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1、 抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1抛物线定义： 平面内到一定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线2抛物线四种标准方程的几何性质：参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向右左上下焦 点位 置焦 点坐 标X 正X 负Y 正Y 负顶 点坐 标（0,0）2p离心率通 径焦半径 为直径的圆必与准线 相切若 的倾斜角为 ，则3抛物线(1)范围的几何性质：因为 p0，由方程可知 x0，所以抛物线在 轴的右侧，当 的值增大时，| |也增大，说明
2、抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3)顶点（0，0），离心率：(4) 焦点弦：抛物线，焦点的焦点弦，准线，焦准距 p,则,弦长|AB|=x1+x2+p,当 x1=x2 时，通径最短为 2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦(1) 若 AB 是抛物线，,，焦点的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。(2) 若 AB 是抛物 线（0）。的焦点弦 ，且 直线 AB 的倾斜 角为 ，则(3) 已 知 直 线 AB 是 过 抛 物 线焦 点F ,(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径 (5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的
3、圆与准线相切 .过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式：,是抛物线上两点，则【经典例题】（1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合 .其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中 .由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例 1】P 为抛物线上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（离）相 交相 切相位置由 P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是且.作 PH 于 H，交 y 轴于 Q，那么.作 MNy
4、轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的.故以，中位线，PF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关 .理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【 例 2 】 过 抛 物 线两点，求证：的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于（1）（2）【证明】（1）如图设抛物线的准线为 ，作，.两式相加即得：（2）当 ABx 轴时，有成立；当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为：程：.代入抛物线方.化简得： 方程（1）之二根为 x1，x2
5、，.故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直，恒有（3）切线抛物线与函数有缘成立.有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关 .理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例 3】证明：过抛物线（x+x0）上一点 M（x0，y0）的切线方程是： y0y=p【证明】对方程两边取导数：.由点斜式方程：y0y=p（x+x0）（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值 .掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线则此动圆必过定点上，且动圆恒与直线（相切，）显然.本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.2.抛物线的
6、通径长为 2p；过焦点的弦两端分别为3.设抛物线，那么：以下再举一例【例 4】设抛物线的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1，证明：以A1B1 为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1 与 AB的距离为 p，可知该圆必过抛物线的焦点 .由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为，那么：设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么.这就说明：以 A1B1 为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法（1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以
7、它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例 5】（10.四川文科卷.10 题）已知抛物线y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点2A、B，则|AB|等于（A.3 B.4）C.3D.4【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直，且线段AB 的中点必在直线 x+y=0 上，因得解法如下. 【解析】点 A、B 关于直线 x+y=0 对称，设直线 AB 的方程为：.由设方程（1）之两根为 x1，x2，则.设 AB 的中点为 M（x0，y0），则.代入 x+y=0：y0= .故有.从而得：.直线 AB 的方程为：.方程（1）成为：.解，从而，故得：A（-2，-1），
8、B（1，2）.，选 C.（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏 .针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例 6】（11.全国 1 卷.11 题）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积（ ）ABCD【解析】如图直线 AF 的斜率为 时AFX=60.AFK 为正三角形.设准线 交x轴于M，则且KFM=60，.选 C.【评注】（1）平面几何知识：边长为 a 的正三角形的 面积用公式计
9、算.（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点 A 的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难 .但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例 7】（07.湖北卷.7 题）双曲线的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的线为 ，焦点为（ ）与 的一个交点为 ，则等于CABD【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距 c，离心率为 e，作，令.点 M 在抛物线上，这就是说
10、： 的实质是离心率 e.其次， 与离心率 e 有什么关系？注意到：.这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.选A. （4）三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源 .利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.a【例 8】（09.重庆文科.21 题）如图，倾斜角为A B的焦点 F，且与抛物线交于 、 两点。的 直线经过抛物线Fl（）求抛物线的焦点 的坐标及准线 的方程；aABm（）若 为锐角，作线段 的垂直平分线 交xPa轴于点 ，证明|
11、FP|-|FP|cos2 为定值，并求此定值。【解析】（）焦点 F（2，0），准线（）直线 AB：.代入（1），整理得：设方程（2）之二根为 y1，y2，则.设 AB 中点为AB 的垂直平分线方程是：.令 y=0，则故于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.（5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题 .其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：（1） 与抛物线有两个不同的交点 A 和 B；（2）线段 AB 被直线 ：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，说明理由，
12、若存在，求出直线 的方程.【解析】假定在抛物线上存在这样的两点 线 段 AB 被 直 线 ： x+5y-5=0 垂 直 平 分 ， 且.设线段 AB 的中点为是：.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于AB 中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：（6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手” .这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明 .终于发现“无限风光在险峰”.y x x【例 10】（10.安徽卷.14 题）如图，抛物线 =- 2+1 与 轴的正半轴交于点AOA nP P Pn，将线段 的 等分点从左至右依次记为 1, 2, -1,过这些分点分别作 xQ Q Qn n轴的垂线，与抛物线的交点依次为 1， 2， -1，从而得到 -1 个直角三角Q OP Q P P Qn Pn Pn n形 1 1, 2 1 2, -1 -1 -1,当 时，这些三角形的面积之和的极限为.【解析】 设 OA 上第 k 个分点为第 k 个三角形的面积为：.故这些三角形的面积之和的极限文档已经阅读完毕，请返回上一页！