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1、第一章习题解答【习题1.1解】【习题1.2解】【习题1.3解】已知（1）要使，则须散度 所以从 可得：即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。（2）要使，则须旋度 所以从 可得 b=-3，c=-8【习题1.4解】已知，因为，所以应有 即 又因为 ; 所以； 由， 解得 【习题1.5解】由矢量积运算规则取一线元：则有则矢量线所满足的微分方程为 或写成 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法 （1） （2）由（1）（2）式可得 （3） （4）对（3）（4）分别求和 所以矢量线方程为 【习题1.6解】已知矢量场 若 是一个无源场 ，则应有 div=0即： div=因为 所
2、以有 div=az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2【习题1.7解】设矢径 的方向与柱面垂直，并且矢径 到柱面的距离相等（ra）所以，【习题1.8解】已知,而 又所以+ =【习题1.9解】已知 所以由于场的旋度处处等于0，所以矢量场为无旋场。【习题1.10解】令ln()=C,=，=1+4+9=14 因此Cln14 14为等值面方程【习题1.11解】求函数=在点M(2,3)处沿曲线y=朝x增大一方的方向导数 解: 在L取一点(x,y) y=-1()沿L的方向的方向余弦为: c因为则(x,y) (2,3)所
3、以 又因为=【习题1.11解2】求函数=在点M(2,3)处沿曲线y=朝x增大一方的方向导数曲线y在M点沿所取方向的切线斜率为：所以 因此，方向余弦为所以所求的方向导数为【习题1.12解】标量场该标量为一个以直角坐标系的O点为球心的球面求切平面的方程该平面的法线向量为 根据平面的点法式方程，得平面方程为整理，得：【习题1.13解】【习题1.14解】矢量的方向余旋为满足题意方向导数：【习题1.15解】【习题1.16解】所以【习题1.17解】【习题1.18解】（1） 证明（+）=（+=（+（=得证(2) = =+ = = 得证【习题1.19解】【习题1.20解】已知所以【习题1.21解】【习题1.22解】证明：令 则 左边= =又由题得 =同理有 =故 等式右边 = = =故左边=右边，得证【习题1.23解】【习题1.24解】证毕。【习题1.25解】由题意可知： 左= = =+ = =+ = 即证【习题1.26解】（1）解：=sinx siny sinx siny = sinx siny ； （）sinx siny0；满足拉普拉斯方程。（2） 解：在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为： 0； 0 ；满足拉普拉斯方程；【习题1.27解】【习题1.28解】【习题1.29解】