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1、力学专第八章弹性体的应力和应变1第1页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变8.08.0弹性力学简介弹性力学简介 弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学是是是是固固固固体体体体力力力力学学学学的的的的重重重重要要要要分分分分支支支支，它它它它研研研研究究究究弹弹弹弹性性性性物物物物体体体体在在在在外外外外力力力力和和和和其其其其它它它它外外外外界界界界因因因因素素素素作作作作用用用用下下下下产产产产生生生生的的的的变变变变形形形形和和和和内内内内力力力力，也也也也称称称称为为为为弹弹弹弹性性性性理理理理论论论论。它它它它是是是是材材材材料料料料力力力力学学学学、结结结结构构构构力力力力学学学学、塑
2、塑塑塑性性性性力力力力学学学学和和和和某某某某些些些些交交交交叉叉叉叉学学学学科科科科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹弹弹弹性性性性体体体体是是是是变变变变形形形形体体体体的的的的一一一一种种种种，它它它它的的的的特特特特征征征征为为为为：在在在在外外外外力力力力作作作作用用用用下下下下物物物物体体体体变变变变形形形形，当当当当外外外外力力力力不不不不超超超超过过过过某某某某一一一一限限限限度度度度时时时时，除除除除去
3、去去去外外外外力力力力后后后后物物物物体体体体即即即即恢恢恢恢复复复复原原原原状状状状。绝绝绝绝对对对对弹弹弹弹性性性性体体体体是是是是不不不不存存存存在在在在的的的的。物物物物体体体体在在在在外外外外力力力力除除除除去去去去后后后后的的的的残残残残余余余余变变变变形形形形很很很很小时，一般就把它当作弹性体处理。小时，一般就把它当作弹性体处理。小时，一般就把它当作弹性体处理。小时，一般就把它当作弹性体处理。2第2页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变弹性力学的发展简史弹性力学的发展简史弹性力学的发展简史弹性力学的发展简史 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体
4、弹性的例子。当时人们还人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17171717世纪世纪世纪世纪开始的。开始的。开始的。开始
5、的。弹性力学的发展弹性力学的发展弹性力学的发展弹性力学的发展初期初期初期初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克胡克胡克胡克和法国的和法国的和法国的和法国的马略马略马略马略特特特特于于于于1680168016801680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于年分别独
6、立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687168716871687年确立了力学三定律。年确立了力学三定律。年确立了力学三定律。年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期第二个时期
7、第二个时期第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在在在在1
8、7171717世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19191919世纪世纪世纪世纪20202020年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。的数学理论。的数学理论。的数学理论。柯西在柯西在柯西在柯西在18221822182218221828182818281828年间年间年间年间发表的一系列论文中，明确地
9、提出了发表的一系列论文中，明确地提出了发表的一系列论文中，明确地提出了发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量应变、应变分量、应力和应力分量应变、应变分量、应力和应力分量应变、应变分量、应力和应力分量的概念，的概念，的概念，的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动建立了弹性力学的几何方程、运动建立了弹性力学的几何方程、运动建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡平衡平衡平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹方程、各向同性以及各向异性材料的
10、广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期第三个时期第三个时期第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志主要标志主要标志主要标志是弹性力学广泛应用于解决是弹性力学广泛应用于解决是弹性力学广泛应用于解决是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时
11、在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。3第3页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变18551855185518551858185818581858年年年年间间间间法法法法国国国国的的的的圣圣圣圣维维维维南南南南发发发发表表表表了了了了关关关关于于于于柱柱柱柱体体体体扭扭扭扭转转转转和和和和弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的论论论论文文文
12、文，可可可可以以以以说说说说是是是是第第第第三三三三个个个个时时时时期期期期的的的的开开开开始始始始。在在在在他他他他的的的的论论论论文文文文中中中中，理理理理论论论论结结结结果果果果和和和和实实实实验验验验结结结结果果果果密密密密切切切切吻吻吻吻合合合合，为为为为弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学的的的的正正正正确确确确性性性性提提提提供供供供了了了了有有有有力力力力的的的的证证证证据据据据；1881188118811881年年年年德德德德国国国国的的的的赫赫赫赫兹兹兹兹解解解解出出出出了了了了两两两两弹弹弹弹性性性性体体体体局局局局部部部部接接接接触触触触时时时时弹弹弹弹性性性性体体体体内内
13、内内的的的的应应应应力力力力分分分分布布布布；1898189818981898年年年年德德德德国国国国的的的的基基基基尔尔尔尔施施施施在在在在计计计计算算算算圆圆圆圆孔孔孔孔附附附附近近近近的的的的应应应应力力力力分分分分布布布布时时时时，发发发发现现现现了了了了应应应应力力力力集集集集中中中中。这这这这些些些些成成成成就就就就解解解解释释释释了了了了过过过过去去去去无无无无法法法法解解解解释释释释的的的的实实实实验验验验现现现现象象象象，在在在在提提提提高高高高机机机机械械械械、结结结结构构构构等等等等零零零零件件件件的的的的设设设设计计计计水水水水平平平平方方方方面面面面起起起起了了了了重
14、重重重要要要要作作作作用用用用，使使使使弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学得到工程界的重视。得到工程界的重视。得到工程界的重视。得到工程界的重视。在在在在这这这这个个个个时时时时期期期期，弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学的的的的一一一一般般般般理理理理论论论论也也也也有有有有很很很很大大大大的的的的发发发发展展展展。一一一一方方方方面面面面建建建建立立立立了了了了各各各各种种种种关关关关于于于于能能能能量量量量的的的的定定定定理理理理(原原原原理理理理)。另另另另一一一一方方方方面面面面发发发发展展展展了了了了许许许许多多多多有有有有效效效效的的的的近近近近似似似似计计计计算算算算、数数数数值值
15、值值计计计计算算算算和和和和其其其其他他他他计计计计算算算算方方方方法法法法，如如如如著著著著名名名名的的的的瑞瑞瑞瑞利利利利里里里里兹兹兹兹法法法法，为为为为直直直直接接接接求求求求解解解解泛泛泛泛函函函函极极极极值值值值问问问问题题题题开开开开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。从从从从20202020世世世世纪纪纪纪20202020年年年年代代代代起起起起，弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学在在在在发发发发展展展
16、展经经经经典典典典理理理理论论论论的的的的同同同同时时时时，广广广广泛泛泛泛地地地地探探探探讨讨讨讨了了了了许许许许多多多多复复复复杂杂杂杂的的的的问问问问题题题题，出出出出现现现现了了了了许许许许多多多多边边边边缘缘缘缘分分分分支支支支：各各各各向向向向异异异异性性性性和和和和非非非非均均均均匀匀匀匀体体体体的的的的理理理理论论论论，非非非非线线线线性性性性板板板板壳壳壳壳理理理理论论论论和和和和非非非非线线线线性性性性弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学，考考考考虑虑虑虑温温温温度度度度影影影影响响响响的的的的热热热热弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学，研研研研究究究究固固固固体体体体同同同同气
17、气气气体体体体和和和和液液液液体体体体相相相相互互互互作作作作用用用用的的的的气气气气动动动动弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学和和和和水水水水弹弹弹弹性性性性理理理理论论论论以以以以及及及及粘粘粘粘弹弹弹弹性性性性理理理理论论论论等等等等。磁磁磁磁弹弹弹弹性性性性和和和和微微微微结结结结构构构构弹弹弹弹性性性性理理理理论论论论也也也也开开开开始始始始建建建建立立立立起起起起来来来来。此此此此外外外外，还还还还建建建建立立立立了了了了弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学广广广广义义义义变变变变分分分分原原原原理理理理。这这这这些些些些新新新新领领领领域域域域的的的的发发发发展展展展，丰丰丰丰富富富富
18、了了了了弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学的的的的内内内内容容容容，促进了有关工程技术的发展。促进了有关工程技术的发展。促进了有关工程技术的发展。促进了有关工程技术的发展。4第4页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变弹性力学的基本内容弹性力学的基本内容弹性力学的基本内容弹性力学的基本内容 弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学所所所所依依依依据据据据的的的的基基基基本本本本规规规规律律律律有有有有三三三三个个个个：变变变变形形形形连连连连续续续续规规规规律律律律、应应应应力力力力-应应应应变变变变关关关关系系系系和和和和运运运运动动动动(或或或或平平平平衡衡衡衡)规规规规律律律律，它它它它们们们们
19、有有有有时时时时被被被被称称称称为为为为弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学三三三三大大大大基基基基本本本本规规规规律律律律。弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学中中中中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连连连连续续续续变变变变形形形形规规规规律律律律是是是是指指指指弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学在在在在考考考考虑虑虑虑物物物物体体体体的的的的变变变变形形形形时时时时，只只只只考考考考虑虑虑虑经经经经过过过过连连连连续续
20、续续变变变变形形形形后后后后仍仍仍仍为为为为连连连连续续续续的的的的物物物物体体体体，如如如如果果果果物物物物体体体体中中中中本本本本来来来来就就就就有有有有裂裂裂裂纹纹纹纹，则则则则只只只只考考考考虑虑虑虑裂裂裂裂纹纹纹纹不不不不扩扩扩扩展展展展的的的的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。求求求求解解解解一一一一个个个个弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学问问问问题题题题，就就就就是是是
21、是设设设设法法法法确确确确定定定定弹弹弹弹性性性性体体体体中中中中各各各各点点点点的的的的位位位位移移移移、应应应应变变变变和和和和应应应应力力力力共共共共15151515个个个个函函函函数数数数。从从从从理理理理论论论论上上上上讲讲讲讲，只只只只有有有有15151515个个个个函函函函数数数数全全全全部部部部确确确确定定定定后后后后，问问问问题题题题才才才才算算算算解解解解决决决决。但但但但在在在在各各各各种种种种实实实实际际际际问问问问题题题题中中中中，起起起起主主主主要要要要作作作作用用用用的的的的常常常常常常常常只只只只是是是是其其其其中中中中的的的的几几几几个个个个函函函函数数数数，
22、有有有有时时时时甚甚甚甚至至至至只只只只是是是是物物物物体体体体的的的的某某某某些些些些部部部部位位位位的的的的某某某某几几几几个个个个函函函函数数数数。所所所所以以以以常常常常常常常常用用用用实实实实验验验验和和和和数数数数学学学学相相相相结结结结合合合合的的的的方方方方法法法法，就可求解。就可求解。就可求解。就可求解。5第5页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变数数数数学学学学弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学的的的的典典典典型型型型问问问问题题题题主主主主要要要要有有有有一一一一般般般般性性性性理理理理论论论论、柱柱柱柱体体体体扭扭扭扭转转转转和和和和弯弯弯弯曲曲曲曲、平平平平面问题面
23、问题面问题面问题、变截面轴扭转变截面轴扭转变截面轴扭转变截面轴扭转，回转体轴对称变形回转体轴对称变形回转体轴对称变形回转体轴对称变形等方面。等方面。等方面。等方面。在在在在近近近近代代代代，经经经经典典典典的的的的弹弹弹弹性性性性理理理理论论论论得得得得到到到到了了了了新新新新的的的的发发发发展展展展。例例例例如如如如，把把把把切切切切应应应应力力力力的的的的成成成成对对对对性性性性发发发发展展展展为为为为极极极极性性性性物物物物质质质质弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学；把把把把协协协协调调调调方方方方程程程程(保保保保证证证证物物物物体体体体变变变变形形形形后后后后连连连连续续续续，各各各各
24、应应应应变变变变分分分分量量量量必必必必须须须须满满满满足足足足的的的的关关关关系系系系)发发发发展展展展为为为为非非非非协协协协调调调调弹弹弹弹性性性性力力力力学学学学；推推推推广广广广胡胡胡胡克克克克定定定定律律律律，除除除除机机机机械械械械运运运运动动动动本本本本身身身身外外外外，还还还还考考考考虑虑虑虑其其其其他他他他运运运运动动动动形形形形式式式式和和和和各各各各种种种种材材材材科科科科的的的的物物物物理理理理方方方方程程程程称称称称为为为为本本本本构构构构方方方方程程程程。对对对对于于于于弹弹弹弹性性性性体体体体的的的的某某某某一一一一点点点点的的的的本本本本构构构构方方方方程程程
25、程，除除除除考考考考虑虑虑虑该该该该点点点点本本本本身身身身外外外外还还还还要要要要考考考考虑虑虑虑弹弹弹弹性性性性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。但但但但是是是是，由由由由于于于于课课课课程程程程所所所所限限限限，我我我我们们们们在在在在以以以以下下下下几几几几节节节节里里里里仅仅仅仅对对对对弹弹弹弹性性性性体体体体力力力力学学学学作作作作简简简简单单单单的的的的介绍，为振动部分和波动部分作准备。介绍，为振动部分和波动部分作准备。介绍，为振动
26、部分和波动部分作准备。介绍，为振动部分和波动部分作准备。6第6页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变8.18.1弹性体力学弹性体的应力和应变简介弹性体力学弹性体的应力和应变简介 弹性体有弹性体有弹性体有弹性体有四种形变四种形变四种形变四种形变：拉伸压缩拉伸压缩拉伸压缩拉伸压缩、剪切剪切剪切剪切、扭转扭转扭转扭转和和和和弯曲弯曲弯曲弯曲。其实，最基本的形。其实，最基本的形。其实，最基本的形。其实，最基本的形变只有变只有变只有变只有两种两种两种两种：拉伸压缩拉伸压缩拉伸压缩拉伸压缩和和和和剪切形变剪切形变剪切形变剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变；
27、扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。的组成。的组成。的组成。弹性体的拉伸和压缩形变弹性体的拉伸和压缩形变弹性体的拉伸和压缩形变弹性体的拉伸和压缩形变 1.1.正压力（拉伸压缩应力）正压力（拉伸压缩应力）正压力（拉伸压缩应力）正压力（拉伸压缩应力）（1 1）其中，其中，其中，其中，沿作用力截面的法线方向。沿作用力截面的法线方向。沿作用力截面的法线方向。沿作用力截面的法线方向。例：如图示，例：如图示，例：如图示，例：如图示，7第7页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变2.2.线应变（相对伸长或压缩）线应变（相对伸长或压缩）线应变（相对伸长或压缩）线应变
28、（相对伸长或压缩）绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：（2 2）当当当当 时，为拉伸形变；时，为拉伸形变；时，为拉伸形变；时，为拉伸形变；时，为压缩形变，因而，它很好地时，为压缩形变，因而，它很好地时，为压缩形变，因而，它很好地时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变反映形变程度。如直杆拉伸压
29、缩时，还产生横向形变，则对应的应变反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或或或或形变形变形变形变)为：为：为：为：（3 3）其中：设想直杆横截面是正方形每边长为其中：设想直杆横截面是正方形每边长为其中：设想直杆横截面是正方形每边长为其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ，横向形变后为，横向形变后为，横向形变后为，横向形变后为 。横向形变和纵向形变之比为横向形变和纵向形变之比为横向形变和纵向形变之比为横向形变和纵向形变之比为泊松系数泊松系数泊松系数泊松系数：（4 4）8第8页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变3.3.胡克定律胡克定律胡克定律胡克定律 当应变较小时，应
30、力与应变成正比：当应变较小时，应力与应变成正比：当应变较小时，应力与应变成正比：当应变较小时，应力与应变成正比：（5 5）或或或或（6 6）其中：其中：其中：其中：Y Y 称为称为称为称为杨氏模量杨氏模量杨氏模量杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。设一纵波传播中，设一纵波传播中，设一纵波传播中，设一纵波传播中，t t 时刻时刻时刻时刻 x x 处媒质的变形情况，处媒质的变形情况，处媒质的变形情况，处媒质的变形情况，表示表示表示表示所取媒质的长度，所取媒质的长度，所
31、取媒质的长度，所取媒质的长度，x x 处媒质的位移为处媒质的位移为处媒质的位移为处媒质的位移为 y y(x x)，处媒质处媒质处媒质处媒质的位移为的位移为的位移为的位移为，因此，因此，因此，因此 媒质的应变为：媒质的应变为：媒质的应变为：媒质的应变为：，取，取，取，取 ，即为，即为，即为，即为 x x 处媒质处媒质处媒质处媒质的应变：的应变：的应变：的应变：所以：所以：所以：所以：（7 7）9第9页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变4.4.拉伸或压缩的形变势能拉伸或压缩的形变势能拉伸或压缩的形变势能拉伸或压缩的形变势能属于形变物体本身所有属于形变物体本身所有属于形变物体本身所有属于形变物
32、体本身所有（8 8）同时有：同时有：同时有：同时有：弹性势能密度弹性势能密度弹性势能密度弹性势能密度，即单位体积中的弹性势能：，即单位体积中的弹性势能：，即单位体积中的弹性势能：，即单位体积中的弹性势能：（9 9）10第10页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变8.28.2弹性体的剪切形变弹性体的剪切形变 一、剪切形变一、剪切形变一、剪切形变一、剪切形变 当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时的当物体受到力偶作用使物体的两个平行截面间发生相对平行移动时
33、的形变叫做形变叫做形变叫做形变叫做剪切形变剪切形变剪切形变剪切形变。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。例如：用剪刀剪断物体前即发生这类形变。二、剪应力二、剪应力二、剪应力二、剪应力（1 1）其中：其中：其中：其中：S S为假想截面为假想截面为假想截面为假想截面ABCDABCD的面积，力的面积，力的面积，力的面积，力F F 在该面上均匀分布。在该面上均匀分布。在该面上均匀分布。在该面上均匀分布。三、剪切形变三、剪切形变三、剪切形变三、剪切形变特征：表现为平行截面间的相对滑移。如图示：特征：表现为平行截面间的相对滑移。
34、如图示：特征：表现为平行截面间的相对滑移。如图示：特征：表现为平行截面间的相对滑移。如图示：切应角切应角若很小，则若很小，则若很小，则若很小，则（2 2）11第11页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变四、剪切形变的胡克定律四、剪切形变的胡克定律四、剪切形变的胡克定律四、剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：若形变在一定限度内，剪切应力与剪切应变成正比：其中，其中，其中，其中，N N 为为为为剪切模量剪切模量剪切模量剪切模量，反映材料抵抗剪切应变的能力。，反映材料抵抗剪切应
35、变的能力。，反映材料抵抗剪切应变的能力。，反映材料抵抗剪切应变的能力。（3 3）通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：通过理论推导，对于各向同性的，均匀的弹性体，有：上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：上式说明了：三个量之间只有两个是独立的。其中：Y Y 是是是是杨氏模量杨氏模量杨氏模量杨氏模量，反映材料，反映材料，反映材料，反映材料抵抗拉伸与压缩的能力；抵抗拉伸与压缩的能力；抵抗拉伸与压
36、缩的能力；抵抗拉伸与压缩的能力；N N 是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力；是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力；是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力；是剪切模量，反映材料抵抗剪切形变的能力；是泊松是泊松是泊松是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。但几个不同特性的量是有联系的。系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。但几个不同特性的量是有联系的。系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。但几个不同特性的量是有联系的。系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。但几个不同特性的量是有联系的。12第12页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变同理，例如，在横波中：同理，例如，在横波中：同理，例如，在横
37、波中：同理，例如，在横波中：当当当当 时：时：时：时：因此，因此，因此，因此，13第13页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变五、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：五、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：五、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：五、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：（5 5）注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也
38、能传播横波。能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。14第14页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变8.38.3梁的弯曲和杆的扭曲梁的弯曲和杆的扭曲 一一一一、梁的弯曲、梁的弯曲、梁的弯曲、梁的弯曲 中性层中性层中性层中性层：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的：一根杆中处于中间的既不拉伸又不压缩的层，如图中的 层。层。层。层。对于纯梁弯曲形变有：对于纯梁弯曲形变有：对于纯梁弯
39、曲形变有：对于纯梁弯曲形变有：其中：其中：其中：其中：R R 和和和和 k k 分别为中性层的半径和曲率；分别为中性层的半径和曲率；分别为中性层的半径和曲率；分别为中性层的半径和曲率；h h 和和和和b b 分别为梁的或分别为梁的或分别为梁的或分别为梁的或度和宽度，度和宽度，度和宽度，度和宽度，为梁仅受的靠端部的力偶。为梁仅受的靠端部的力偶。为梁仅受的靠端部的力偶。为梁仅受的靠端部的力偶。15第15页，本讲稿共16页第八章弹性体的应力和应变二、二、二、二、杆的扭曲杆的扭曲杆的扭曲杆的扭曲 产生扭转的力偶产生扭转的力偶产生扭转的力偶产生扭转的力偶 和实心圆柱扭转角和实心圆柱扭转角和实心圆柱扭转角和实心圆柱扭转角 的关系：的关系：的关系：的关系：其中：和分别为圆柱的半径和长度，其中：和分别为圆柱的半径和长度，其中：和分别为圆柱的半径和长度，其中：和分别为圆柱的半径和长度，N N 是是是是剪切模量剪切模量剪切模量剪切模量，式中，式中，式中，式中 c c 是圆是圆是圆是圆柱的柱的柱的柱的扭转系数扭转系数扭转系数扭转系数：16第16页，本讲稿共16页