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1、函数逼近与快速傅里叶变换函数逼近与快速傅里叶变换1第1页，本讲稿共14页本节内容本节内容n 有理函数逼近有理函数逼近l 有理逼近与连分式有理逼近与连分式l Pade 逼近逼近n 三角函数逼近三角函数逼近l 最佳平方逼近最佳平方逼近l 最小二乘最小二乘l FFT（快速（快速 Fourier 变换）变换）2第2页，本讲稿共14页有理逼近有理逼近用有理函数来做函数逼近用有理函数来做函数逼近 有理逼近有理逼近若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近可能若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近可能会取得较好的逼近效果会取得较好的逼近效果3第3页，本讲稿共14页举例举例例：例：Taylor 展开展开连分式
2、连分式ex35.m4第4页，本讲稿共14页Pade 逼近逼近设设 f(x)的的Taylor 展开为展开为部分和记为部分和记为Pade 逼近逼近设设 f(x)CN+1(-a,a),N=m+n,若有理函数若有理函数其中其中 Pn(x)与与 Qm(x)无公因式，且满足无公因式，且满足则称则称 Rnm(x)为为 f(x)在在 x=0 处的处的(n,m)阶阶 Pade 逼近逼近k=0,1,N5第5页，本讲稿共14页三角多项式逼近三角多项式逼近l 在在 0,2 上带权上带权 (x)=1 的正交三角函数族：的正交三角函数族：1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，三角函数逼近主要用于周期函数
3、的数值逼近三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近三角多项式逼近三角多项式逼近l 设设 f(x)是以是以 2 为周期的平方可积函数，则可利为周期的平方可积函数，则可利用上面的三角函数族对其进行数值逼近。用上面的三角函数族对其进行数值逼近。6第6页，本讲稿共14页最佳平方三角逼近最佳平方三角逼近l f(x)以以 2 为周期且平方可积，则其在为周期且平方可积，则其在 0,2 上的最上的最佳平方三角逼近为佳平方三角逼近为q 最佳平方三角逼近最佳平方三角逼近(k=0,1,n-1)(k=1,2,n-1)其中其中当当 n 趋于无穷大时，趋于无穷大时，Sn(x)即为即为 f(x)的的 Fourier 展开展开
4、7第7页，本讲稿共14页三角多项式逼近三角多项式逼近结论结论若若 f(x)在在 0,2 上分段连续，则上分段连续，则8第8页，本讲稿共14页最小二乘最小二乘若只给出离散数据若只给出离散数据(xj,yj)，其中其中则可类似地得到则可类似地得到 f(x)离散离散 Fourier 逼近逼近(假定假定 N=2m+1)(k=0,1,n-1)(k=1,2,n-1)其中其中n m9第9页，本讲稿共14页三角插值三角插值三角插值三角插值当当 n=m 时可以证明时可以证明故故 Sn(x)为为 f(x)在在点集点集 x0,x1,xm 上上的三角插值的三角插值(j=0,1,2m)10第10页，本讲稿共14页DFTl
5、 考虑在考虑在 0,2 上带权上带权 (x)=1 的正交三角函数族：的正交三角函数族：这里的这里的 i 是虚部单位是虚部单位则则 在在 处的函数值为处的函数值为离散正交离散正交11第11页，本讲稿共14页DFT则则 f(x)的最小二乘的最小二乘 Fourier 逼近为逼近为(n m)(k=0,1,n-1)其中其中l 设设 f(x)以以 2 为周期的为周期的复函数复函数，给定函数值，给定函数值 (xj,yj)，其中，其中离散离散 Fourier 变换变换l 当当 n=N 时，时，Sn(x)即为即为 f(x)在在 x0,x1,xn-1 上的插值函数上的插值函数(j=0,1,N-1)离散离散 Fourier 逆变换逆变换12第12页，本讲稿共14页DFT令令构造矩阵构造矩阵性质性质(1)性质性质(2)13第13页，本讲稿共14页DFT/FFTDFT 与与 IDFTc=fft(y)/Ny=ifft(c)*Nex36.m14第14页，本讲稿共14页