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1、高数级数理论部分练习10528一填空1级数的和为 。2把函数展开成的幂级数到： 。3级数的和为 。4设是以为周期的周期函数，在上的表达式为，则在处的傅里叶级数收敛于 。5幂级数的收敛区间为 。6若幂级数在时收敛，则幂级数在时是否绝对收敛？ 7若，则级数收敛，对么？ （ ）8若在上是以为周期的按段光滑函数，则=9，当= 时收敛。10级数的部分和数列有界，则级数收敛。 （ ）11若级数与都发散，则也发散。（ ）12若级数发散，则。 （ ）13若级数收敛，那么它的更序级数一定收敛。 （ ）14若在上收敛于且每个都在上连续，则也在上连续。（ ）二选择题1下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） （C）
2、（D）。2若级数收敛，则下列级数中（ ）收敛。（A） （B） （C） （D）。3设，则下列级数中和不是1的为（ ）（A） （B） （C） （D）4将函数展开成的幂级数得到（ ）（A） （B） （C） （D）5下列级数条件收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）6 （ ） A、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、可收敛也可能发散7的收敛域为 （ ）A、 B、 C、 D、8下列级数中条件收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、9若级数和都发散，则（ ）A、必发散；B、发散；C、必发散 D以上说法都不对10是级数收敛的 。A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。11
3、下列命题正确的是 (A) 若与都发散，则也发散(B) 若收敛，而发散，则必发散(C) 若且绝对收敛，则必收敛(D) 级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界12下列命题正确的是 (A) 绝对收敛级数的更序级数一定收敛 (B) 若为条件收敛级数，则一定发散(C) 若发散，则 (D) 若收敛，则也收敛三计算与证明1求幂级数的收敛区间及和函数。2讨论在时的敛散性。3设的傅里叶级数为，求系数。4求幂级数的收敛区间与收敛半径。5求幂级数的收敛区间和收敛半径。6 判别级数 敛散性。7求幂级数的收敛区间与和函数。8求幂级数的收敛区间及和函数。9求级数的收敛域，并求出它的和函数，由此求出的和。10将，在上展
4、开成余弦级数，并求出它的和函数。11确定级数的收敛域，并求和函数。12求级数在其收敛域中的和函数。13求级数的收敛半径及和函数14. 求的和函数。15将函数在上展开为正弦级数、余弦级数。16求幂级数的和函数。参考答案一 填空1 2. 3、 0 4、3 5、 6、绝对收敛 78 9、； 10； 11121314 二选择1 、C 2、B 3、C 4、B 5、A 6. B； 7B；8. B；9、C；10、A；11B 12A 三计算与证明1. 当时，级数成为发散，所以收敛区间为。2. 当时，,所以级数发散。当时，所以级数发散。当时，而在时收敛，所以时收敛。3. 。4. ，当和时级数收敛，所以收敛区间为
5、。收敛半径为。5. ，当时，收敛，当时，发散，所以收敛区间为，收敛半径为。6. 因为，且当时，而收敛，所以收敛。7. ，收敛区间为。8. ，而当时，级数都收敛，所以收敛区间为。令=， ,则，于是，当x=0时，和函数为0；当x=1时，和函数为1。9 收敛域为 令 1011、 收敛域为：12.=令， ，则= 13.公比，一般项 ； 10分 14. 从而收敛域为设 当时，有 15将函数在上展开为余弦级数。解：要把在上展开为余弦级数，先将延拓成上的偶函数，再延拓成以为周期的周期函数，则于是由收敛定理有：，。另一个类似16求幂级数的和函数。解：因为，所以幂级数的收敛半径为。又因为当时级数发散，所以的收敛域为。设，则由逐项求导定理有：即： ， 。