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1、第一章 曲线论1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。略2. 求证常向量的微商等于零向量。证：设，为常向量，因为所以 。 证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数 ，和在区间上可导。所以，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，介于与之间。从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。 证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中
2、为某个数量函数，为单位常向量，于是。充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，即具有固定方向。 证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得 和 ，从而，和共面，因此 。充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由 可知，和共面，于是 ，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方
3、向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。 证毕2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。解：，点对应于参数，于是当时，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。解：，当时，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。解：5. 求抛物线对应于的一段的弧长。解：6. 求星形线，的全弧长。解：7. 求旋轮线，对应于一段的弧长。解：8. 求圆柱螺线从它与平面的交点到任意点的弧长。解：
4、圆柱螺线与平面的交点为，交点对应的参数为，而， 9. 求曲线，在平面与平面之间的弧长。解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：平面对应于参数，平面对应于参数，10. 将圆柱螺线化为自然参数表示。解：，因为自然参数11. 求极坐标方程给定的曲线的弧长表达式。解：极坐标方程给定的曲线的方程可化为向量参数形式：3 空间曲线1. 求圆柱螺线在任意点的密切平面的方程。解：密切平面的方程为即 2. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。解：原点对应于参数 ,于是在处，密切平面的方程为副法线的方程为法平面的方程为：切线的方程为从切平面的方程为主法线的方程为3. 证明圆柱螺线的
5、主法线和轴垂直相交。证：一方面，主法线的方程为另一方面，过圆柱螺线上任意一点作平面与轴垂直，的方程为，与轴的交点为，过与的直线显然与轴垂直相交，而其方程为这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。 证毕4在曲线的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解：令，则曲线的方程可表示为：设的副法线向量为，则有根据题意，新曲线的方程可表示为将代入上式，整理后，得于是新曲线的密切平面为：即：5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。证：设曲线为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，。则有上式两边关于求导，得设为法平面上的点的向
6、径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为根据(2)式 满足方程(3)，故法平面过原点。 证毕6. 证明过原点平行于圆柱螺线的副法线的直线的轨迹是锥面。证：设过原点且与平行的直线上的点为,则直线的方程为化为参数方程，得则有这说明直线上的点都在锥面上。 证毕7. 求下列曲线的曲率和挠率。 ， 解: 对于曲线(1)对于曲线(2)8. 给定曲线，求（1）基本单位向量，；（2）曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。解: 对于给定曲线，有其中，根据(5)(6)(8)式可得，根据(6)(9)(10)式，可得，又根据(6)式，得另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得从而，。9. 证明：如果曲线
7、的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。证1：设曲线(C)的向量参数方程为： ，其中为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，。因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q（Q点的向径设为），所以与共线，进而有(1) 上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2) (2)式中的为(C)在P点处的曲率。又(2)式中，这是因为如果，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。从而根据(2)式有，即(C)是直线。 证毕证2：设曲线的方程为，因为曲线上任一点的切线经过一定点，则与共线，但，于是与共线，从而=0,由此可知具有固定的方向，即与一个常向量平行，于是=,或，
8、这说明曲线上的点都在以为方向向量，过点的直线上，所以曲线为直线。 证毕10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。证：设曲线(C)的向量参数方程为： ，其中为自然参数。曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，。因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即 ，而即(C)上任何点的曲率。设(C)在P点处的密切平面都经过一个定点Q （Q点的向径设为），则为(C)在P点处的密切平面上的一个向量，从而有(1) (1) 式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2) (2)式中的为(C)在P点处的挠率。由(2)式可知， 或者但，因为如果 结合(
9、1)式,可知与共线，于是 (3) (3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(4) (4)式中的为(C)在P点处的曲率。因为，所以 ，结合(3)知同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。这个矛盾说明，于是由(2)式可知，只能，曲线(C) 是平面曲线。 证毕11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量，则此曲线是平面曲线。证1： 设曲线(C)的向量参数方程为： ，其中为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则有(1) 注意到 ，(1)式两端关于从到求积分，得：(2) （2）式说明曲线(C)在以常向量为法向量
10、且过点的平面上。 证毕证2：设曲线(C)的向量参数方程为： ，其中为自然参数。(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，。因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），即 ，而即(C)上任何点的曲率。因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则(1) 上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2) 因为，所以(3) ，结合(1)式可知与共线，从而(4) (4)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(5) (5)式中，否则，根据(3)式， 和 将同时成立，即既与平行，又与垂直，这是矛盾。于是只能是，所以曲线(C) 是平面曲线。 证毕 12. 证明曲率为常数的空间曲线的
11、曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。证：设曲率为常数的空间曲线(C)的向量参数方程为： ，其中为自然参数。(C)上任意一点P处的基本向量为，曲率半径为，又设(C)的曲率中心的轨迹为，的曲率记为，根据题意，的方程为(1)式两边关于求导，得(4)式说明的曲率也是常数且。 证毕13. 证明曲线(C)：为平面曲线，并求出它所在平面的方程。解：由上式可知，(C)为平面曲线。令，则有(C)所在平面的方程为。14. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行， 证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。证：设曲线的方程为，其中为的自然参数，曲线的方程为，其中为曲线的自然参数。因
12、为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，和为曲线在点处的基本向量，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。如果两条曲线总保持在对应点与处的切线平行，则有，其中(2)式两边关于求导，得从而，(4)式说明和在对应点与处的主法线平行。又因为，由(2)式和(4)式，得(5) 式说明和在对应点与处的副法线平行。 证毕15. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线总是相互平行，证
13、明它们在对应点的切线成固定角。证：设曲线的方程为，其中为的自然参数，曲线的方程为，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，和为曲线在点处的基本向量，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，如果两条曲线总保持在对应点与处的主法线平行，则有，其中根据(2)式，可得设与之间的夹角为，则根据(3)式，(4)式说明和在对应点与处的切线成固定角。 证毕16. 如果曲线的主法线是曲线
14、的副法线，的曲率和挠率分别为和，求证其中是常数。证：设曲线的方程为，其中为的自然参数，曲线的方程为，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，和为曲线在点处的基本向量，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。如果曲线的主法线是曲线的副法线，依题意，有下面两式成立：，其中。(3)式两边关于求导，得整理(4)式，可得利用(2)式，在(5)式两边与作内积，得(6)式中由于故，从
15、而为常数，(5)式化为(7)式两边关于求导，得因为，上式两边同时与作内积，得根据(7)式，(9)式等价于即从而，。 证毕17. 曲线在哪些点的曲率半径最大？解：解: 对于给定曲线，有其中，根据(7)式，当 ，时，最大。18. 已知曲线(C)：上一点的邻近一点，求点到点的密切平面、法平面的距离（设(C)在点的曲率和挠率分别为和。）解：设曲线(C)在点的基本向量分别为，和，则点 到点的密切平面和法平面的距离分别为其中，因为 ，将它们代入(1)式和(2)式中，得19. 如果曲线： 为一般螺线，其中为的自然参数。， 为上任意一点P处的基本向量，为在P处曲率半径，证明：曲线：也是一般螺线。证：曲线的方程
16、两边关于求导，得根据(1)式和(3)式，得其中因为曲线： 为一般螺线，故存在一个常向量 使得 从而，(8)式说明曲线也是一般螺线。 证毕20. 证明：一条曲线(C)： 为一般螺线的充要条件是。证：充分性：如果，则曲线()： 的挠率为零，()为平面曲线，于是存在一个常向量，使得，但，故，因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书P.31的脚注），从而，于是，即(C) 为一般螺线。必要性： 如果(C)为一般螺线，存在一个常向量 使得，但,从而，继续关于求导，可得： ， ，于是共面，由此，。 证毕21. 证明：一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。证：因为我们只研究不含逗留点的曲线，故所
17、讨论的两条曲线的曲率均不为0，设曲线的方程为，其中为的自然参数，曲线的方程为，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而有设，和为曲线在点处的基本向量，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。采用反正法来证明结论。如果曲线在点的切线总是曲线的在对应点处的切线，则点与都在这条切线上，从而有上式两边关于求导，得因为与共有同一条切线，于是，其中，(2)式两边同时与作内积，得，但，所
18、以，根据(1)式有，即和重合，这是矛盾。所以，一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。证毕22. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行， 证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行，而且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果是一般螺线，则也是一般螺线。证：设曲线的方程为，其中为的自然参数，曲线的方程为，其中为曲线的自然参数。因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，和为曲线在点处的基本向量，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。如果两条曲线总保持在对应点与处的切线平行，则有，其中(2)式两边关于求导，得从而，(4)式说明和在对应点与处的主法线平行。又因为，由(2)式和(4)式，得(5) 式说明和在对应点与处的副法线平行。由于，都是单位向量，且与平行，与平行，与平行，故有，其中，其中，其中(6)式和(8)式两边分别关于求导，得(9)式和(10)式两边取向量的模，得从而