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1、 无穷级数习题课资料一、 本章主要内容常数项级数的概念与基本性质，正项级数审敛法，交错级数与莱布尼兹审敛法，绝对收敛与条件收敛。幂级数的运算与性质（逐项求导、逐项积分、和函数的连续性），泰勒级数，函数展开为幂级数及幂级数求和函数，周期函数的傅立叶级数及其收敛定理。二、 本章重点用定义判别级数的收敛，正项级数的审敛法，莱布尼兹型级数的审敛法，幂级数的收敛域与收敛半径，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。三、 本章难点 用定义判别级数的收敛，级数审敛法，幂级数求和函数，函数的泰勒级数，傅立叶级数收敛定理。四、 例题选讲例1：判别级数的敛散性。（用定义） 解：原式=级数的部分和， 所
2、以原级数收敛，且收敛于。例2：利用柯西审敛原理证明级数收敛。证明：，对任意的，取，则当时，对所有，都有，故原级数收敛。例3：判别下列级数的敛散性（1） ， （2） ， （3）（4） ，（5），（）（6）解：（1）， 因为 ， 且收敛，所以级数收敛。（2）因为，且收敛，所以原级数收敛。（3）用根值法， ，所以原级数收敛。（4）， ，用比值法可知收敛，所以原级数收敛。（5）比值法：，当时，级数收敛，当时，级数收敛，当时，级数收敛。所以，当时，级数收敛。（6）因为广义积分，所以原级数收敛。例4：判断级数的敛散性。解：，又，知级数发散，即发散。因为，且时， ，而单减，所以单减，由莱布尼兹判别法知，原级
3、数条件收敛。例5：证明级数收敛。证：设，则原级数为，又，故在内单增，从而，且，由莱布尼兹判别法知，原级数收敛。例6：设数列为单调增加的有界正数列，证明级数收敛。证明：因为数列单增有上界，所以极限存在。设，考虑而级数存在，由比较审敛法知，原级数收敛。例7：求下列幂级数的收敛域（1） ， （2） ，（3）解：（1），所以收敛半径为，收敛区间。时，原级数为，发散；时，原级数为，收敛。所以收敛域为。（2）令，原级数为 因为，所以收敛半径。又时级数为发散，时级数为，由莱布尼兹准则可知其收敛，故收敛域为，再由，解得原级数的收敛域为。（3），所以收敛半径，收敛区间为，即当时，原级数收敛，当时，原级数发散。得
4、原级数的收敛域为。例8：求下列级数的和函数（1） ，（2） ，（3）解（1）记，时，所以收敛半径，收敛域为。设（2）记，时，所以收敛半径，又时，原级数发散，所以级数的收敛域为。设， 。（3）求得级数的收敛域为，记级数的和函为，因为，所以 ， 即， 对上式两端求导得： 故有， 当时，由所给级数知。因此例9 把级数 的和函数展开成的幂级数。解：记级数的和函为，即 ， 例10 求级数的和。解：， ，。例11 设，试将展开成的幂级数。解：的定义域为，所以， 。例12 设在上收敛，试证：当时，级数必收敛。证明 由已知收敛，所以，从而有界，即存在，使得 ， ，所以由比较准则可知级数收敛，且为绝对收敛。例13 求函数的傅立叶展开式。解：满足展开定理条件，将周期延拓得（周期为），处处连续。 ， ，另求： ，另求： 所以函数的傅立叶级数为：。例14 已知函数，是周期为的周期函数，（1） 求的傅立叶级数；（2） 证明；（3） 求积分的值。解：（1）的间断点为，的傅里叶级数在上收敛到。所以有 取，得，亦即：。（2）当时，级数收敛到，即，亦即：。（3）