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1、第三章习 题解答过程 一判断题： 8 是同一个函数的原函数 （ ）9 若包含于，则必有 （ ）二 选择题1设，则等于 （A） （B） （C） （D）2，则= （A） （B） （C） （D）3 （A） （B） （C）（D）4. 下列积分等于零的是 (A) (B).(C) (D) 5. 若 A. B. C. - D. 6设P，Q，R则 (A) P=Q=R， (B) P=QR (C)PQQR7设在a , b上连续，则与x= a, x=b , y=0围成的图形的面积是 （A） （B） （C） （D）三 填空题4. 若,则_.5. 6. 已知，则7. ， 8. = 9. 已知曲线过点（0，5），且曲线上
2、任一点的切线斜率为sec2 xsinx，则此曲线方程为 10. 一水池当盛水的高度为x米时，水的体积满足， V的函数表达式为 11. 若F (x)=，则= 12. = 13 广义积分 四 解答题 1. 求下列不定积分: (1); 解 . (2); 解 . （3） . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . （9） 解 . (10); 解 . （11）分开即可（12）=（13）= (14) 解 . (15); 解 . 16. 解：. 17. .解： . （18）=（19）=2. 在下列各式等号右端填入适当数或函数 （1）dx= d . （2）xd
3、x= d （3）xdx= d(5x2). （4）. （5）x3dx= d . (6) e 2x dx= d(e2x); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13). 3. 利用换元积分法计算下列积分 （1）=（2） = =（3）=（4） = = （5）=（6）= = （7）=（8） = （9）=（10）=（11）=（12）= （13）=（14）= （15） =+C（16）=+C（17）=（18）=（19）=（20）= =（21）=（22）= =（23）=（24）=+C（25）=（26）= （27） （28） =（29） (30) = = （31） （32） 令，
4、可得4 用第二类换元积分法求下列积分 (3) 令，得答案 (4) 令得答案 (5) 解 （6）解 . (7) （8）令得（9），令，得（10）（11）令得（12）令得：（13）令得（14）令得：5 用分部积分法求下列积分（1） =(2) 直接分布积分=（3） =（4）将正弦放到后面分部积分=（5） x2 arctanx dx=分部积分可得 （6）x ln(1+x2) dx=分部积分=（7） = =（8）e-xarccotexdx=（9） dx=（10）（11） sindx直接分部积分得（12）=两次分部积分后循环，得等式解出=（13） =（14）直接分部积分两次=6 简单有理函数的积分（1）
5、=解 . （2） =（3） （4） （5） （6）解 7 用适当方法求下列函数积分（1）=分布积分可得（2）利用万能公式，令可转化为有理函数积分可得答案： （3）= 可积出此式，反代回原式得（4）解 . （5） 解 .8计算下列各式 (1)= (2)= (3)= （4）= （5） 用诺必达法则得（6）用诺必达法则得9、求定积分（1）分三项积分得（2）=（3）=（4）分成两种情形之和得答案4（5）=1（6）=4-2ln3（7） =ln2（8）=（9）并修改积分上下限可得（10）=（11）=（12）分部积分 （13） 分部积分（14）=（15） 分部积分 (16)正余弦函数在一个周期上积分为0 （
6、17) 降幂可积分，(18)积化和差，化为两个积分之和，均为0 (19) 积化和差，化为两个积分之和，均为0（20） 奇函数在对称区域上的积分为010 求广义积分 （1）=发散（2）=（3）=-1（4）瑕点在x=1，直接积分发散（5）瑕点在x=1，直接积分（6）瑕点在x=0分成两个积分之和，发散（7）瑕点在x=1，分成两个积分，有一个发散，发散 11 证明（1） 提示，可令 （2） 提示，可令（3）若，证明提示，前后两式抵消12 求曲线，直线x=0,x=3和x轴所围成的曲边梯形的面积； 提示 13 求由曲线所围成的图形面积.提示14 求曲线在点处的切线与所围成的平面图形的面积15 求由曲线，与
7、所围成的平面图形的面积. 提示，可以y为积分变量16 求由曲线，直线所围成的图形的面积；提示：分两部分求定积分。17 求由连续曲线和直线和x轴所围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积；提示：18 曲线和与轴在上所围的平面图形绕轴旋转而得的旋转体 提示19 求由曲线与围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积；提示：20.求，自至的一段曲线弧的长度. 21 . 解 , , , , 所求弧长为 .22设一水平放置的水管，其断面是直径为2米的圆，求当水半满时，水管一端的断面所受的压力提示，将圆分成上下两部分积分，最后合在一起23 证明: 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 其中g是地面上的重力加
8、速度, R是地球的半径; 24某可控硅控制线路中，流过负载R的电流 ，其中称为触发时间，如果T=0.02秒（即）当触发时间=0.0025秒时，求内电流的平均值.25 大多数植物生长率是以若干天为周期的连续函数，假定一种谷物以速率生长，其中t 的单位是天，求在前十天内谷物的生长量.26一定量的理想气体，在恒温下，当体积膨胀时，压强随之减小，体积V与压强P之间有关系P=C/V（C是常数），求体积从V1变到V2时的平均压强.27 某种类型的阿司匹林进入血液系统的量称为有效药量，其进入速率可表示为函数求有效药量.提示，用f(t)在（0，3）上积分。28. 设f(x)在a, b上连续,且f(x)0. 证明：； (2) 方程F(x)=0在(a, b)内有唯一实根.提示：求导，求最值，用连续函数介值定理。