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1、第10章 无穷级数练习和习题解答练 习 10.11.写出下列级数的一般项：(1)； 解：该级数一般项为(2)；解：该级数一般项为(3)；解：该级数一般项为(4).解：该级数一般项为2.用定义判断下列级数的收敛性：(1)解： ，显然不存在，故原级数发散.(2)解：，故原级数发散.(3) 解：，故原级数收敛.(4)解：，所以当时原级数收敛，当或 时原级数发散.(5)解：，故原级数收敛.练 习 10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性：(1)；解：因为通项，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(2)；解：因为不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散.(
2、3);解：因为，故原级数发散.(4);解：因为，故原级数发散.(5);解：因为，而级数和均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛.(6) ;解：因为级数收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛.(7)解：因为级数为发散调和级数，而级数为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散.2.若级数收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的.(1);解：因为级数收敛，所以级数和也收敛，因此原级数也收敛.(2)( 为某一确定的自然数)解：因为级数收敛，而级数相当于级数去除前项后的新级数也收敛.(3)解：因为级数收敛，所以，故，即级数发散.练 习 10.31.用比较判别法判别下列级数的
3、敛散性：(1)；解：因为通项，而级数为收敛的几何级数，根据比较判别法，级数收敛.(2)；解：因为通项，而级数为收敛的-级数，根据比较判别法，级数收敛.(3)；解：因为通项，而级数相当于发散调和级数，根据比较判别法，级数发散.(4) ；解：因为通项，又调和级数发散，因此级数也发散，根据比较判别法，原级数也发散.(5)；解：令，显然参照级数为收敛的-级数，而，根据比较判别法的极限形式，可知原级数也收敛.(6)；解：令，显然参照级数为收敛的-级数，而，根据比较判别法的极限形式，可知原级数也收敛.(7)；解：令，显然参照级数为收敛的-级数，而，根据比较判别法的极限形式，可知原级数也收敛.(8).解：因
4、为通项，参照级数为收敛的-级数，根据比较判别法，原级数也收敛.2.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：(1)；解：因为，根据比值判别法，原级数收敛.(2)；解：因为，根据根值判别法，原级数发散.(3)；解：因为，根据根值判别法，原级数收敛.(4)；解：因为，根据根值判别法，原级数收敛.(5)；解：因为，根据根值判别法，原级数收敛.(6).解：因为，根据根值判别法，原级数收敛.3. 判别下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：(1)；解：该级数为交错级数，令，由于，且，根据交错级数收敛判别法，该级数收敛.又由于是发散的调和级数，因此原级数条件收敛.(2)；解：由于，不满足
5、级数收敛的必要条件，因此原级数发散.(3)；解：该级数为交错级数，其对应的正项级数收敛，因此该级数绝对收敛.(4)；解：令，由于，而级数是收敛的-级数，根据比较判别法级数收敛，因此原级数绝对收敛.(5).解：该级数为交错级数，令，根据-级数的收敛性质，我们知道，时，收敛，因此原级数绝对收敛；时，发散，且，根据莱布尼茨判别法，原级数收敛，且为条件收敛；时，单调递增，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散. 练 习 10.41.求下列幂级数的收敛域：(1) 解：令，收敛半径，收敛区间为，当时，级数发散，当时，级数收敛，所以原级数的收敛域为.(2)解：令，所以收敛半径为，原级数的收敛域为.(3)解：令
6、，所以收敛半径为，原级数只在处收敛.(4)解：令，原关于的幂级数化为关于的幂级数， 收敛半径， 的收敛半径为，当时，级数发散，因此，原幂级数的收敛域为.(5) 解：设，原关于的幂级数转化为关于的幂级数.,幂级数的收敛半径为，收敛区间为因此幂级数的收敛半径也为，收敛区间为，当时，级数收敛，当时，级数发散，因此，幂级数的收敛域为.2.利用例10-33的结果，求级数的和.解：根据例10-33，.3.求幂级数的和函数，并求级数的和.解：设，两边同时对求导，得，两边同时在上积分，得，由，得，即，. 练 习 10.51. 写出下列函数的阶麦克劳林公式：(1)解：，在0到之间，(2)解：时， ，其中，.2.
7、将下列函数展开成的幂级数，并求收敛域：(1)；解：由于,所以,(2)；解: 由于,(3).解: 根据,可知，两边在上积分，由于，所以， 3.将函数展开成的幂级数.解：对求导，得 由于，所以，上式两边在区间上积分，得，由于，因此，.4.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值：(1)（精确到0.001）解：根据，在到之间时，只要 ，即只要当时，所以只要去展开式的前5项就可得到满足精度的近似值： (2)（精确到0.001）解：根据,取，当，(3)（精确到0.0001）解：根据，在0到之间，取，当时，取展开式的前3项即可得到近似值：(4)（精确到0.0001）；解：习 题 十1.选择题：（1）若级数
8、收敛，则（ ）；A.级数收敛 B.级数收敛C.级数收敛 D.级数收敛答案：A，B，C，D，（*本题好像有问题）（2）若级数收敛，且，则必定（ ）；A.收敛 B. 发散C.可能收敛,可能发散 D. 以上都不对答案：C（3）是级数发散的（ ）； A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件答案：A（4）已知，则（ ）；A.收敛于0 B.收敛于 C.收敛于 D.发散答案：C（5）若级数，均发散，则（ ）；A. 发散 B. 发散C. 发散 D. 发散答案：C（6）若级数收敛，则必有（ ）；A. 收敛 B. 收敛C. D. 发散答案：D（7）级数收敛是级数收敛的（ ）；A.必要条件
9、B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件答案：B（8）设为正项级数，则（ ）；A. 若，则收敛 B. 若收敛，则收敛C. 若收敛，则收敛 D. 与的敛散性互不相关答案：B（9）设对,总有不等式成立，则（ ）；A. ，收敛，则必有收敛B. 若，发散，必有发散C. D. 以上结论均不成立答案：A（10）若正项级数收敛，且其和为，则下列叙述不正确的是（ ）；A. 为任意自然数,收敛 （*本选项原题有误）B. 和都收敛C. 收敛，且D. 可能收敛，可能发散答案：D（11）级数发散，因为（ ）；A它是级数，且 B. C.，通项不趋于0 D. 以上都不对答案：C（12）设为常数，则级数（ ）；A.绝对收敛
10、 B.条件收敛C.发散 D.收敛性取决于的值答案：C（13）设，则下列级数中必收敛的是（ ）；A. B. C. D. 答案：C（14）若级数（为实数）条件收敛，则有（ ）.A. B. C. D. 答案：D（15）若幂级数在处发散，则该级数的收敛半径（ ）；A. B. C. D.答案：D （16）对于幂级数，下列叙述不正确的是（ ）；A.原点是它的收敛点 B.其收敛域是一个以原点为中心的区间C.其收敛半径 D.它的收敛域有可能为空集答案：D（17）若级数在时收敛，则级数在时（ ）；A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定答案：B （18）若级数在时发散，在处收敛，则常数（ ）；A.1
11、B. C.2 D.答案：B（19）级数的和函数是（ ）；A. B. C. D. 答案：D（20）已知级数，则（ ）.A. B. C. D. 答案：C2.填空题：（1）若幂级数的部分和序列为，则_，_；答案：，（2）若级数，则级数_；答案：（3）若级数收敛，则的取值范围为_；答案：（4）幂级数的收敛域为_；答案：或（5）若幂级数在实轴上收敛，则满足条件_；答案：（6）_；答案：（7）_.答案： 3.判断题：（1）如，则级数收敛； （ ）答案：错（2）若级数发散，则级数收敛； （ ）答案：错（3）如级数收敛，由级数收敛，必推得级数收敛； （ ）答案：对（4）； （ ）答案：错（5）若对，总有不等式
12、成立，则如级数发散，也发散；（ ）答案：错（6）若级数中加括号后发散，则原级数必发散； （ ）答案：对（7）若正项级数收敛，则必有； （ ）答案：错（8）若级数收敛，则也收敛，其中为一个非零常数； （ ）答案：错（9）由展开式，有；（ ）答案：错（10）若为收敛的正项级数，为正项级数，且，则当时，级数发散； （ ）答案：错（11）若 为发散正项级数，则必有； （ ）答案：错（12）若级数收敛，则级数收敛； （ ）答案：对（13）若级数发散，则级数发散； （ ）答案：对（14）若对正项级数，总有，则该级数收敛； （ ）答案：错（15）若对任意项级数，总有，则该级数发散； （ ）答案：对（16）若
13、对，总有不等式，则必有； （ ）答案：错（17）若，则级数与有相同的敛散性. （ ）答案：错4.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性：（1）； 解：， ，所以原级数发散.(2)； 解：,，原级数收敛，且收敛于2.(3).解： 原级数收敛，且收敛于3.5.已知级数的部分和，写出这个级数.解：由，可知，显然此时，不难知道，因此该级数为.6.判别下列级数的敛散性：（1）；解：本级数通项的分子分母的最高次数都是3，显然，不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散.（2）；解：本级数通项，不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散.（3）；解：显然级数和都是公比的绝对值小于1的几何级数，均收敛，因此
14、原级数收敛.（4）；解：几何级数的公比满足，该级数收敛，在该级数前加上3项后得到的新级数也收敛，即原级数收敛.（5）； 解：时，该级数的通项，不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散.（6）.解：该级数通项，由于， ，因此.因为，几何级数收敛，因此原级数收敛.7. 用比较判别法判别下列级数的敛散性：（1）；解：由于，而是收敛的几何级数，根据比较判别法，级数收敛.（2）；解：由于，而级数收敛，根据比较判别法，级数收敛.（3）；解：由于，而调和级数发散，根据比较判别法，级数发散.（4）；解：当时，而几何收敛，根据比较判别法，级数也收敛，因此原级数也收敛.（5）； 解：由于，而级数收敛，根据比较判别法
15、的极限形式，级数收敛.（6）.解：由于，而调和级数发散，根据比较判别法的极限形式，级数发散.8.用比值判别法或根值判别法判别下列级数的敛散性：（1）； 解：本级数应该用根值判别法判别其敛散性.,由根值判别法，级数发散.（2）；解：该级数通项，令，根据比值判别法，级数收敛，再由比较判别法，原级数收敛.（3）； 解： ，由比值判别法，原级数发散.（4）；解：，由比值判别法，原级数发散.（5）；解：由根值判别法，原级数收敛.（6）；解：由比值判别法，原级数收敛.（7）；解: 由根值判别法，原级数收敛.（8）（其中）且）；解: 由根值判别法，当时，原级数收敛；当时，原级数发散.（9）.解：由比值判别法
16、，原级数收敛.9.判定下列级数的敛散性：（1）； 解：由比值判别法，原级数收敛.（2）； 解：由于级数发散，级数收敛，所以原级数发散.（3）；解：设，由于，而调和级数发散，根据比较判别法的极限形式，原级数也发散.（4）； 解： ，根据比值判别法，原级数收敛.（5）； 解：，根据根值判别法，原级数收敛.（6）；解：该级数通项，令，显然级数是收敛的级数，又根据比较判别法的极限形式，原级数收敛.（7）； 解：令，显然调和发散，而，根据比较判别法的极限形式，原级数也发散.（8）；解： 该级数通项，不满足级数收敛的必要条件，故原级数发散.（9）；解：记，令，由于，而级数收敛，根据比较判别法，原级数也收敛
17、.（10）；解：，由于级数收敛，根据比较判别法， 级数也收敛，因此原级数也收敛，（并且是绝对收敛）.（11）；解：令， ，而级数是收敛的几何级数，根据比较判别法，原级数也收敛.（12）.解：时，此时原级数发散；时，此时原级数也发散；时，根据比值判别法，原级数收敛.10.下列级数哪些是绝对收敛、条件收敛或发散的：（1）； 解：该级数为交错级数，令，且，根据Leibniz判别法，原级数收敛，（2）；解：（3） 解：（4）；解：（5）； 解：（6）；解：（7）； 解：（8）；解：（9） （）； 解：（10）；解：（11）； 解：（12）；解：(13)； 解：（14）；解：（15）.解：11.讨论级数
18、的收敛性.12.讨论级数的收敛性.13.证明：当时，级数绝对收敛.14.证明：（1）设正项级数收敛，证明级数也收敛，试问反之是否成立？（2）设，且数列有界，证明级数收敛；（3）若级数，收敛，证明绝对收敛；（4）设级数收敛，证明级数（）也收敛；15.设级数绝对收敛，试证：有的一切正项组成的级数是收敛的；有的一切负项组成级数也是收敛的.16.证明：，其中为常数且.17.确定下列幂级数的收敛域：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.18.将下列函数展开成关于的幂级数，并求收敛域：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.19. 将函数展开成的幂级数.20.将展开成的幂级数.21.将在处展开成幂级数.22.求下列函数在处的泰勒展开式：（1）； （2）.23.求和函数：（1）； （2）；（3）.24.求幂级数在内的和函数，并求级数的和.*25.判定下列级数的敛散性：（1）； （2）； （3）.*26.设，级数收敛，试确定的取值范围.*27.判定下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散：（1） ()；（2）；（3）.*28.设，讨论取何值时，级数(1)绝对收敛，(2)条件收敛，(3)发散.*29.将函数展开成的幂级数.*30.求级数的和.