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1、复合函数的导数复合函数的导数一、复习与引入：一、复习与引入：1.函数的导数的定义与几何意义函数的导数的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则导数的四则运算法则.4.例如求函数例如求函数y=(3x-2)2的导数的导数,那么我们可以把平方式那么我们可以把平方式 展开展开,利用导数的四则运算法则求导利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其然后能否用其它它 的办法求导呢的办法求导呢?又如我们知道函数又如我们知道函数y=1/x2的导数是的导数是 =-2/x3,那么函数那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢的导数又是什么呢?为了解决上面的问题为了解决上面
2、的问题,我们需要学习新的导数的运算我们需要学习新的导数的运算法则法则,这就是这就是复合函数的导数复合函数的导数.二、新课二、新课复合函数的导数复合函数的导数1.复合函数的概念复合函数的概念:对于函数对于函数y=f (x),令令u=(x),若若y=f(u)是中间变量是中间变量u的函数的函数,u=(x)是自变量是自变量x的函数的函数,则称则称y=f (x)是自变量是自变量x的复合函数的复合函数.2.复合函数的导数复合函数的导数:设函数设函数 在点在点x处有导数处有导数 ,函数函数y=f(u)在在点点x的对应点的对应点u处有导数处有导数 ,则复合函数则复合函数在点在点x处也有导数处也有导数,且且 或
3、记或记如如:求函数求函数y=(3x-2)2的导数的导数,我们就可以有我们就可以有,令令y=u2,u=3x-2,则则 从而从而 .结果与我结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.在书写时不要把在书写时不要把 写成写成 ,两者是不完两者是不完全一样的全一样的,前者表示对自变量前者表示对自变量x的求导的求导,而后者是对中而后者是对中间变量间变量 的求导的求导.3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则:复合函数对自变量的导数复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间等于已知函数对中间变量的导数变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数乘以中间变量对自变
4、量的导数.法则可以推广到两个以上的中间变量法则可以推广到两个以上的中间变量.求复合函数的导数求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关关键在于分清函数的复合关系系,合理选定中间变量合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导变量对哪个变量求导,一般地一般地,如果所设中间变量可如果所设中间变量可直接求导直接求导,就不必再选其他中间变量就不必再选其他中间变量.复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导要通过求一些初等函数的导数数,逐步掌握复合函数的求导
5、法则逐步掌握复合函数的求导法则.三、例题选讲：三、例题选讲：例例1:求下列函数的导数求下列函数的导数:解解:设设y=u5,u=2x+1,则则:解解:设设y=u-4,u=1-3x,则则:解解:设设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则则:说明说明:在对法则的运用熟练后在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤就不必再写中间步骤.例例2:求下列函数的导数求下列函数的导数:解解:(2)解解:(3)y=tan3x;解解:(4)解解:例例3:如果圆的半径以如果圆的半径以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圆半径求圆半径R=10cm时时,圆面积增加的速度圆面积增加的速度.解解:由已知知由已知知:圆半径圆
6、半径R=R(t),且且 =2cm/s.又圆面积又圆面积S=R2,所以所以=40(cm)2/s.故圆面积增加的速度为故圆面积增加的速度为40(cm)2/s.例例4:在曲线在曲线 上求一点上求一点,使通过该点的切线平行使通过该点的切线平行于于 x轴轴,并求此切线的方程并求此切线的方程.解解:设所求点为设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知则由导数的几何意义知:切线斜率切线斜率把把x0=0代入曲线方程得代入曲线方程得:y0=1.所以点所以点P的坐标为的坐标为(0,1),切线方程为切线方程为y-1=0.例例5:设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f
7、();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解解:说明说明:对于抽象函数的求导对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其一方面要从其形式是把握其结构特征结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则另一方面要充分运用复合关系的求导法则.我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导可导的奇函数的导函数为偶函数函数为偶函数”.现在利用复合函数的现在利用复合函数的导数重新加以证导数重新加以证明明:证证:当当f(x)为为可导的偶函数可导的偶函数时时,则则f(-x)=f(x).两边同
8、时对两边同时对x 求导得求导得:,故故 为为 奇函数奇函数.同理可证另一个命题同理可证另一个命题.我们还可以证明类似的一个结论我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数可导的周期函数的导函数也是周期函数的导函数也是周期函数.证证:设设f(x)为为可导的周期函数可导的周期函数,T为其一个为其一个周期周期,则对定则对定义义 域内的每一个域内的每一个x,都有都有f(x+T)=f(x).两边同时对两边同时对x求导得求导得:即即 也是以也是以T为为周期的周期函数周期的周期函数.例例6:求函数求函数 的导数的导数.说明说明:这是分段函数的求导问题这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表先根据各段的函数
9、表达达 式式,求出在各可导求出在各可导(开开)区间的函数的导数区间的函数的导数,然后再然后再用用 定义来讨论分段点的可导性定义来讨论分段点的可导性.解解:当当x1时时,.又又 ,故故f(x)在在x=1处连续处连续.而而从而从而f(x)在在x=1处不可导处不可导.四、小结：四、小结：利用复合函数的求导法则来求导数时利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变选择中间变量是复合函数求导的关键量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的分清其间的复合关系复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体这个暂时的整体,就是中间变量就是中间变量.求导时需要记住中间求导时需要记住中间变量变量,注意逐层求导注意逐层求导,不遗漏不遗漏,而其中特别要注意中间变而其中特别要注意中间变量的系数量的系数,求导后求导后,要把中间变量转换成自变量的函数要把中间变量转换成自变量的函数.