《几个典型的代数系统精.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几个典型的代数系统精.ppt（49页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、几个典型的代数系统第1页，本讲稿共49页定义定义6.1设设V=是代数系统，是代数系统，为二元运算，如果为二元运算，如果 运算是运算是可结合的，则称可结合的，则称V 为为半群半群。如果半群如果半群V=中的二元运算中的二元运算 是可交换的，则称是可交换的，则称V为为可可交换半群交换半群。如果半群如果半群V=中的二元运算含有幺元，则称中的二元运算含有幺元，则称V为为含幺半含幺半群，群，也可叫作也可叫作独异点独异点。有时将独异点记为。有时将独异点记为。半群的子代数叫作子半群，独异点的子代数叫作子独异半群的子代数叫作子半群，独异点的子代数叫作子独异点。点。6.1半群与群半群与群第2页，本讲稿共49页例例
2、1(1),是半群，是半群，+是普通加法是普通加法,其中除其中除外都是独异点外都是独异点.(2)设设n是大于是大于1的正整数的正整数,和和都是半都是半群和独异点，其中群和独异点，其中+和和分别表示矩阵加法和矩阵乘法分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中 为集合的对称差为集合的对称差运算运算.(4)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n 1，为模为模n加法加法.(5)为半群，也是独异点，其中为半群，也是独异点，其中 为函数的复合运为函数的复合运算算.(6)为半群，其中为半群，其中R*为非零实数集合，为非零实数集合，运算定义运算定
3、义如下：如下：x,yR*,x y=y.第3页，本讲稿共49页 是是T 的单位元，的单位元，T 本身可以构成独异点，但不是本身可以构成独异点，但不是V2 的的子独异点，因为子独异点，因为V2的单位元是的单位元是e.例例2设半群设半群V1=，独异点，独异点V2=.其中其中为矩阵为矩阵乘法，乘法，e 为为2阶单位矩阵阶单位矩阵,且且，则则T S，且，且T 是是V1=的子半群的子半群.第4页，本讲稿共49页定义定义6.3(1)设设V1=，V2=是半群，是半群，f:S1S2.若若对任对任意的意的x,yS1有有f(x y)=f(x)f(y)则称则称f 为半群为半群V1到到V2的同态映射，简称的同态映射，简
4、称同态同态.(2)设设V1=，V2=是独异点，是独异点，f:S1S2.若对任意的若对任意的x,yS1有有f(x y)=f(x)f(y)且且f(e1)=e2,则称则称f 为独异点为独异点V1到到V2的同态映射，简称的同态映射，简称同态同态.定义定义6.2设设V1=，V2=为半群，则为半群，则V1V2=也是半群，且对任意也是半群，且对任意,S1S2有有=,称称V1V2为为V1和和V2的积半群。的积半群。第5页，本讲稿共49页则则f 是半群是半群V1=的自同态，但不是独异点的自同态，但不是独异点V2=的自同态，因为的自同态，因为f(e)e.例例3设半群设半群V1=，独异点，独异点V2=.其中其中为矩
5、为矩阵乘法，阵乘法，e 为为2阶单位矩阵阶单位矩阵,且且令令第6页，本讲稿共49页定义定义6.4设设是代数系统，是代数系统，为二元运算。如果为二元运算。如果 运算是可结合的，存在幺元运算是可结合的，存在幺元eG，并且对，并且对G 中的任中的任何元素何元素x，都有，都有x 1G，则称，则称G 为为群。群。实例实例:(1),都是群；都是群；和和不是群不是群.(2)是群，而是群，而不是群不是群.(3)是群，是群，为对称差运算为对称差运算.(4)，也是群，也是群.Zn=0,1,n 1，为模为模n 加加第7页，本讲稿共49页Klein四元群四元群设设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，上的运算由下
6、表给出，称为称为Klein四元群四元群 e a b c e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e 运算表特征：运算表特征：对称性对称性-运算可交换运算可交换主对角线元素都是主对角线元素都是幺元幺元-每个元素是自己的逆元每个元素是自己的逆元 a,b,c 中中任两个元素运算任两个元素运算都等于第三个元素都等于第三个元素.第8页，本讲稿共49页若群若群G 是有穷集，则称是有穷集，则称G是是有限群有限群，否则为，否则为无限群无限群。群群G 中的元素个数称为群中的元素个数称为群G的的阶阶，有限群，有限群G 的阶。记作的阶。记作|G|。若群若群G中的二元运算是可交换的
7、，则称中的二元运算是可交换的，则称G为为交换群，交换群，也也叫作叫作阿贝尔阿贝尔(Abel)群群。例：例：和和是无限群是无限群是有限群，也是是有限群，也是n 阶群阶群Klein四元群是四元群是4阶群阶群n 阶阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是是非交换群非交换群.都是交换群都是交换群第9页，本讲稿共49页设设G是群，是群，xG，nZ，则，则x 的的n 次幂次幂xn 定义为：定义为：实例：实例：在在中有中有2 3=(2 1)3=13=1 1 1=0在在中有中有(2)3=23=2+2+2=6第10页，本讲稿共49页设设G是群，是群，xG，使得等式，使得等
8、式xk=e 成立的最小正整数成立的最小正整数k 称称为为x 的的阶（或周期）阶（或周期），记作，记作|x|=k，称，称x为为k阶元阶元。若不。若不存在这样的正整数存在这样的正整数k，则称，则称x 为为无限阶元无限阶元。实例实例：在在中，中，2和和4是是3阶元，阶元，3是是2阶元，阶元，1和和5是是6阶元阶元0是是1阶元阶元在在中中，0是是1阶元，其它整数的阶都不存在阶元，其它整数的阶都不存在.第11页，本讲稿共49页定理定理6.1设设G 为群为群,则则G 中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1)xG，(x 1)1=x.(2)x,yG，(xy)1=y 1x 1.(3)xG，xnxm=xn+m，n,
9、mZ.(4)xG，(xn)m=xnm，n,mZ.(5)若若G为交换群，则为交换群，则(xy)n=xnyn.证：略证：略第12页，本讲稿共49页定理定理6.2G为群，为群，a,bG，方程，方程ax=b 和和ya=b 在在G中有中有解且仅有唯一解解且仅有唯一解.证：证：a 1b 代入方程左边的代入方程左边的x 得得a(a 1b)=(a a 1)b=eb=b所以所以a 1b 是该方程的解是该方程的解.下面证明唯一性下面证明唯一性.假设假设c 是方程是方程ax=b 的解，必有的解，必有ac=b，从而有，从而有c=ec=(a 1a)c=a 1(ac)=a 1b同理可证同理可证ba 1是方程是方程ya=b
10、 的唯一解的唯一解.例：设群例：设群G=，其中，其中 为对称差为对称差.群方程群方程a X=，Y a,b=b的解：的解：X=a 1=a=a，Y=b a,b 1=b a,b=a第13页，本讲稿共49页定理定理6.3G为群，则为群，则G中适合消去律，即对任意中适合消去律，即对任意a,b,cG有有(1)若若ab=ac，则，则b=c.(2)若若ba=ca，则，则b=c.证：略证：略定理定理6.4G为有限群，则为有限群，则G的运算表中的每一行（每一列）的运算表中的每一行（每一列）都是都是G中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同。相同。这就是说，在
11、这就是说，在G的运算表的每一行里，的运算表的每一行里，G的每个元素都出现的每个元素都出现一次且仅一次。这样就可以很容易判断出哪些代数系统不是群。一次且仅一次。这样就可以很容易判断出哪些代数系统不是群。第14页，本讲稿共49页定义定义6.5设设 是群，是群，H 是是G 的非空子集，如果的非空子集，如果H 关于关于G中的运算中的运算*构成群，则称构成群，则称H 是是G 的的子群子群,记作记作HG。若若H 是是G 的子群，且的子群，且H G，则称，则称H 是是G 的的真子群真子群，记作，记作HG。例如：例如：nZ（n是自然数）是整数加法群是自然数）是整数加法群的子群。的子群。当当n1时，时，nZ 是
12、是Z 的真子群。同样的真子群。同样0也是也是的子群。的子群。在在Klein四元群四元群G=e,a,b,c中，有中，有5个子群。个子群。对任何群对任何群G 都存在子群。都存在子群。G 和和e都是都是G 的子群，称为的子群，称为G的的平凡子群平凡子群。第15页，本讲稿共49页怎样判定怎样判定G的子集的子集H能构成子群呢？能构成子群呢？定理定理6.5设设G 为群，为群，H 是是G 的非空子集。的非空子集。H 是是G 的子的子群当且仅当群当且仅当 a,bH 有有ab 1H.证：证：只证充分性只证充分性.由于由于H 非空，必有非空，必有xH。由已知有由已知有xx 1H，从，从而得到而得到eH。任取任取H
13、中元素中元素a,由由 e,aH 得得ea 1H，即，即a 1H。任取任取a,bH,必有必有b 1H，从而得到，从而得到a(b 1)1H，即即abH。第16页，本讲稿共49页几个重要子群的实例几个重要子群的实例生成子群：生成子群：设设G 为群，为群，aG，令，令 H=ak|kZ，则，则H 是是G 的子群，称为的子群，称为由由a 生成的子群，记作生成的子群，记作。证：证：首先由首先由a知道知道.任取任取am,al，则则am(al)1=ama l=am l根据判定定理可知根据判定定理可知G.例：整数加群，由例：整数加群，由2生成的子群是生成的子群是=2k|kZ=2Z群群中，由中，由2生成的子群生成的
14、子群=0,2,4Klein四元群四元群G=e,a,b,c 的所有生成子群是：的所有生成子群是：=e,=e,a,=e,b,=e,c 第17页，本讲稿共49页群群G 的的中心中心C：设设G 为群为群,C=a|aG xG(ax=xa)，则，则C 是是G的子群，称为的子群，称为G 的的中心中心.证证:eC.C是是G的非空子集的非空子集.任取任取a,bC，只需证明，只需证明ab 1与与G 中所有的元素都可中所有的元素都可交换交换.xG，有，有:(ab 1)x=ab 1x=ab 1(x 1)1=a(x 1b)1=a(bx 1)1=a(xb 1)=(ax)b 1=(xa)b 1=x(ab 1)由判定定理可知
15、由判定定理可知CG.对于阿贝尔群对于阿贝尔群G，G的中心就等于的中心就等于G.对某些非交换群对某些非交换群G，它的中心是，它的中心是e.第18页，本讲稿共49页定义定义6.6设设G 是群，若存在是群，若存在aG 使得使得G=ak|kZ 则称则称G 是是循环群循环群，记作，记作G=，称，称a 为为G 的的生成元生成元。实例实例 整数加法群整数加法群 G=模模 6 加法群加法群 G=第19页，本讲稿共49页循环群循环群 G=，根据生成元，根据生成元a 的阶可以分成的阶可以分成两类：两类：n 阶循环群和无限循环群。阶循环群和无限循环群。设设G=是循环群，是循环群，若若a 是是n 阶元，则阶元，则G=
16、a0=e,a1,a2,an 1那么那么|G|=n，称，称G 为为n 阶循环群阶循环群.若若a 是无限阶元，则是无限阶元，则G=a0=e,a1,a2,这时称这时称G 为为无限循环群无限循环群.第20页，本讲稿共49页一般地，一般地，G的生成元的生成元at当且仅当当且仅当t与与n互质。互质。例例 (1)G=是无限循环群，生成元是是无限循环群，生成元是1或或-1。对于自然。对于自然数数mN，1的的m 次幂是次幂是m，m 生成的子群是生成的子群是mZ，mN.即即=0=0Z=mz|zZ=mZ，m0(2)G=Z12是是12阶循环群，生成元是阶循环群，生成元是1,5,7,11。12的正的正因子是因子是1,2
17、,3,4,6和和12，因此，因此G 的子群是：的子群是：1阶子群阶子群=02阶子群阶子群=0,63阶子群阶子群=0,4,84阶子群阶子群=0,3,6,96阶子群阶子群=0,2,4,6,8,1012阶子群阶子群=Z12第21页，本讲稿共49页定义定义6.7设设S=1,2,n,S上的任何双射函数上的任何双射函数 :SS构成了构成了S上上n个元素的置换，称为个元素的置换，称为S上的上的n元置元置换换。一般将。一般将n 元置换元置换 记为：记为：例如例如S=1,2,3,4,5,则则都是都是5元置换元置换.第22页，本讲稿共49页设：设：是是S=1,2,n上的上的n 元置换元置换.若若(i1)=i2,(
18、i2)=i3,(im 1)=im(im)=i1，且保持且保持S 中的其他元素不变，则称中的其他元素不变，则称为为S上的上的m 阶轮阶轮换换，记作，记作(i1i2im)。例如例如5元置换元置换分别表示为分别表示为=(12345),=(13)(2)(4)(5)。通常为了。通常为了表达式简洁，可去掉表达式简洁，可去掉1阶轮换，则阶轮换，则又可写成又可写成=(13)。第23页，本讲稿共49页例例:设设S=1,2,8,分析：分析：从从中分解出来的第一个轮换式中分解出来的第一个轮换式(15236)；第；第二个轮换为二个轮换为(4)；第三个轮换为；第三个轮换为(78)。则。则的轮换表的轮换表示式：示式：=(
19、15236)(4)(78)=(15236)(78)用同样的方法可以得到用同样的方法可以得到的分解式：的分解式：=(18342)(567)注意：在轮换分解式中，注意：在轮换分解式中，1阶轮换省略不写。阶轮换省略不写。如何将如何将n元置换分解为轮换元置换分解为轮换?第24页，本讲稿共49页对于对于n元置换元置换,Sn，表示表示与与的复合，显然的复合，显然 也是也是S上的上的n元置换。元置换。逆置换：逆置换：例：设例：设求求 ，-1 第25页，本讲稿共49页考虑所有的考虑所有的n 元置换构成的集合元置换构成的集合Sn ：Sn关于置换的复合关于置换的复合 是封闭的，置换的复合是封闭的，置换的复合 满足
20、结合满足结合律。律。恒等置换恒等置换(1)是是Sn 中的幺元。对于任何中的幺元。对于任何n元置换元置换Sn，逆置换，逆置换 1是是的逆元。的逆元。这就证明了这就证明了Sn关于置换的关于置换的复合复合 构成一个群，称为构成一个群，称为n元对称群元对称群。n元对称群的子群元对称群的子群称为称为n元置换群。元置换群。例：例：设设S=1,2,3，3元对称群元对称群S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132)第26页，本讲稿共49页S3的运算表的运算表 (1)(1 2)(1 3)(2 3)(1 2 3)(1 3 2)(1)(1 2)(1 3)(2 3)(1 2 3)(1 3 2)(
21、1)(1 2)(1 3)(2 3)(1 2 3)(1 3 2)(1 2)(1)(1 2 3)(1 3 2)(1 3)(2 3)(1 3)(1 3 2)(1)(1 2 3)(2 3)(1 2)(2 3)(1 2 3)(1 3 2)(1)(1 2)(1 3)(1 2 3)(2 3)(1 2)(1 3)(1 3 2)(1)(1 3 2)(1 3)(2 3)(1 2)(1)(1 2 3)第27页，本讲稿共49页6.2环与域环与域定义定义6.8设设是代数系统，是代数系统，+和和是二元运算是二元运算.如果如果(1)构成交换群（即构成交换群（即阿贝尔群阿贝尔群），），(2)构成半群，构成半群，(3)运算关于
22、运算关于+运算适合分配律，运算适合分配律，则称则称是一个是一个环环。为了叙述的方便，通常称为了叙述的方便，通常称+运算为环中的运算为环中的加法加法，运算为环中的运算为环中的乘法乘法.。环中加法幺元记作。环中加法幺元记作0，乘法幺元（如果存在）记作，乘法幺元（如果存在）记作1。对任何元素对任何元素x，称，称x的加法逆元为的加法逆元为负元负元，记作，记作 x。若若x存在乘存在乘法逆元的话，则称之为法逆元的话，则称之为逆元逆元，记作，记作x 1.。因此在环中写。因此在环中写x y意味意味着着x+(y).第28页，本讲稿共49页例：例：(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的整数集、有理数集、
23、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环，有理数环Q，实数环，实数环R和复数环和复数环C.(2)n（n2）阶实矩阵集合）阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和关于矩阵的加法和乘法构成环，称为乘法构成环，称为n阶实矩阵环阶实矩阵环.(3)设设Z0,1,.,n 1，和和 分别表示模分别表示模n的加法和乘的加法和乘法，则法，则构成环，称为模构成环，称为模n的整数环的整数环.第29页，本讲稿共49页几个特殊环：几个特殊环：设设是环，是环，(1)若环中乘法若环中乘法适合交换律，则称适合交换律，则称R是是交换环交换环.(2)若环中乘法若环中乘法存
24、在幺元，则称存在幺元，则称R是是含幺环含幺环.(3)若若 a,bR，ab=0a=0b=0，则称，则称R是是无零因子环无零因子环.零因子实例：在模零因子实例：在模6整数环中，有整数环中，有3 2=0，而，而3和和2都不是乘都不是乘法的零元法的零元.这时称这时称3为左零因子，为左零因子，2为右零因子为右零因子.这种含有左零这种含有左零因子和右零因子的环就不是无零因子环因子和右零因子的环就不是无零因子环.定义定义6.9若若环环是是交换、含幺和无零因子的，则称交换、含幺和无零因子的，则称R为为整环整环.第30页，本讲稿共49页若若环环至少含有至少含有2个元素且是含幺和无零因子的，并且个元素且是含幺和无
25、零因子的，并且 aR（a0）有）有 a-1R，则称，则称R为除环。为除环。若若环环既既是整环，有是除环，则称是整环，有是除环，则称R是是域域。例如：有理数集例如：有理数集Q、实数集、实数集R、复数集、复数集C关于普通的加关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为法和乘法都构成域，分别称为有理数域有理数域、实数域实数域和和复复数域数域。整数环整数环Z是整环，而不是域。是整环，而不是域。对于模对于模n的整数环的整数环Zn，若，若n是素数，那么是素数，那么Zn是域。是域。第31页，本讲稿共49页例：例：(1)整数环整数环Z、有理数环、有理数环Q、实数环、实数环R、复数环、复数环C都是交都是交换环、含幺环
26、、无零因子环和整环。换环、含幺环、无零因子环和整环。(2)令令2Z=2z|zZ，则，则构成交换环和无零因子环。构成交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环。但不是含幺环和整环。(3)设设n Z,n 2,则则n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环。也不是整环。(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整环。零因子环和整环。可以证明对于一般的可以证明对于一般的n,Zn是整环当且是整环当且仅当仅当n是素数。是素数。第3
27、2页，本讲稿共49页下面是域的性下面是域的性质质：定理定理6.6设设是是环环，则则(1)aR，a0=0a=0(2)a,bR，(a)b=a(b)=(ab)(3)a,bR，(a)(b)=ab(4)a,b,cR，a(b c)=ab ac，(b c)a=ba ca例：例：在环中计算在环中计算(a+b)3,(a b)2解解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(a b)2=(a b)(a b)=a2 ba ab+b2第33页，本讲稿共49页(2)不是不是环环,关于加法不封关于加法不封闭闭.例：例：判断
28、下列集合和给定运算是否构成环、整环和判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域域.如果不构成如果不构成,说明理由说明理由.(1)A=a+bi|a,bQ,其中其中i2=1,运算为复数加法和运算为复数加法和乘法乘法.(2)A=2z+1|zZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法.(3)A=2z|zZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法.(4)A=x|x0 xZ,运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法.(5),运算为实数加法和乘法运算为实数加法和乘法.解解(1)是环是环,是整环是整环,也是域也是域.(3)是是环环,不是整不是整环环和域和域,乘法没有乘法没有单单位元位元.(5)不是不是环环
29、,关于乘法不封关于乘法不封闭闭.(4)不是不是环环,A关于加法不构成群关于加法不构成群.第34页，本讲稿共49页6.3格与布尔代数格与布尔代数定义定义6.10设设是偏序集，如果是偏序集，如果 x,y S，x,y都都有最小上界和最大下界，则称有最小上界和最大下界，则称S关于偏序关于偏序 构成一个构成一个格格。由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求x,y的最小上界和最大下界看成的最小上界和最大下界看成x与与y 的二元运算的二元运算和和，即即xy 和和xy 分别表示分别表示x与与y的最小上界和最大下界的最小上界和最大下界.注意：这里出现的注意：这里出现的和和
30、符号只代表格中的运算，而符号只代表格中的运算，而不再有其他的含义不再有其他的含义.第35页，本讲稿共49页例：例：设设n是正整数，是正整数，Sn是是n的正因子的集合。的正因子的集合。D为整除为整除关系，则偏序集关系，则偏序集构成格。构成格。x,ySn，xy是是lcm(x,y)，即，即x与与y的最小公倍数；的最小公倍数；xy是是gcd(x,y)，即，即x与与y 的最大公约数的最大公约数.实例：实例：第36页，本讲稿共49页例：例：判断下列偏序集是否构成格，并说明理由。判断下列偏序集是否构成格，并说明理由。(1)，其中，其中P(B)是集合是集合B的幂集。的幂集。(2)，其中，其中Z是整数集，是整数
31、集，为小于或等于关系。为小于或等于关系。(3)偏序集的哈斯图分别给下图：偏序集的哈斯图分别给下图：解解:(1),(2)是格，是格，(3)中的都不是格。中的都不是格。第37页，本讲稿共49页格的性质格的性质对偶原理对偶原理设设f 是含有格中元素以及符号是含有格中元素以及符号=,和和的命题。的命题。令令f*是将是将f 中的中的 替换成替换成、替换成替换成、替换成替换成、替换成替换成所得到的命题。所得到的命题。称称f*为为f 的的对偶命题。对偶命题。例如在格中令例如在格中令f 是是(ab)c c,则则f*是是(ab)c c。那么那么f 与与f*互为对偶命题。互为对偶命题。格的对偶原理格的对偶原理设设
32、f 是含有格中元素以及符号是含有格中元素以及符号=、和和等的命题，若等的命题，若f 对一切格为真对一切格为真,则则f 的对偶命题的对偶命题f*也对一切格为真。也对一切格为真。例如例如,对一切格对一切格L命题命题“a,bL,ab a”都成立，都成立，根据根据对偶原理，对一切格对偶原理，对一切格L，命题，命题“a,bL,ab a”也为真。也为真。第38页，本讲稿共49页定理定理6.7设设是格是格,则运算则运算和和适合交换律、结适合交换律、结合律、幂等律和吸收律，即合律、幂等律和吸收律，即(1)a,bL有有ab=ba，ab=ba(2)a,b,cL有有(ab)c=a(bc)，(ab)c=a(bc)(3
33、)aL有有aa=a，aa=a (4)a,bL有有a(ab)=a，a(ab)=a第39页，本讲稿共49页证明：证明：只证只证(1)(2).根据对偶原理，只证其中一个等式即可根据对偶原理，只证其中一个等式即可.(1)ab是是a,b的最小上界，的最小上界，ba是是b,a的最小上界的最小上界.由由于于a,b=b,a,所以所以ab=ba.(2)根据最小上界定义，有下述不等式：根据最小上界定义，有下述不等式：(ab)c ab a(ab)c ab b(ab)c c由式由式和和(ab)c bc由式由式和和有有(ab)c a(bc).同理可证同理可证(ab)c a(bc).根据偏序的反对称性得根据偏序的反对称性
34、得(ab)c=a(bc).第40页，本讲稿共49页格的另一个等价的定义：格的另一个等价的定义：设设是具有两个二元运算的代数系统，若是具有两个二元运算的代数系统，若*和和 运算满足交换、结合、吸收律，则可以运算满足交换、结合、吸收律，则可以适当适当定义定义S 中的中的偏序偏序，使得，使得构成一个格，且构成一个格，且 a,bS有有ab=a*b，ab=a b。和定理和定理6.7相比，这里没有提到幂等律，这是因为只要相比，这里没有提到幂等律，这是因为只要吸收律成立，则幂等律就一定成立。吸收律成立，则幂等律就一定成立。证明如下：证明如下：aS有有a a=a(a*(a a)=a同理可证同理可证a*a=a第
35、41页，本讲稿共49页定义定义6.11设设是格，若是格，若 a,b,c L有有a(b c)=(a b)(a c)a(b c)=(a b)(a c)成立，则称成立，则称L 为为分配格分配格。可以证明，这两个等式中只要有一条成立，另一条一定成可以证明，这两个等式中只要有一条成立，另一条一定成立。立。例如例如a(b c)=(a b)(a c)a(b c)=(a b)(a c)证：证：(a b)(a c)=(a b)a)(a b)c)对对 的分配律的分配律=a(a c)(b c)吸收律、吸收律、对对 的分配律的分配律=(a(a c)(b c)结合律结合律=a(b c)吸收律吸收律第42页，本讲稿共49
36、页例：例：指出下图中哪些格是分配格？指出下图中哪些格是分配格？解：解：L1和和L2是分配格是分配格,L3和和L4不是分配格。不是分配格。在在L3中有中有b(cd)=be=b，(bc)(bd)=aa=a在在L4中有中有c(bd)=ca=c，(cb)(cd)=ed=d称称L3为为钻石格钻石格,L4为为五角格五角格。这两个这两个5元格在分配格的元格在分配格的判别中有着重要的意义。判别中有着重要的意义。第43页，本讲稿共49页定义定义6.12若在格若在格中中存在一个元素存在一个元素a，使得，使得 bL有有a b（或（或b a）,则称则称a为为L的的全下界全下界（或（或全上界全上界）。）。格格L若存在全
37、下界或全上界若存在全下界或全上界,一定是唯一的。一般将格一定是唯一的。一般将格L的全的全下界记为下界记为0，全上界记为，全上界记为1。具有全上界和全下界的格。具有全上界和全下界的格,称为称为有有界格界格,记作记作。实例：实例：有限格有限格L=a1,a2,an是有界格是有界格,其中其中a1a2an是是L的全下界的全下界,a1a2an是是L的全上界。的全上界。一般地，有限元的格都是有界格。一般地，有限元的格都是有界格。幂集格幂集格P(B)是有界格，即使它是无穷集合。是有界格，即使它是无穷集合。第44页，本讲稿共49页定义定义6.13设设是有界格是有界格,aL,若存在若存在bL，使得，使得ab=0，
38、ab=1成立成立,则称则称b 为为a 的的补元补元。对于有界格，补元的分布情况：对于有界格，补元的分布情况：0与与1互为补元，它们都只有唯一的补元。互为补元，它们都只有唯一的补元。有的元素有补元，可能存在多个补元。有的元素有补元，可能存在多个补元。有的元素没有补元。有的元素没有补元。第45页，本讲稿共49页解解L1中中a与与c互补互补,b没有补元没有补元.例：例：考虑以下四个格，求出所有元素的补元。考虑以下四个格，求出所有元素的补元。L2中中a与与d互补互补,b与与c互补互补.L3中中a与与e互补互补,b的补元的补元c,d;c的补元的补元b,d;d的补元的补元b,c.L4中中a与与e互补互补,
39、b的补元的补元c,d;c的补元的补元b;d 的补元的补元b.第46页，本讲稿共49页设设是有界格是有界格,若若L中所有元素都有补元存在中所有元素都有补元存在,则称则称L为为有补格有补格。可以证明，对分配格可以证明，对分配格L来说，如果来说，如果aL有补元，则一定有唯有补元，则一定有唯一的补元，记为一的补元，记为a 。定义定义6.14如果格如果格是有补分配格是有补分配格,则称则称L为为布尔格布尔格，也叫作也叫作布尔代数。布尔代数。在布尔代数中，如果一个元素存在补元在布尔代数中，如果一个元素存在补元,则是唯一的。可则是唯一的。可以把求补元的运算看作是布尔代数中的一元运算。通常以把求补元的运算看作是
40、布尔代数中的一元运算。通常将布尔代数标记为将布尔代数标记为,其中其中 为求补运算。为求补运算。实例幂集格实例幂集格P(B)是布尔代数。是布尔代数。第47页，本讲稿共49页.定理定理6.8设设是布尔代数，则有是布尔代数，则有(1)aL,(a)=a(2)a,bL,(ab)=a b,(ab)=a b 证明证明:(1)(a)与与a 都是都是a 的补元的补元.由补元的惟一性得由补元的惟一性得(a)=a.(2)对任意对任意a,bL有有(ab)(a b)=(aa b)(ba b)=(1b)(a 1)=11=1(ab)(a b)=(aba)(abb)=(0b)(a0)=00=0所以所以a b 是是ab的补元的
41、补元,由补元唯一性有由补元唯一性有(ab)=a b.同理可证同理可证(ab)=a b.德摩根律可以推广到有限个元素，即德摩根律可以推广到有限个元素，即第48页，本讲稿共49页定理定理6.9（有限布尔代数的表示定理）（有限布尔代数的表示定理）若若L是有限布尔代数，则是有限布尔代数，则L含有含有2n个元（个元（nN），并且），并且L与与同构，其中同构，其中S是一个是一个n元集合。元集合。有关布尔代数同构的一个重要结果涉及到有限布尔代数有关布尔代数同构的一个重要结果涉及到有限布尔代数的结构的结构.可以证明任何有限布尔代数都与某个幂集格同可以证明任何有限布尔代数都与某个幂集格同构构.因此，任何有限布尔代数的元素个数都是因此，任何有限布尔代数的元素个数都是2n,其中其中n是某个是某个自然数自然数.下图给出了下图给出了1元元,2元元,4元元和和8元的布尔代数。元的布尔代数。第49页，本讲稿共49页