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1、华中师范大学 2005 2006 学年第二学期期末考试试卷（A卷）课程名称 微分几何初步 课程编号 83410006 任课教师 周振荣、 徐森林 题型填空题解答题证明题综合题总分分值20203030100得分得分评阅人一、填空题（共5小题，每题4分，共45=20分）1曲线过点.其切向量场为，则= .2设曲面的第一基本形式为，则其上的曲线与交角为 .3曲面的渐进曲线为 .4抛物面在点沿方向的法曲率为 .5已知曲面的第一基本形式，其中为非零常数，则其Gauss曲率为 . 院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 -得分评阅人二、解答题.（共2小题，每小题10分，共20
2、分）1.设悬链面方程为求它的第一基本形式和第二基本形式，并求它在点处，沿切向量的法曲率. 2、求椭圆抛物面上由平面所截的截线在点的测地曲率. 第 1 页(共 3 页) 得分评阅人三、证明题。（共3小题，每小题10分，共30分）1.设有两个二次微分形式：其中是的函数，且证明：在中存在正则参数曲面以为它的第一基本形式和第二基本形式的充要条件是满足微分方程： .2. 假定空间曲线和的曲率，挠率分别为.若在这两条曲线之间有一个对应，使得它们在对应点的主法线互相平行.证明：（1）曲线和在对应点的切线成一定角； （2）曲线和在对应点处的曲率，挠率满足等式： . - 密 - 封 - 线 - 3. 证明：在过空间光滑闭曲线的所有闭正则曲面中，若存在曲面，使得在上包围的曲面面积最小，则的平均曲率恒为零. 第 2 页(共 3 页) - 密 - 封 - 线 - 得分评阅人四综合题。（共2小题，每小题15分，共30分）1.设曲面的第一基本形式：.(1) 求它的Gauss曲率；（2）证明：在该曲面上过点，且在该点与-曲线交角为的测地线满足方程：. 2. 证明Backlund定理：设是欧式空间中的两张正则曲面.如果存在一个一一对应使得连接曲面上每一点和它的对应点的直线段是曲面的长度为常数的公切线，并且曲面在点和的法线的夹角也为常数，则必定是具有相同负常Gauss曲率的曲面. 第 3 页(共 3 页)