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1、第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 3.2 3.2 磁感应强度磁感应强度 3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.4 3.4 矢量磁位矢量磁位 3.5 3.5 磁偶极子磁偶极子 3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 3.8 3.8 标量磁位标量磁位 3.9 3.9 互感和自感互感和自感 3.10 3.10 磁场能量磁场能量 3.11 3.11 磁场力磁场力 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场
2、恒定电流的电场和磁场 基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电流的电场知识结构基本物理量 J、E欧姆定律J 的散度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁矢位（A）边值问题解析法数值法有限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律(安培力定律）磁感应强度（B）(毕奥-萨伐尔定律)H 的旋度基本方程B 的散度分界面边界条件磁位()恒定磁场知识结构第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场3.1.1 3.1.1 电流密度电流密度 I I、电流的
3、定义电流的定义：单位时间内通过某一横截面的电量。：单位时间内通过某一横截面的电量。三种电流：三种电流：传导电流传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液 中的离子运动形成的电流。中的离子运动形成的电流。运流电流运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中 运动形成的电流。运动形成的电流。位移电流位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。随时间变化的电场产生的假想电流。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 II、电电流流密密度度的的定定义义：与与正正电电荷荷运运动动方方向向相相垂垂直直的的单
4、单位面积上的电流强度。位面积上的电流强度。任意面积任意面积S上的电流强度上的电流强度I：(A/m2)IdIdS 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 III、面电流密度面电流密度：面电流密度面电流密度 n注：注：是垂直于是垂直于d dl l，且通过，且通过 d dl l与曲面相切的单位矢量。与曲面相切的单位矢量。任意线任意线 上的电流强度上的电流强度I：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 ndIvvdtds设电荷体密度为设电荷体密度为，运动速度为，运动速度为v，则：，则：IV、的另一表达式：的另一表达式：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁
5、场 3.1.2 电荷守恒定律电荷守恒定律 1、电荷守恒定律、电荷守恒定律:单位时间净流出封闭面的电量等于单位时单位时间净流出封闭面的电量等于单位时间内封闭面内减少的电量。间内封闭面内减少的电量。（注：指电荷量的代数和守恒）（注：指电荷量的代数和守恒）要使这个积分对任意的体积要使这个积分对任意的体积V均均成立，必须使被积函数为零。成立，必须使被积函数为零。散散度度定定律律-电流的电流的“连连续性方程续性方程”积分积分形式形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场（电流的（电流的“连续性方程连续性方程”微分式）微分式）意义：空间中某点电流密度的散度，等于这点电荷密度的减小率。意义：
6、空间中某点电流密度的散度，等于这点电荷密度的减小率。2、恒定电流场的电流连续性方程：、恒定电流场的电流连续性方程：恒定电流场的电流不随时间变化：恒定电流场的电流不随时间变化：所以：所以：（微分式）（微分式）（积分式）（积分式）（电流的（电流的“连续性方程连续性方程”积分式）积分式）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.3 3.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 对于线性各向同性的导体，任意一点的电流密度与该点的对于线性各向同性的导体，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比电场强度成正比式中式中 称为称为电导率电导率，其单位为，其单位为 S/mS/m 。值愈
7、大表明导电值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导电体理想导电体。上式又称为欧姆定律上式又称为欧姆定律 的微分形式。的微分形式。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 注意：欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律，运流注意：欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律，运流电流就不遵从欧姆定律电流就不遵从欧姆定律材材 料料 电导率电导率/(S/m)铁铁(99.98%)107 黄铜黄铜 1.46107 铝铝 3.54107 金金 3.10107 铅
8、铅 4.55107 铜铜 5.80107 银银 6.20107 硅硅 1.5610-3 常用材料的电导率常用材料的电导率 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电源电源 E导电媒质PNE E开路情况下开路情况下非静电力非静电力：化学力、洛仑兹力一切非静电引起的力的总称：化学力、洛仑兹力一切非静电引起的力的总称电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。在电源外部加导电媒质在电源外部加导电媒质第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对闭合环路积分保守场=0电动势第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.4 3.1.4 焦耳定律焦耳定律 在导
9、体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率由公式 P=UI 得：J 与 E 之关系其极限值：或：（焦耳定律的微分式）注：焦耳定律不适应于运流电流。导体内任一点的热功率密度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.5 3.1.5 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 结论：恒定电场是无源无旋场。积分形式微分形式构成方程由以上结论可引入位函数：均匀导体内部(为常数)，有：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.6 3.1.6 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 说明：分界面上说明：分界面上 J J 的法向分量连续。
10、的法向分量连续。由所以有：即：12J1J2得即或第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 说明：分界面上 E的切向分量连续。导体分界面上的电荷密度为：所以有：由得即式中，Jn=J1n=J2n,当 时，分界面上的面电荷密度为零。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场（折射定律）由得若1，则20结论：在理想导体表面上，和 E近似的都垂直于分界面。区别第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-1 设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为的导电媒质，如图 3-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电导。同轴线横截面 第三章第
11、三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电场强度为两导体间的电位差为这样，可求得单位长度的漏电电导为解：解：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质的电导率为，求该电容器的漏电电导。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 内、外导体间的电压为 思路与上前例相同：思路与上前例相同：解：解：漏电电导为 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P=I2R求出漏电电阻R：当 时第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 基本方程E 的旋
12、度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电流的电场知识结构基本物理量 J、E欧姆定律J 的散度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 恒定电场与静电场的比较恒定电场与静电场的比较 对应对应关系：关系：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当恒定电场与静电场各物理量满足相同的定解问题时，解也相同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解，此方法常称为比拟法。两种场可以比拟的条件:微分方程相同；场域几何形状及边界条件相同；媒质分界面满足第三章第三
13、章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例：将金属极板置于无限大电介质（、）中。其电容为：其电导为：平行双线电容为：平行双线电导为：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-3 计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻(如图所示)。设土壤的电导率为0。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解解1：利用比拟法求解，导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看作等位体。用静电比拟法，位于电介质中的半径为a的导体球的电容为 所以导体球的接地电导为 接地电阻为 对应关系：对应关系：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解2，应用
14、恒定电流场求解，由于是深埋地下，所以可以不考虑地面的影响，认为电流是球对称的，设半径为r(a)的球面流出的总电流为I，则欧姆定律的微分形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 作业v32、33、35、36第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.2 3.2 磁磁 感感 应应 强强 度度 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。磁力是通过磁场传递的。磁场对处于其中的运动电荷（电流）或磁体会产生力的作用。
15、第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 基本要求 深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。掌握恒定磁场的基本方程和分界面边界条件。了解磁位及其边值问题。熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电流元电流元 面电流元：体电流元电流元（线电流元）：在线电流情况下，电流 与线元 的乘积 ，称为电流元。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 一、安培定律一、安培定律1、两个电流元间的相互作用力安培定律的微分形式安培定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。I I1dl1对I I2dl2的作用力为：
16、式中：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2、两个电流环间的相互作用力在回路C1、C2上分别对上式积分得：安培定律的积分形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 二、毕奥二、毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律（Biot-Savart Law）电场力力=受力电荷 电场强度力=受力电流 磁感应强度磁场力定义：磁感应强度单位 T（Wb/m2）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质体分布的电流J的磁场：面分布的电流Js的磁场：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 三、恒定磁场对运动电荷的作用力三、恒定磁场
17、对运动电荷的作用力v磁场对运动电荷的作用力包括两个方面的内容：磁场对电流（闭合线电流、面电流、体电流）的作用力安培力磁场对以速度 运动着的空间电荷q的作用力洛伦兹力 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 线电流元在外磁场中受力：安培力安培力面电流元在外磁场中受力：体电流元在外磁场中受力：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 称为洛仑兹力公式。以速度v运动的点电荷q，其在外磁场B中受的力：如果空间还存在外电场 ，则电荷q受到的力还要加上电场力：洛伦兹力洛伦兹力把以速度 运动着的电荷q看成是组成体电流的全部第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场
18、例：求通过电流I的细圆环（半径为a）在轴线上的磁场。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.3.1 3.3.1 磁通连续性原理（恒定磁场的散度）磁通连续性原理（恒定磁场的散度）1、磁通量：指磁感应强度在有向曲面上的通量。简称磁通。如S是一个闭曲面，则 单位：Wb第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2、磁通连续性原理：由对场点有：所以：P第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 由矢量恒定式 得：由梯度场重要性质 可得：（积分式）使用散度定理得：（微分式）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场
19、恒定电流的电场和磁场 关于恒定磁场散度的讨论:恒定磁场的散度处处为零，说明恒定磁场是无源场，不存在磁力线的扩散源和汇集源。由磁通的连续性定律可知：磁力线是连续的。恒定磁场的散度恒为零，联系旋度场的重要性质：可推知:磁感应强度矢量B可用一矢量函数的旋度来表示。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.2.2 安培环路定律（恒定磁场的旋度）安培环路定律（恒定磁场的旋度）以下内容为研究在C产生的恒定磁场中沿闭合曲线C上的B B 的环量：沿积分路径C向左移动dl相当于C向右移动-dlPPP第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场(C和C相交链)(C和C不交链)穿过积分回
20、路C的电流是几个电流时：积分式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 由于 所以因积分区域S是任意的，因而有（微分式）根据斯托克斯定理，可以导出安培环路定律的微分形式：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对恒定磁场旋度的讨论：恒定磁场是有旋场，电流为磁场的旋涡源。安培环路定律中，电流为回路C所围电流的代数和。CCC和C相交链I 空间任意点磁场的旋度只与该点电流密度有关第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 真空中，恒定磁场所满足的基本方程微分形式积分形式小结：无源场，磁力线无头无尾且不相交。有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路。第三
21、章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 一对反向电流传输线一对同向电流传输线两对反相电流传输线两对反向电流传输线第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例3-5 半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解解:沿磁感应线取半径为 r 的积分路径C，依安培环路定律得arz 当ra时，积分回路包围的电流为I；第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当ra时，包围电流为Ir2/a2。所以当ra时，写成矢量形式为 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 作业v3-9第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场
22、 3.4 3.4 矢矢 量量 磁磁 位位 A A称为恒定磁场的矢量磁位。一、一、矢矢 量量 磁磁 位的引入位的引入 引入矢量磁位的意义引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题。静电场（体电荷分布）静磁场（体电流分布）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 面电流的磁矢量位：体电流的磁矢量位：线电流的磁矢量位：上面的公式中，均假定电流分布在有限区域，磁矢位的零点取在无穷远处。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 在恒定磁场中，一般采取库仑规范库仑规范库仑规范库仑规范条件，即令：注意：规范条件是人为引入的限定条件。三、矢量
23、磁位的解三、矢量磁位的解使用矢量恒等式（磁矢位的泊松方程）二、二、库仑规范库仑规范第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即：将磁矢位的泊松方程展开设在直角坐标系中，有这样可得各分量方程第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁通的计算也可以通过磁矢位表示：对矢量磁位的说明：矢量磁位A A的方向与电流J的方向相同。引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3 11用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。解：解：
24、r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即 设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2，第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 ra时，考虑到磁位只是 r 的函数，以上两个偏微分方程就化为常微分方程。对其积分可以得出ra时，第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 其中C1、C2、C3、C4是待定常数，由于r=0处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出C1 0。其余三个常数暂时不考虑，将磁矢位代入公式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 可以求出导线内、外的磁场分别为 导体外部的磁感应强度为 第三章第三章 恒定电流的电场
25、和磁场恒定电流的电场和磁场 3.5 3.5 磁磁 偶偶 极极 子子载载有有恒恒定定电电流流的的小小电电流流环环且且距距场场点点距距离离远远大大于于小小电电流流环环的的尺尺寸，这种小电流环又称为寸，这种小电流环又称为磁偶极子磁偶极子。磁偶极距磁偶极距单位为单位为磁矩方向与环路法线方向一致磁矩方向与环路法线方向一致一、定义：一、定义：环路的形状对磁场分布不会产生影响环路的形状对磁场分布不会产生影响第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 位于点位于点 r的磁矩为的磁矩为m的磁偶极子，在点的磁偶极子，在点 r 处产生的磁矢位为处产生的磁矢位为 注意：注意：以上讨论的前提都是对远区场的分
26、析，在电流回路以上讨论的前提都是对远区场的分析，在电流回路 附近的场与上式有很大区别附近的场与上式有很大区别第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 二、球坐标系中磁场强度表达式：二、球坐标系中磁场强度表达式：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 3.6.1 3.6.1 磁化强度磁化强度 m=IdSdS1 1、分子电流及磁矩、分子电流及磁矩电子绕核运动，形成分子电流。分子电流将产生微观磁场。分子电流的磁特性可用分子磁矩表示：式中：I 为电子运动形成的微观电流：dS S 为分子电流所围面元。第三章第三章 恒定电流的
27、电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2 2、介质的磁化、介质的磁化 无外磁场作用时，介质对外不显磁性：在外磁场作用下，分子磁矩取向与外加磁场趋于一致，宏观表现出磁特性，这一过程称为磁化磁化磁化磁化。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 式中：m m m m是分子磁矩，MMMM 的单位是A/m(安培/米)。3 3、磁化强度、磁化强度 为定量描述磁介质磁化程度的强弱，引入磁化强度磁化强度磁化强度磁化强度MM。介质的磁化强度MMMM，等于单位体积内的分子磁矩之和。如果体积元V内，每一个分子磁矩都为mm，单位体积内分子数是N，则磁化强度为：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场
28、和磁场 3.6.2 3.6.2 磁化电流磁化电流 定义：介质被磁化后，在介质内部和表面会出现附加电流，这种电流称磁化电流磁化电流磁化电流磁化电流。磁化电流强度的计算：设磁介质 r 处体积元V 内的磁偶极矩为M M V，则在 r 处产生的磁矢量位：o第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 应用矢量恒等式：全部磁介质在r处产生的磁矢位为：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 再用恒等式:等效体电流密度Jm等效面电流密度Jms磁化电流体密度：磁化电流面密度：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。有磁介质存在时，场
29、中的 B 是自由电流和磁化电流 共同作用的结果。磁化电流仍然遵循电流守恒定律。均匀磁介质内部不存在磁化电流对介质磁化问题的讨论：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁偶极子与电偶极子对比模 型极化与磁化电场与磁场电偶极子磁偶极子l第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-12 半径为a、高为L的磁化介质柱，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，。得
30、磁化电流为 在界面z=0上，在界面z=L上，在界面r=a上，第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6.3 3.6.3 磁场强度磁场强度 式中：Im为磁化电流强度；Jm为磁化电流密度。2、磁介质中安培环路定律：将 代入，得:1、真空中，安培环路定律：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 移项得:定义:磁场强度(A/m)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 安培环路定律:(积分式)(微分式)安培环路定律:第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场(微分式)安培环路定律:(积分式)图图b H 的分布与磁介质有关思考图b 中三条环路
31、上环量相等吗？图a 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？图图a H 与I 成右螺旋关系第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6.4 3.6.4 磁导率磁导率 对于大多数媒质，磁化强度 MM 与磁场强度 HH 成正比，即:式中比例常数 m 称为磁化率磁化率。磁化率可以是正或负实数。考虑到 ，则由上式求得第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 令则(式中 称为磁导率)相对磁导率 r 定义为:(H/m)铁磁材料的 B B 和 HH 的关系是非线性的，并且B B不是HH的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率 m的变化范围很大，可以达到106量级。第三章第三
32、章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6.5 3.6.5 磁介质中恒定磁场基本方程磁介质中恒定磁场基本方程 本构方程（磁通连续原理）（安培环路定律）恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的旋涡源（矢量）泊松方程（矢量）拉普拉斯方程 当 J=0 时第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3 13 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的磁导率为，求各区域的H、B、M。cab 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解：解：当ra时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向
33、。安培环路定律考虑这一区域的磁导率为0，可得(r a)(r a)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，(arb)(arb)(arb)可得 cab 安培环路定律第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当bc时，这一区域的 为零。cab 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 由得即或1.B 的边界条件B112B2l12n说明：分界面上 B的法向分量连续。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 由得2.H 的边界条件b b1H1
34、H22说明：分界面上 H的切向分量不连续。若界面上无电流，则：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 静电场和恒定电流的场比较由所以：若1 2，则20结论：在铁磁性材料（1 0）与空气的分界面上，空气中的B垂直于分界面。3.折射定律条件：媒质均匀、各向同性，分界面 J=0又：211第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.8 3.8 标标 量量 磁磁 位位标量磁位 单位：A（安培）磁标位m 仅适合于无自由电流区域;等磁位面（线)方程为m=常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直;式中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。在无电荷区域 J=0，则：第三章第三章
35、 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 均匀介质中磁场的边界条件用磁标位表示时，为：用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。磁标位主要用来计算永磁体的磁场。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对非均匀介质，在无源区(J=0)，引入磁荷的概念后，磁标位满足泊松方程，即式中：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.9 3.9 互互 感感 和和 自自 感感 1.1.电感的定义电感的定义 如果回路由N匝导线绕成，则总磁通量是各匝的磁通之和。称磁链磁链磁链磁链，用表示。对于密绕线圈，有=N。电感：穿过某电流回路的磁通量与回路中电流强度之比称
36、 电感电感电感电感（电感系数），用L表示，即：H（亨利）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2.2.自感：自感：若某回路C载流为I，其产生的磁场穿过回路C自身所形成的磁链为，则定义回路C的自感系数为：H（亨利）自感的大小决定于回路的尺寸、形状 以及介质的磁导率。若回路导线直径较粗，则：L=Li+Le式中：Li为回路内自感，由导体内部磁场与部分电流交链而成。Le为回路外自感，由导体外部磁场与回路交链而成。关于回路自感的讨论：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.3.互感：互感：互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比，它与两个回路的几何尺寸，相
37、对位置及周围媒质有关。C2C1 C1与C2的互感：C2与C1 的互感：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 设回路 C1 通以电流 I1，穿过回路 C2 的磁通（磁链）为：C2C14.4.诺伊曼公式诺伊曼公式：（简单互感间的计算公式）条件：导线直径远小于回路的尺寸及两回路间的最近距离。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 C2C1C1 与C2的互感为：-诺伊曼公式诺伊曼公式诺伊曼公式诺伊曼公式由上式知：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 外自感的诺伊曼表达式：外自感 由于自感磁通总是与电流呈右手螺旋定则关系，所以L总是正值C1C2 设电流
38、 I I 集中在导线的轴线 C1上，磁通穿过外表面轮廓 C2 所限定的面积。外自感第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 内自感的诺伊曼表达式：穿过图中宽为dr，单位长度的截面的磁通为：只和半径为r的圆截面内的电流 交链，与总电流 相交链的磁链为：在导体内的总磁链为：所以：单位长度的内自感为(H/m)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例：例：一同轴线，内导体的半径为a，外导体的内半径 为b，外半径为c，求同轴线单位长度的自感。解：解：同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感、外导体中的内自感和内外导体之间的外自感三部分。总自感第三章第三章 恒定电流的电场
39、和磁场恒定电流的电场和磁场 在内导体内的总磁链为：所以：单位长度的内自感为(H/m)(1)内导体的内自感单位长度的截面的磁通为：只和半径为r的圆截面内的电流 交链，与总电流 相交链的磁链为：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场（3）内外导体间的外自感同轴线单位长度的外自感为：(H/m)内外导体之间单位长度上的磁通为：(2)外导体中的内自感第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 (H/m)总自感第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例3-14：无限长双导线单位长度上的电感。导线半径为 。单位长度上的外自感：双导线单位长度上的电感：解：解：已知
40、单位长度的内自感为：外自感：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 媒质为线性。系统能量仅与系统的最终状态有关，与能 量的建立过程无关。假设：1、恒定磁场中的能量（Magnetic Energy）自有能互有能 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）。3.10 3.10 磁场能量磁场能量 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电流增大过程中,外源必须克服回路的感应电动势做功 i1 从 0 I1过程中，外源所做的功：推导磁场能量表达式（1）i1 从 0 I1,dt 时间内，产生di1增量，l1、l2中的感应电动势为第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁
41、场（2）I1不变，i2 从 0 I2：若要继续充电,外源必须克服回路的感应电动势做功I1不变，i2 从 0 I2过程中，外源所做的功 dt 时间内，产生di2，l1、l2中的感应电动势为第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电源对整个电流回路系统所作的总功为:上式若采用磁通来表示，则有：即：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 推广到N个电流回路系统，其磁能为:式中：其中:ji 是回路 j 在回路 i 上的磁通，i是回路的总通.第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2、磁场能量的分布及磁能密度对于分布电流，用Iidli=JdV代入上式，得
42、第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 将H=J代入上式，得:注意，上式中当积分区域V趋于无穷时，面积分项为零(理由同静电场能量里的类似)。于是得到 磁场能量密度为 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁场能量密度 磁场能量对于线性媒质磁场能量对于线性媒质磁场能量密度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-15 求无限长圆柱导体单位长度的内自感。解解：设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为 单位长度的磁场能量为 单位长度的内自感为 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例：例：一空气同轴线，内
43、导体的半径为a，外导体的内半径 为b，外半径为c，求同轴线单位长度的自感。解：解：从磁场能量角度来求解第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 单位长度同轴线中的贮能为：单位长度同轴线的自感为：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.11 3.11 磁磁 场场 力力 电源提供的能量=磁场能量的增量+磁场力所做的功 n 个载流回路中，当仅有一个广义坐标发生位移r，系统的功能守恒是：虚位移法（Method of False Displacement)第三
44、章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 写成矢量形式，有：1.1.磁链不变磁链不变 磁链不变时，回路中的感应电势为零，电源不作功，即：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2.2.电流不变电流不变 回路的电流不变时，各回路的磁链要发生变化，在各回路中会产生感应电势，电源要作功。在回路r 产生位移时，电源作功为 磁场能量的变化为：由：得：矢量形式：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3 3-1111 设两导体平面的长为l，宽为b,间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JS0(如图 3-22 所示)。设bd,ld，求上面一片导体板面电流所受
45、的力。图 3-22 平行面电流磁力 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解解：考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流。由安培回路定律可以求出两导体板之间磁场为B B=e ex 0J JS0，导体外磁场为零。当用虚位移法计算上面的导体板受力时，假设两板间隔为一变量z。磁场能为 假定上导体板位移时，电流不变，这个力为斥力。bd,l d第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁矢位（A）边值问题解析法数值法有限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律(安培力定律）磁感应强度（B）(毕奥-萨伐尔定律)H 的旋度基本方程B
46、的散度分界面边界条件磁位()恒定磁场知识结构第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 作业v3-19、3-26第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-磁分离器磁分离器磁分离器磁分离器第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-回旋加速器回旋加速器回旋加速器回旋加速器第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-磁悬浮列车磁悬浮列车磁悬浮列车磁悬浮列车第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应
47、用案例恒定电磁场的应用案例-选速器选速器中性气体被高能粒子轰击会称为正离子源，使正离子加速成离子束，但速度不同。带电粒子受电场力向上，磁力向下第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-质谱仪质谱仪质谱仪质谱仪离离子子检检测测器器R组成：离子源、选速器、组成：离子源、选速器、均匀磁场偏转区核离子监均匀磁场偏转区核离子监测器测器用一个离子收集器代替质谱仪中的离子检测器就制成了同位素分离器同位素分离器同位素分离器同位素分离器第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-霍尔效应霍尔效应IwuF
48、利用静磁场可测定所利用静磁场可测定所给定的半导体材料是给定的半导体材料是P型还是型还是N型型BIwuFB第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 等等离离子子体体流流B绝绝缘缘体体导导体体R恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-磁流体发电机磁流体发电机这个发电原理这个发电原理也可以用作电也可以用作电磁流量计磁流量计通过测定流动通过测定流动液体在磁场中液体在磁场中产生的霍尔电产生的霍尔电压，来测量导压，来测量导电液体的流速电液体的流速第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-电磁泵电磁泵 磁场对移动电荷的作用力也导致了无运
49、动部件的所谓电磁泵(electromagnetic pump)的开发。电磁泵中惟一使之从一处到另一处不停运动的就是泵中的液体本身。这种技术目前已应用于核反应堆中，利用液体金属如钠、铋、锂等来为反应堆降温。同时，电磁泵还能用来输血而不会对心肺及人造肾脏中血红细胞造成任何危害。电磁泵的最简单形式由放在磁场中的管道组成，如图第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 1.电磁泵第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-直流电动机直流电动机第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 恒定电磁场的应用案例恒定电磁场的应用案例-磁电式仪表磁电式仪表NSF