各处理的效应值指各处理的效应值i i 不是固定的数值，而不是固定的数值，而是由随机因素所引起的效应。是由随机因素所引
19、起的效应。这里这里i i 是一个随机变量，是从期望均值为是一个随机变量，是从期望均值为 0 0，方，方差为差为2 2 的标准正态总体中得到的随机变量。得出的结的标准正态总体中得到的随机变量。得出的结论可以推广到多个随机因素的所有水平上。论可以推广到多个随机因素的所有水平上。二、数学模型二、数学模型随机模型随机模型美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况美国的黑核桃品种对不同地理条件的适应情况气候、水肥、土壤气候、水肥、土壤无法人为控制无法人为控制河南河南北京北京广州广州江苏江苏新疆新疆二、数学模型二、数学模型如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对所属如果实验条件不能人为控制，那么这个样本对所
20、属总体作出推断就属于随机模型。总体作出推断就属于随机模型。随机模型随机模型在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的在随机模型中，水平确定之后其处理所产生的效应并不是固定的，试验重复时也很难得到相效应并不是固定的，试验重复时也很难得到相同的结果同的结果方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素方差分析所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上的所有水平上二、数学模型二、数学模型固定模型与随机模型的比较固定模型与随机模型的比较1.1.两者在两者在设计思想和统计推断设计思想和统计推断设计思想和统计推断设计思想和统计推断上有明显不同，因此进行上有明显不同，因此进行方差分析时的公式推导也有所不同。其平方
21、和与方差分析时的公式推导也有所不同。其平方和与dfdf的分的分解公式没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的解公式没有区别，但在进行统计推断时假设检验构成的统计数统计数统计数统计数是不同的。是不同的。2.2.模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不模型分析的侧重点也不完全相同，方差期望值也不一样，固定模型主要侧重于一样，固定模型主要侧重于效应值效应值效应值效应值的估计和比较，而随的估计和比较，而随机模型则侧重效应机模型则侧重效应方差方差方差方差的估计和检验的估计和检验3.3.对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别对于单因素方差分析来说，两者并无多大区别二、数学模型二、数学模型(三三)混
22、合模型混合模型(mixed model)(mixed model)指多因素试验中既有固定因素又有随机因素指多因素试验中既有固定因素又有随机因素时所用的模型时所用的模型在实际应用中，固定模型应用最多，随在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少机模型和混合模型相对较少二、数学模型二、数学模型方差是离均差平方和除以自由度的商方差是离均差平方和除以自由度的商2(x-)2 N(x-x)2 s2 2=n-1要把一个试验的总变异依据要把一个试验的总变异依据变异来源变异来源变异来源变异来源分为相应分为相应的变异，首先要将总平方和和总的变异，首先要将总平方和和总dfdf分解为各个变异分解为各个
23、变异来源的的相应部分。来源的的相应部分。方差分析的方差分析的基本思想基本思想基本思想基本思想引起观测值出现变异分解为处理引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。效应的变异和试验误差的变异。平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 处理间平均数的处理间平均数的差异是由处理效差异是由处理效应引起的：应引起的：处理内的变异是处理内的变异是由随机误差引起：由随机误差引起：平平方方和和(x-xi)(xi x)根据线性可加模型，则
24、有：根据线性可加模型，则有：平平方方和和(xi x)(x-x)(x-xi)+(x-x)2 2(x-xi)+(xi x)(xi x)2(x-x)2 1 n 1 n(x-xi)2+(x-xi)(xi x)21 n+1 n 每一个处理每一个处理n n 个观测值离均差平方和累加：个观测值离均差平方和累加：(x-xi)2+2(x-xi)(xi x)+(xi x)2 0平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk(xi x)0(x-xi)21 n(x
25、i x)(x-xi)由于由于 0，则：，则：21 n(x-x)2 (xi x)2(x-xi)2 n n 11+1 n(xi x)2(x-xi)2(x-x)2 1 n 1 k 1 n 1 k+n1 k 总平方和总平方和 SST 处理内或组处理内或组内平方和内平方和 SSe处理间或组处理间或组间平方和间平方和 SSt平平方方和和把把k k 个处理的离均差平方在累加，得个处理的离均差平方在累加，得平平方方和和总平方和处理间平方和总平方和处理间平方和+处理内平方和处理内平方和SST SSt+SSeSST (x-x)21 n 1 k=x2-T2 kn(x)2 kn x2-SST x2-C令矫正数令矫正数
26、C ，则：则：T2 kn平平方方和和SSt n1 k(xi x)2 k n(-2 +)1x xi i2 2 x xi ixx2=n n -+nknk1 k x xi i2 2 2n 1 k xx xi ix2=-2nk +n1 k x xi i2 2 x2 nkxnkx2 2 =-n1 k x xi i2 2 nkxnkx2 2 =-n n1 k T Ti i2 2 n2 nkT T2 2(nk)2=T Ti i2 2 -Cn11 k x xi i=kxx xi i=T Ti in n=T Tnknkx总平方和：总平方和：SST x2-C 处理间平方和：处理间平方和：SSt=T Ti i2 2
27、 -Cn1处理内平方和：处理内平方和：SSe=SST -SSt平方和平方和平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk T2 knC=自自由由度度总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：dfT=dft+dfe自由度自由度dfT=nk-1nk-1dft=k-1k-1dfe=dfT-dft=nk-1-(k-1)=nk-k=k(n-1)平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2x
28、kjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 根据各变异部分的平方和和自由度，可求得根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差处理间方差（st2）和和处理内方差处理内方差（se2 ）：）：st2=SStdftSSedfese2=平方和平方和自由度自由度方差方差处理间处理间处理内处理内总变异总变异用A、B、C、D4种不同N、P配比的营养液浇灌种植的小麦幼苗，30天后计算平均日增重，得到下表的数据，问4种营养液的效果是否相同？=27.227.924.125.830.9T=434.4111.49
29、6.2103.2123.6T Ti i27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924.031.835.91234DCBA营养液营养液重重复复x xi ixk=4，n=4，nk=16例例 =27.227.924.125.830.9T=434.4111.496.2103.2123.6T Ti i27.030.829.024.622.223.026.724.324.825.726.825.931.924.031.835.91234DCBA营养液营养液重复x xi ix(1)平方和的计算：平方和的计算：T2 knC434.42 16SST
30、x2-C 2+2+2-CSSt=T Ti i2 2 -Cn1222)-CSSe SST-SSt例例(2)自由度的计算：自由度的计算：dfdfT T nk-1 nk-1=16-1=15=16-1=15dfdft t=k-1 k-1=4-1=3=4-1=3dfdfe e=k(n-1)k(n-1)=43=12=43=12(3)方差计算：方差计算：st2=SStdft103.94 334.64734.647SSedfese2=109.36 129.113四、统计假设的显著性检验四、统计假设的显著性检验 F F 检验检验确定各种原因（确定各种原因（处理效应处理效应处理效应处理效应、试验误差试验误差试验误
31、差试验误差）在总变异）在总变异中所占的重要程度。中所占的重要程度。处理间处理间处理间处理间的方差（的方差（s st t2 2）可以作为）可以作为处理效应处理效应处理效应处理效应方差的估计量方差的估计量处理内处理内处理内处理内的方差（的方差（s se e2 2）可以作为）可以作为试验误差试验误差试验误差试验误差差异的估计量差异的估计量处理效应处理效应试验误差试验误差方差分析的目的方差分析的目的:二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。响不
32、大。如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。理对结果的影响很大，不可忽视。处理效应处理效应试验误差试验误差F检验检验 从第三章我们已经知道，从一正态总体（从第三章我们已经知道，从一正态总体（,2 2 ）中）中随机抽取两个样本，其样本方差随机抽取两个样本，其样本方差s s1 12 2 与与s s2 22 2 的比值为的比值为F F ：Fs12 s22 其其F F 分布曲线随着分布曲线随着dfdf1 1 和和dfdf2
33、 2 的变化而变化。由于的变化而变化。由于F F 值值表是一尾的（表是一尾的（F F值的区间值的区间0 0，+)+)），一般将大方差作），一般将大方差作分子，小方差作分母，使分子，小方差作分母，使F F 值大于值大于1 1，因此，表上，因此，表上dfdf1 1 的代的代表大方差自由度，表大方差自由度，dfdf2 2 代表小方差自由度。代表小方差自由度。用处理效应的方差用处理效应的方差（s st t2 2）和实验误差的方差和实验误差的方差（s se e2 2）比较时，我们所做的比较时，我们所做的无效假设无效假设是是假设假设假设假设处理效应处理效应的变量和的变量和实验误差实验误差的变量是来自同一正
34、态总体的两个样本，因此的变量是来自同一正态总体的两个样本，因此处理效应的方差处理效应的方差（s st t2 2）和实验误差的方差和实验误差的方差（s se e2 2）的比值的比值就是就是F F 值，即值，即处理效应处理效应试验误差试验误差=方差分析方差分析F检验检验 在进行不同处理差异显著性的在进行不同处理差异显著性的F F 检验时，一般是把检验时，一般是把处处处处理间方差理间方差理间方差理间方差作为分子，称为大方差，作为分子，称为大方差，误差方差误差方差误差方差误差方差作为分母，称作为分母，称为小方差。为小方差。无效假设是把各个处理的变量无效假设是把各个处理的变量假设假设假设假设来自同一总体
35、，即来自同一总体，即处理间方差处理间方差不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理，只有误差的影响，因而处理间的样本方差间的样本方差t t2 2 与误差的样本方差与误差的样本方差e e2 2 相等：相等：Ho：t2 e2HA：t2 e2F检验检验与与t t 检验相类似，检验相类似，F F 检验是把计算所得检验是把计算所得的的F F 值与临界值与临界F F值比较，判断由误差造成的值比较，判断由误差造成的概率大小，最后作出统计推断。概率大小，最后作出统计推断。无效假设是否成立，要看计算的无效假设是否成立，要看计算的F F 值在值在F F 分布中分布中出现的概
36、率。出现的概率。F F0.05 处理间差异不显著处理间差异不显著F F0.05 处理间差异显著处理间差异显著F F0.01 处理间差异极显著处理间差异极显著否定否定H Ho o否定否定H Ho o接受接受H Ho o 我们确定显著标准水平我们确定显著标准水平后，从后，从F F 值表中查出在值表中查出在dfdft t和和dfdfe e下的下的F F值值综上所述，可归纳成方差分析表综上所述，可归纳成方差分析表(analysis of(analysis of variance table)variance table)s se e2 2k(n-1)k(n-1)SSSSe e误差或处理内误差或处理内n
37、k-1nk-1SSSST T总和总和s st t2 2k-1k-1SSSSt t处理间处理间F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源F Fs st t2 2s se e2 2F检验检验上例中，上例中，4个不同营养液处理小麦的个不同营养液处理小麦的增重的增重的F值为：值为：Fst2 se2 34.647 9.113 3.802dfdft t 3 dfdfe e 12，查查F值表得值表得F0.05，F不同营养液处理的小麦的增重量差异是显著的不同营养液处理的小麦的增重量差异是显著的例例F0.01F F0.050.01P FF0.01 0.01，说明，说明5 5个地区黄鼬冬季针毛长度差异
38、极显著。个地区黄鼬冬季针毛长度差异极显著。结果做成方差分析表：结果做成方差分析表：不同地区黄鼬冬季针毛长度方差分析表不同地区黄鼬冬季针毛长度方差分析表变异来源变异来源SSSSdfdfs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01地区间地区间地区内地区内173.71173.7112.9912.994 4151543.4343.430.870.8750.1550.15*3.063.064.894.89总变异总变异186.70186.701919为了确定各个地区之间的差异是否显著，需要进行为了确定各个地区之间的差异是否显著，需要进行多重比较。多重比较。这里用最小显著差数法（这里用最小
39、显著差数法（LSDLSD）进行检验。）进行检验。查查t t 值表，当值表，当dfdfe e=15=15时，时，t t0.05 0.05 ，t t0.01 0.01，于是有：，于是有：LSD0.05=2.131 LSD0.01=2.947 本例中各组内观测数相等，而且组内方差均为，故任何本例中各组内观测数相等，而且组内方差均为，故任何两组的比较均可用两组的比较均可用LSDLSD0.05 0.05 及及LSDLSD。在进行在进行LSDLSD0.05 0.05 及及LSDLSD比较时，比较时，各组间差数各组间差数 LSDLSD，说明两地间差异极显著，标以不说明两地间差异极显著，标以不同的大写字母；同
40、的大写字母；LSDLSD 各组间差数各组间差数 LSDLSD0.05 0.05，说明两地间差异显著，标说明两地间差异显著，标以不同的小写字母；以不同的小写字母；地区地区平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01东北东北内蒙古内蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州31.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.85a ab bbcbcc cd dA AB BBCBCCDCDD D结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，河北与贵州黄鼬冬季
41、针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。与安徽差异不显著。根据组内观测次数目不同根据组内观测次数目不同组内观测次数相组内观测次数相等的方差分析等的方差分析组内观测次数不组内观测次数不相等的方差分析相等的方差分析 有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，k k个处理的观测次数依次是个处理的观测次数依次是n n1 1 、n n2 2 、n nk k的单因素分组资料，的单因素分组资料，前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是前面介
42、绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是nknk，而是，而是 次，在计算平方和时公式稍有改变。次，在计算平方和时公式稍有改变。组内观测次数不相等的方差分析组内观测次数不相等的方差分析se2ni-1 SSe误差或处理内误差或处理内SST总和总和st2k-1处理间处理间F方差方差自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源Fst2se2ni-k 在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得各于各组内观测次数不等，因此应需先算得各n ni i的平均数的平均数n n0 0：各个处理的样本容量用于LSR检验用于LSD检验用
43、某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦（整粒小麦（I I），切去一半胚乳（），切去一半胚乳（IIII），切去全部胚乳），切去全部胚乳（IIIIII），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进行方差分析。行方差分析。处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424
44、414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g g）处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g）n1 8，n2 10，n3 6，N24(1)平方和的计平方和的计算算SST x2 C=212+292+262SSe SST-SSt(2)自由度的计自由度的计算算(3)列方差分析列方差分析表表变异来源变异来源SSdfs2F处理间处理间处理内处理内6.823
45、3.72213.410.70.318总变异总变异230.523由表中结果可知，由表中结果可知，F F1 1，表明三种处理的每株粒重无，表明三种处理的每株粒重无显著差异。显著差异。由于由于F检验不显著，不需要再作多重比较。如果检验不显著，不需要再作多重比较。如果F检验检验显著，则需要进一步计算显著，则需要进一步计算n0，并求得，并求得 （用于（用于LSR检验）检验）或或 （用于（用于LSD检验），即检验），即x x1 1x x2 2-Sx xS 需要指出的是，不等观测次需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。也降低了分析的灵敏度。