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1、第三章量子力学中的力学量下第1页，本讲稿共28页第第4(4(5 5)节节 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性根据前面根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如动量算符本征函数动量算符本征函数角动量算符本征函数角动量算符本征函数一维线性谐振子一维线性谐振子氢原子氢原子波函数波函数波函数波函数波函数波函数波函数波函数波函数波函数一维无限深势阱一维无限深势阱第2页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系前面提到，前面提到，当系统处于力学量算符
2、当系统处于力学量算符(厄米算符厄米算符)的本征态时，力学量的本征态时，力学量有确定值，这个值就是力学量算符在该本征态中的本征值。有确定值，这个值就是力学量算符在该本征态中的本征值。例如处例如处于哈密顿算符本征态时的能量，动量算符本征态时的动量，角动量于哈密顿算符本征态时的能量，动量算符本征态时的动量，角动量算符本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念：算符本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念：完全系（完全性完全系（完全性、完备集、完备集）则称该函数集构成则称该函数集构成完全系完全系或或完备集完备集，满足满足展开系数展开系数称为称为几率幅几率幅。注意展开系数满足注意展
3、开系数满足若厄米算符的正交归一本征函数集若厄米算符的正交归一本征函数集第3页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系测量测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。量子力学基本假定量子力学基本假定：力学量：力学量F对应厄米算符对应厄米算符,算符算符 的本征函数构成的本征函数构成量量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 的几率的几率是是 。展开系数展开系数称为几率幅。称为几率幅。如果测量如果测量F的结果为的结果为 ，波函数塌缩为波函数塌缩为 。完全系。当系统由完全
4、系。当系统由归一化归一化波函数波函数描述时，测量力学描述时，测量力学平均值公式平均值公式未归一化波函数未归一化波函数平均值公式平均值公式归一化波函数归一化波函数（分立谱）（分立谱）（连续谱）（连续谱）按照几率求平均值的法则，可以求得力学量按照几率求平均值的法则，可以求得力学量F在在 态中的平均值。态中的平均值。第4页，本讲稿共28页例题例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。氢原子处于基态，求电子动量的几率分布。几率密度几率密度几率分布几率分布电子动量在电子动量在 范围的几率范围的几率氢原子基态氢原子基态动量的本征态动量的本征态例题例题(定理定理)任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。任何
5、状态下，厄密算符的平均值都是实数。例题例题 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。第5页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题(p101 3.6题题)设设t=0时，粒子处于状态时，粒子处于状态求此时粒子的平均动量和平均动能求此时粒子的平均动量和平均动能(1)按动能算符的本征函数展开按动能算符的本征函数展开(2)按动量算符的本征函数展开按动量算符的本征函数展开平均动能平均动能平均动量平均动量平均动能平均动能按按(1)：按按(2)：第6页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的
6、关系算符与力学量的关系例题例题(p101 3.7题题)一维运动粒子的状态是一维运动粒子的状态是1)归一化常数归一化常数A=?2)若粒子的能量为若粒子的能量为E,求系统的势能。求系统的势能。3)动量的几率分布函数动量的几率分布函数4)平均动量平均动量动量的几率分布函数动量的几率分布函数平均动量平均动量实际上，平均动量一看就知道为零。实际上，平均动量一看就知道为零。积分是实数！积分是实数！1)2)3)4)第7页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系平均能量平均能量实际上，平均能量可以非常方便地计算出实际上，平均能量可以非常方便地计算出例题例题(p101 3.
7、8题题)一维无限深势阱（阱宽为一维无限深势阱（阱宽为a）中运动，若粒子的状态波函数是）中运动，若粒子的状态波函数是求粒子能量的几率分布和能量平均值。求粒子能量的几率分布和能量平均值。能量本征函数和能量本征值是能量本征函数和能量本征值是能量的几率分布能量的几率分布(阱内阱内)第8页，本讲稿共28页例题例题 一维无限深势阱（一维无限深势阱（）中的粒子处于状态中的粒子处于状态求求(1)(1)粒子处于粒子处于 内的概率内的概率;(2)求此时测粒子能量得到的可能值、相应求此时测粒子能量得到的可能值、相应的概率及能量的平均值。的概率及能量的平均值。解：解：(1)(1)首先对波函数归一化得首先对波函数归一化
8、得所以此系所以此系统统得得归归一化波函数一化波函数为为：是定态波函数是定态波函数所以，所以，粒子处在粒子处在 的概率的概率 ：其中其中 因因为为：(2)(2)能量的平均能量的平均值为值为：概率概率为为：概率概率为为：能量的可能能量的可能值为值为：第9页，本讲稿共28页例题例题 设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为 (0 xa)，求在此任意态下，粒子能量的可能测量值和相应的几率。求在此任意态下，粒子能量的可能测量值和相应的几率。可以把可以把 分解如下分解如下 解：解：一个算符一个算符F在态在态 中可能的测量值，即为将中可能的测量值，即为将 用用F的本征态展开时
9、，各本的本征态展开时，各本征态相应的本征值。相应的概率即为展开式中本征态前面的系数的模的平方。征态相应的本征值。相应的概率即为展开式中本征态前面的系数的模的平方。第10页，本讲稿共28页其中，其中，为无限深势阱中粒子能量的本征函数。因此，为无限深势阱中粒子能量的本征函数。因此，是是 和和 两态的叠加，能量的可能测量值为两态的叠加，能量的可能测量值为或或测量值为测量值为 和和 的几率各为的几率各为 。第11页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题(p102 3.9题题)若氢原子处于状态若氢原子处于状态求原子能量、角动量平方及角动量求原子能量、角动量
10、平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量的平均值分量的可能值，相应几率和这些量的平均值是能量、角动量平方及角动量是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数分量算符的共同本征函数氢原子定态波函数氢原子定态波函数角动量角动量z z分量分量角动量平方角动量平方能量能量可能值可能值几率几率平均值平均值第12页，本讲稿共28页例题例题 设氢原子处于设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值概率，分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。进而求出它们的平均值。其中量子数的取值范围是其中量子数的取值范围是利用归
11、一化条件求出归一化常数为利用归一化条件求出归一化常数为氢原子的能量只与主量子数氢原子的能量只与主量子数n有关，依题意可知，有关，依题意可知，n的可能取值有两个，即的可能取值有两个，即n=2，3，于是，于是解解 选选 为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为第13页，本讲稿共28页角动量量子数角动量量子数 的可能取值只有一个，即的可能取值只有一个，即 故有故有角动量磁量子数角动量磁量子数 的可能取值有两个，即的可能取值有两个，即 于是于是第14页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系2个有用的定理个有用的定理H-
12、F定理定理 系统处于束缚定态，则系统处于束缚定态，则维里定理维里定理 系统处于束缚定态，若势能是系统处于束缚定态，若势能是次齐次函数次齐次函数则则由前面的定理由前面的定理第15页，本讲稿共28页第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系由维里定理得由维里定理得 例题例题 一维谐振子处于能量本征态一维谐振子处于能量本征态1)求势能的平均值。求势能的平均值。2)求动能的平均值。求动能的平均值。3)求动量几率分布。求动量几率分布。例题例题 p100的的3.2题题 氢原子处于基态氢原子处于基态1)求求r的平均值。的平均值。2)求势能的平均值。求势能的平均值。3）最可几半径）最可几半
13、径(前面已讲，略前面已讲，略)。4)求动能的平均值。求动能的平均值。5)求动量几率分布求动量几率分布(前面已讲，略前面已讲，略)。动量几率分布动量几率分布 。该题当该题当n=0时就是时就是p100的的3.1题题由维里定理得由维里定理得 其中其中第16页，本讲稿共28页第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系两个算符乘积一般与次序有关两个算符乘积一般与次序有关 定义定义对易式对易式 坐标算符与动量算符的对易式坐标算符与动量算符的对易式 基本对易关系基本对易关系 同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系。同理
14、得到坐标算符与动量算符的其它对易关系。其它其它(有经典对应的有经典对应的)物理量的对易关系可从基本对易关系导出。物理量的对易关系可从基本对易关系导出。例如角动量算符的对易式例如角动量算符的对易式 对易式的公式对易式的公式作业作业第17页，本讲稿共28页对易：对易：一一、两力学量算符对易两力学量算符对易不对易：不对易：定理定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系证明：必要条件证明：必要条件证明：充分条件证明：充分条
15、件若若则则则则若若且且和和（i）如果如果非简并，则非简并，则（ii）如果如果 度简并，则度简并，则维子空间维子空间一定存在一定存在 个正交归一函数个正交归一函数满足满足注意注意证毕！证毕！用用取代取代第18页，本讲稿共28页第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系定理定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态则这两个力学量同时有确定值。则这两个力学量同时有确定
16、值。二二、两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件例如，例如，也就是说，也就是说，即使两个算符不对易即使两个算符不对易,也不排除它们存在个别的共同本征函数也不排除它们存在个别的共同本征函数,在这样的函数描述的状在这样的函数描述的状态下态下,两个力学量同时有确定值。氢原子的基态就属于这种情况。两个力学量同时有确定值。氢原子的基态就属于这种情况。注意注意：即使两个算符对易即使两个算符对易,但若体系所处的状态不是它们的共同本征函数，则它们都没有确定值。但若体系所处的状态不是它们的共同本征函数，则它们都没有确定值。推广：推广：(两个以上的算符两个以上的算符)一组一组力学量同时具有确定值的充
17、分必要条件是在这些力学量算力学量同时具有确定值的充分必要条件是在这些力学量算符的共同本征态中。符的共同本征态中。两个力学量不对易两个力学量不对易 没有共同没有共同构成完全系构成完全系的本征函数集。但它们可能有共同的本征函数集。但它们可能有共同本征函数！本征函数！第19页，本讲稿共28页例例 1 1：例例 2：定理：定理：一组力学量算符一组力学量算符具有完备的共同本征函数系的具有完备的共同本征函数系的充充要条件要条件是这组算符两两对易。是这组算符两两对易。第20页，本讲稿共28页力学量完全集合力学量完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组
18、两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：例例 2：氢原子，完全确定其状态也需要三氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：个两两对易的力学量：例例 3：一维谐振子，只需要一个力学量就一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：可完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集合所确定的本征函数系，构
19、成该体系态空）由力学量完全集合所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系第21页，本讲稿共28页第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系三三、测不准关系（不确定关系）测不准关系（不确定关系）不对易情况不对易情况若若2个厄米算符个厄米算符F,G满足对易关系满足对易关系定义定义2个新
20、厄米算符个新厄米算符定理定理 两个力学量算符满足对易关系两个力学量算符满足对易关系厄米算符厄米算符 ：是实数。是实数。引入非负积分引入非负积分证明：证明：则它们满足则它们满足测不准关系测不准关系或或几个新物理量的定义：几个新物理量的定义：第22页，本讲稿共28页第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系定理定理 两个力学量算符满足对易关系两个力学量算符满足对易关系则它们满足则它们满足测不准关系测不准关系习题习题：证明证明力学量算符力学量算符 满足满足是该算符的本征态。是该算符的本征态。是厄米算符！是厄米算符
21、！Heisenburg(也称为基本也称为基本)测不准关系：测不准关系：位置与（相应的）动量不能够同时准确决定位置与（相应的）动量不能够同时准确决定动能与势能不能同时准确决定动能与势能不能同时准确决定总能量总能量=动能动能+势能势能 不再成立。不再成立。应该是应该是这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问。这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问。例题：例题：或或第23页，本讲稿共28页第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称例题：例题：H
22、eisenburg测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在。测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在。所以所以Heisenburg测不准关系测不准关系第24页，本讲稿共28页第第7(7(8 8)节节 力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化 守恒定律守恒定律力学量平均值力学量平均值其中归一化波函数满足其中归一化波函数满足(含时含时)薛定谔方程薛定谔方程则则如果力学量算符不显含时间，如果力学量算符不显含时间，若力学量算符不显含时间若力学量算符不显含时间守恒量守恒量又满足又满足则则第25页，本讲稿共28页第第7(7(8 8)节节 力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化 守恒定律守
23、恒定律(3)(3)转动不变转动不变 角动量守恒角动量守恒(1)(1)时间平移不变时间平移不变 能量守恒能量守恒(2)(2)空间平移不变空间平移不变 动量守恒动量守恒(4)(4)空间反演不变空间反演不变 宇称守恒宇称守恒时间平移不变时间平移不变空间平移不变空间平移不变系统转动不变系统转动不变是守恒量是守恒量是守恒量是守恒量第26页，本讲稿共28页第第3 3节节 氢原子氢原子习题习题习题习题 书中第三章书中第三章3.13.9 题前面都已讲过！题前面都已讲过！习题习题 3.10题题球形腔中的运动，势能为球形腔中的运动，势能为 求能级与能量本征函数。求能级与能量本征函数。定态薛定谔方程变为定态薛定谔方程变为球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔函数球贝塞尔函数球贝塞尔函数与贝塞尔函数的联系球贝塞尔函数与贝塞尔函数的联系定态能量满足方程定态能量满足方程记记表示贝塞尔函数的第表示贝塞尔函数的第n个零点，即个零点，即则定态能量为则定态能量为定态波函数定态波函数第27页，本讲稿共28页第第3 3节节 氢原子氢原子习题习题球坐标结果球坐标结果柱坐标结果柱坐标结果1）定轴转动）定轴转动2）定点转动）定点转动习题习题 书中第三章书中第三章3.11题（不明确，有问题）题（不明确，有问题）习题习题 书中第三章书中第三章3.12题态题态再由再由习题习题 在在 态中，求态中，求第28页，本讲稿共28页