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1、5.1 平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ）A.ab B. ab C.0,1,3 D.a+b=ab答案 B2对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析若ab0，则ab.ab；若ab，则ab，ab0不一定成立答案A3设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0解析如图，根据向量加法的几何意义，2P是AC的中点，0.答案B4已知向量a(x,2)，b(3，1)，若(ab)(a2b)，则实数x的值为()A3 B2 C4 D6解析
2、 因为(ab)(a2b)，ab(x3,1)，a2b(x6,4)，4(x3)(x6)0，x6.答案 D 5在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对解析由已知8a2b2(4ab)2.，又与不平行，四边形ABCD是梯形答案C6已知ABC和点M满足0，若存在实数m，使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5解析0，点M是ABC的重心，3，m3.答案B7.已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B60C90 D120解析：由0得，由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且
3、CAO60.答案：A二、填空题8.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若320，则_.解析：由320，得2()，即2，于是2.答案：29给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上其中不正确的个数为_解析中，向量与为相反向量，它们的长度相等，此命题正确中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，该命题正确由共线
4、向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，该命题错误共线向量是方向相同或相反的向量，若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，该命题错误答案310.已知向量夹角为 ，且；则.解析 答案 11若M为ABC内一点，且满足，则ABM与ABC的面积之比为_解析 由题知B、M、C三点共线，设，则：()，(1)，.答案 12若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析(等价转化法)2，|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形答案直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将ABC的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得
5、出结论.三、解答题13如图所示，ABC中，DEBC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设a，b，用a，b分别表示向量，. 解析b，ba，(ba)，(ba)，(ab)，(ab)14设a，b是两个不共线的非零向量，若a与b起点相同，tR，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一条直线上？解析设atb(R)，化简整理得ab0，a与b不共线，由平面向量基本定理有故t时，a，tb，(ab)的终点在一条直线上15如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量、；(2)求证：B、E、F三点共线解析：(1)延长AD到G，使，连结BG、CG，得到ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，所以B、E、F三点共线16已知O，A，B三点不共线，且mn，(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)m，nR，且mn1，mnm(1m)，即m()m，而0，且mR.故与共线，又，有公共点B.A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数，使，()即(1).由mn.故mn(1).又O，A，B不共线，不共线由平面向量基本定理得mn1.