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1、信号与信息处理基础习题及题解习题及题解信息与通信工程系2009 年 3 月目录目录第 1 章 绪论.1第 2 章 连续时间信号的时域分析.2第 3 章 连续时间信号的频域分析.错误！未定义书签。错误！未定义书签。第 4 章 连续时间信号的复频域分析.错误！未定义书签。错误！未定义书签。第 5 章 离散时间信号的时域分析.错误！未定义书签。错误！未定义书签。第 6 章 离散时间信号的时域分析.错误！未定义书签。错误！未定义书签。第 7 章 离散时间信号的复频域分析.错误！未定义书签。错误！未定义书签。第 8 章 信息论与编码.错误！未定义书签。错误！未定义书签。第第 1 章章 绪论绪论1-1 结
2、合具体实例，分析信息、消息和信号的联系和区别。具体实例略。信息、消息和信号三者既有区别又有联系，具体体现在：信息的基本特点在于其不确定性，而通信的主要任务就是消除不确定性。受信者在接收到信息之前，不知道发送的内容是什么，是未知的、不确定性事件。受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性。消息是信息的载体。可以由消息得到信息，以映射的方式将消息与信息联系起来，如果不能建立映射关系就不能从消息中得到信息。例如，一个不懂得中文的人看到一篇中文文章，就不能从中获取信息。信号是消息的具体物理体现，将消息转换为信号才能够在信道（传输信号的物理媒质，如空气、双绞线、同轴电缆、光缆等）中传输。1-2 说明连
3、续时间信号、模拟信号、离散时间信号和数字信号之间的联系和区别。按照时间函数取值的连续性与离散性可将信号划分为连续时间信号与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。连续时间信号离散时间信号幅值连续幅值离散模拟信号幅值连续幅值离散数字信号抽样第第 2 章章 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析2-2 试写出题 2.2 图示各波形的表达式。题 2.2 图解：左图：31312tututtututf 33112tuttuttu中图：321tututututf中图：221tutututf2-5 试画出如下复合信号的波形图。12tutf；ttf sinsgn；92ttfsgn；ttfsgnsin；tt
4、fsin解：2-7 已知信号 2tututtf，试画出 tf、tfdtd的波形图，并写出 tfdtd的表达式。解：22222ttututtttututf2-9 已知信号 tf的波形如题 2.9 图所示，试画出3tf、121tf、tfdtd、tdf的波形。题 2.9 图解：3311231312tuttuttutututtututft tfo132t tfo13122t tfo13122t tfo132t tfo112t tfo1111323t tfo1133t tfo1111332t tfo111323 1 1 1 1 1 1 1t tfo22 2t tfo213 ,00313102 ttttt
5、0 ,30032232 33 ,030331331302 3tttttttttttf4 ,2004221202 3121 ,01210312113121112102 121tttttttttttf 33112tuttuttudtdtf 3123331112tututtttutttut ttduuudf33112 ttttudtudtud31033112 32932112121222tutttuttttu 343121321122tutututttutut2-14 利用冲激信号的取样性求下列积分值。21dtttcos；221dtttcos；dtttet0 2232dtttt解：1222cos12
6、cos1 dttdttdttt 0222cos1cos1cos1dtttdtttdttt 20cos1cos1dtttdttt02cos211cos231dttdtt20cos231cos211dttdtt4t3tfo322t1tfo1221t1tfo221t121tfo2242t tfo13 21t tdfo1324123 200 tttttttedtdedttedttedttte02320 2dtttt2-17 已知 tf1、tf2、tf3的波形如题 2.17 图所示，试计算如下卷积积分：题 2.17 图 tftfty211；tftfty312；tftftfty2213；tftftfty3
7、314；tftftfty3215解：111tututf,2122ttttf 212111211tftftftftfty 312112tutututututu 32112tututututu 113tttf 221111312tututututftftftfty22tutu 212212*22tttttttftf 43225144ttttt 4322514412213ttttttftftftfty 4322514411111tftftftftf 31524114tutututututu53422tutututu 41412243245u tu tu tu tu tu tu t 222111133
8、ttttttttftf 22213314ttttftftftfty 222111tftftf3111213tutututututu3113tutututu 11212*32ttttttftf 321312ttttt 32131213215ttttttftftftfty 32131211111tftftftftf 231122tutututututu4231tutututu 4322122tutututututu tf2to12 1 1 2t tf1o111 tf3to1 1 11第三章第三章3.1 周期信号的频谱有什么特点？答答：有三个特点：第一，离散性：周期信号的频谱是离散频谱（二根谱线间的
9、距离是T20（角频率）或T1（频率），可见与信号周期成反比）；第二，谐波性：在0n处，对应着不同振幅的不同谐波（其频谱的各次谐波的振幅TAFn与信号的幅度 A、信号的持续时间成正比，而与信号的周期 T 成反比）；第三，收敛性：随着频率0n的增加，周期信号频谱的总的趋势是下降的（从而可以定义出信号的有效频带宽度，其与信号的持续时间成反比）。3.2 周期信号的周期 T、持续时间及幅度 A 对该信号的频谱都有什么影响？答：答：周期 T 的变化会改变谱线间的距离（反比）、谐波的幅度（反比），持续时间的变化会改变谐波的幅度（正比）、信号的有效频带宽度（反比），幅度 A 的变化会改变谐波的幅度（正比）。3
10、.4 傅里叶变换的时频展缩特性对信号处理有什么重要意义？答答：该特性对信号传输速率的提高具有非常重要的指导意义：要在相同的时间内传输更多的信号，或快速传输某信号，那么该信号的频带宽度就会加宽，相应的就会对系统提出更高的要求（增加投资）。3.6 傅里叶变换的时域微分特性在通信领域有何实际应用？答：答：典型的就是可以作为调频信号解调器一部分：将频率的变化改变为幅度的变化。3.7 请叙述时域抽样定理，并说明实际抽样与理想抽样区别，如何减少实际抽样带来的信号失真，时域抽样定理有何实际应用？答答：设一个频带有限为m（或mf）信号 tf，如果对其以频率ms2（或msff2，称为 Nyquist 频率，奈奎
11、斯特频率，简称奈氏频率）或以间隔mmssffT211（称为Nyquist 间隔，奈奎斯特间隔，简称奈氏间隔）进行周期性抽样，那么得到抽样信号 tfs就包含原信号 tf的全部信息；令 tfs通过一个理想低通滤波器，其截止频率为c（mc，且msc），就能完满地恢复出原信号 tf，这就是著名的时域抽样定理，又称香农（Shannon，或称山农）定理。实际抽样与理想抽样区别主要在三个方面：第一，抽样脉冲不是周期冲激序列而是有一定宽度（即持续时间0）周期方波信号；第二，信号 tf的带宽不是有限的；第三，低通滤波器特性也不是理想的。要减少实际抽样带来的信号失真，也就必须从这三个方面入手：减小周期方波的持续时
12、间，考虑更宽一些信号带宽，使用性能更好的滤波器。时域抽样定理的实际应用主要体现在其第一部分，它告诉我们由模拟信号向数字信号转换最基本的要求，否则其转换是无实际意义的3.8 定义信号的有效频带宽度有什么实际意义？答答：因为系统的带宽要适应信号的带宽，系统的带宽如果小于信号的带宽，那么经这个系统处理的信号就会失真，如果系统的带宽比信号的带宽大的多，那么就会造成很大的浪费，所以只有确定了信号的带宽，才能既能够不失真的处理信号，又不至于投资浪费。3.9 若信号 tf的最高频率是 300Hz，求如下信号的最高频率，如果对其进行无失真的抽样，那么最小抽样频率是多少，对应的抽样间隔是多少？解：解：tf的带宽
13、300mfHztf 2，tftf2，tftf2；由傅里叶变换的时频展缩特性时频展缩特性可知：当 tf压缩为tf 2，则其频宽为6002mfHz，对其最小的抽样频率为12006002sfHz，抽样间隔为sTs8331200/1；由傅里叶变换线性特性线性特性可知：信号 tftf2的频谱应为 tf的频谱加上tf 2的频谱，显然 tftf2的频谱宽度与tf 2的频谱宽度一致，即6002mfHz，这样对其的最小的抽样频率也为1200sfHz，抽样间隔为sTs833；由傅里叶变换的时域卷特积性时域卷特积性可知：信号 tftf2的频谱应为 tf的频谱乘以tf 2的频谱，显然 tftf2的频谱宽度与 tf的
14、频 谱 宽 度 一 致，即300mfHz，所 以 对 tftf2最 小 的 抽 样 频 率 为6003002sfHz，抽样间隔为msTs67.1600/1。tf3，tftf3，tftf3；由傅里叶变换的乘积特性乘积特性或三角积化和差公式可知：tf3的频宽为9003mfHz，那么对其最小的抽样频率为18009002sfHz，抽样间隔为sTs5561800/1；由傅里叶变换线性特性线性特性可知：信号 tftf3的频谱应为 tf的频谱加上 tf3的频谱，显然 tftf3的频谱宽度与 tf3的频谱宽度一致，即9003mfHz，这样对其的最小的抽样频率也为1800sfHz，抽样间隔为sTs556；由傅里
15、叶变换的时域卷特积性时域卷特积性可知：信号 tftf3的频谱应为 tf的频谱乘以 tf3的频谱，显然 tftf3的频谱宽度与 tf的 频 谱 宽 度 一 致，即300mfHz，所 以 对 tftf3最 小 的 抽 样 频 率 为6003002sfHz，抽样间隔为msTs67.1600/1。tftf23，tftf23由傅里叶变换线性特性线性特性可知：信号 tftf23的频谱应为tf 2的频谱加上 tf3的频谱，显然 tftf23的频谱宽度与 tf3的频谱宽度一致，即9003mfHz，这样对其的最小的抽样频率为1800sfHz，抽样间隔为sTs556；由傅里叶变换的时域卷特积性时域卷特积性可知：信
16、号 tftf23的频谱应为tf 2的频谱乘以 tf3的频谱，显然 tftf23的频谱宽度与tf 2的频谱宽度一致，即6002mfHz，所以对 tftf23最小的抽样频率为1200sfHz，抽样间隔为sTs833。3.10 求题 3.10 图所示周期信号的傅里叶级数。题 3.10 图解：解：信号 2002 2002 1/sin/sin/sin/sintttttttttf的周期1Ts，角频率22101Trad/s，由于是偶函数，所以0nb 2222120202011221101111tdttdttfTdttfTaTTTcossin 2020011122011112442111dtnttdttntf
17、TdttntfTaTTTncossincoscos20202121121211221212tnntnndttntncoscossinsin24142112112nnn 12241142nntntfcos 信号 ttttf000 2sin的周期22Ts，角频率12202Trad/s 1212111002022222202222tdttdttfTdttfTaTTTcossin1n时，020022222022212122222dtttdttntfTdttntfTaTTTcossincoscos024122100tdttcossin 0220022222022212122222dttdttntfTdt
18、tntfTbTTTsinsinsin2122121212100ttdttsincos1n时，02002222202222122222dtnttdttntfTdttntfTaTTTncossincoscos00111111211121tnntnndttntncoscossinsin 5 30 4 212 1111111111212,coscosnnnnnnnnn 02002222202222122222dtnttdttntfTdttntfTbTTTnsinsinsinsin011111121112100tnntnndttntnsinsincoscos2 tf2to12t tf1o122 tf3t
19、o1 6422112211,cossinnntnttf 信号 tttttttf000 000 3sinsin的周期23Ts，角频率12303Trad/s 1212111000233223303333ttdtdttfTdttfTaTTTcossin1n时，002033322033313122333dtttdttntfTdttntfTaTTTcossincoscos024122100ttdtcossin 0202033322033313122333dttdttntfTdttntfTbTTTsinsinsin2122121212100ttdttsincos1n时，002033322033331223
20、33dtnttdttntfTdttntfTaTTTncossincoscos00111111211121tnntnndttntncoscossinsin 5 30 4 212 1111111111212,coscosnnnnnnnnn 00203332203323122333dtnttdttntfTdttntfTbTTTnsinsinsinsin011111121112100tnntnndttntnsinsincoscos 6422112211,cossinnntnttf3.11 求题 3.11 图所示信号的傅里叶变换。题 3.11 图解：解：信号 其它0101 1ttf 3212tttttf
21、 2123ttttf，则对应的傅里叶变换分别为t tf1o121 tf2to12 13 1 1 1 tf3to12 1 1 2 222101011111jjjjtjtjtjeejeejejdtedtetfjF22222222sinjjjjejeee dtettttdtetfjFtjtj32122jjjjjjeeeeee111232jjjjjjjjeeeeeeee222211cossin24224232223jjjjjjejeejeeej dtetttdtetfjFtjtj212222424121222222cosjjjjjjjeeeeeee3.12 以题 3.11 中 tf1的傅里叶变换为基础
22、，利用傅里叶变换的性质求题 3.12 图所示信号的傅里叶变换。题 3.12 图解：解：221121sinjjeejtf tftfa5021.，根据傅里叶变换的时频展缩特性ajFaatf1及线性特性可得：sin.jjjaeejejtf22121215012 111tftftfb，根据傅里叶变换的时移特性jbejFbtf及线性特性可得：22222211111jjjjjjjjjbeeeeeejeejejtf24242222sinjjeejjj或或 tftftfb11，根据傅里叶变换的时频展缩特性ajFaatf1及线性特性可得：2222222222jjjjbeeeetfsinsinsinto122to
23、1 tfa tfb tfc111to12213424224222sinsinjjeejjj tftftftftfc25050502501501111.，根据傅里叶变换的时移特性jbejFbtf、时频展缩特性ajFaatf1及线性特性可得：222250221sinsin.jjjeeetf，sin.2125050jetf2225021sin.jetf cossinsinsinsinsin212222222222jjjjceeeetf或或 350502111tftftftfc.，可得：2222327321sinsinjjjeeetf 224222722sinsinsinjjjceeetf232322
24、224jjjjeeeesinsin2324422cossinsinjjeesinsinsin22422jjee222sinsin je3.14 求题 3.14 图所示周期信号的傅里叶变换。解：解：如图 tftf1，tftftf 12 42321222tttttf43212jjjeeejFjjjeee11233112jjee23232222jjjjjeeeeejeejeeejjjjj2282323222coscossinsin242321822jjee由傅里叶变换的时域微分特性：tfjFjjFtf 2222412222coscos jejFjjFto12234 tftt tf1 tf2 2 2
25、2 23.15 一一个信号传输系统，输入信号 tf的频谱jF、理想高通滤波器的频谱jHh、理想低通滤波器的频谱jHl，均如题 3.15 图所示。试画出系统中 A、B、C各处的频谱图，以及输出 ty的频谱图jY。解：解：由傅里叶变换的频移特性：00Fetftj，可得：tjtjAetfetfttftf2002002121200cos2002120021FFjFA，得jFA图 由傅里叶变换的时域卷积特性：jFjFtftf2121，可得：tfjFjHjFthtfBBhAhA，得jFB图 同，可得：tjBtjBBCetfetfttftf2502502121250cos2502125021BBCFFjF，得jFB图 由傅里叶变换的时域卷积特性：jFjFtftf2121，可得：tyjYjHjFthtflClC，得jY图jF tfACB tyjY滤波器理想低通 滤波器理想高通 t200cost250coso50jF450o200jFB200ojY1001001o50jFA22002002o200jFC2001450450505050