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1、常微分方程课程作业4解答1. 解答：证：首先，方程的任意两个线性无关解的郎斯基行列式在区间I上恒不为零。可表如下 ，为区间I上任一点。由于， 在区间I上连续、恒不为零。故在区间I上恒不为零，即同号。此即 （与同号）在区间I上不变号。亦即在区间I上严格单调。2. 解答：证：设二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的郎斯基行列式分别为： a , b分别为这两个行列式在某一点的值。由于线性无关解组的行列式恒不为零。故a , b都不为零。两个行列式之比或为非零常数。3. 解答：方程可变为 通解为：以 代入得 = = = =4. 解答： 或 显然 当为常数时，（比如 =0就能如此）其基本解组的郎斯基行列
2、式为常数。5. 解答： （1） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为任意常数。（2） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中，为任意常数。（3） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中，为任意常数。6. 解答：（1） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为任意常数。以代入下两式， 得 所以 方程满足初始条件的解为 （2） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为任意常数。以代入下两式 得 所以 方程满足初始条件的解为 7. 解答：（1）齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程的通解为（2）齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程 的通解为（3）齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程的通解为8. 解答：由 f=k x 以 f=9.8 , x=1 得 k=9.8又 得 即特征方程为 特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 ， 则有 所求周期为 9. 解答： 由 得 即 的特征方程为 特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 代入 得 故 的通解为以 t=0 , x=0 , x/=0 代入下两式 ， 所以质点的运动规律为：