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1、2.2 2.2 一元线性回归分析一元线性回归分析 一、一元线性回归模型的基本假设一、一元线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（二、参数的普通最小二乘估计（OLSOLS）三、最小二乘估计量的性质三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的抽样分布及随机项四、参数估计量的抽样分布及随机项方差的估计方差的估计 1Notes8单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型8线性模型中，变量之间的关系呈线性关系8非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系8一元线性回归模型一元线性回归模型：只有一个解释变量i=1Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估待估参数参数，u为随机项。随机项。2
2、:回归分析的主要目的回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。:估计方法估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最普通最小二乘法小二乘法（ordinary least squares,OLS）。:为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。:实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。3 一一线性回归模型的基本假设线性回归模型的基本假设:A1:随机误差项随机误差项ui服从正态分布服从正态分布 uiN(,i2)i=1,2,n:A2:随机误差项随机误差项ui具有零均值具有零均值 E(ui)=0 i=1,2,n:A3:随机误差项随机误差
3、项ui具有同方差具有同方差 Var(ui)=u2 i=1,2,n4:A4:随机误差项随机误差项ui非自相关假设非自相关假设 Cov(ui,uj)=0 ij i,j=1,2,n:A5:随随机机误误差差项项ui与与解解释释变变量量X X之之间间不不相相关关 Cov(Xi,ui)=0 i=1,2,n:A6:解释变量解释变量X之间不相关之间不相关 51.通常情况下，假设假设x是非随机变量是非随机变量。2.如果x是非随机变量，则假设5自动满足;:Notes：以上假设也称为线性回归模型的经典假经典假设设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典经典线性回归模型线性回归模型（Classical Linear R
4、egression Model,CLRM）。6二、回归参数的普通最小二乘估计（二、回归参数的普通最小二乘估计（OLSOLS）普通最小二乘法普通最小二乘法（OLS）：选择参数使全部观测值的残差平方和（RSS）最小。8 Q:Why not sum of residuals?7方程组（*）称为正规方程组正规方程组（normal equations）。8上述参数估计量可以写成：称为OLS估计量的离差形式离差形式（deviation form）。）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通普通最小二乘估计量最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）
5、。9顺便指出，记 则有 可得（*）式也称为样本回归函数样本回归函数的离差形式离差形式。（*）8Notes：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。10 例例：在家庭可支配收入可支配收入-消费支出消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。11因此，由该样本估计的回归方程为：12 三、最小二乘估计量的性质三、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性）线性，即它是否是另一随机变量的线性函数；13（2）无偏性）无
6、偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator,BLUE）。14高斯高斯马尔可夫定理马尔可夫定理(Gauss-Markov Theorem)在满足经典线性回归的假设条件下，最小二乘在满足经典线性回归的假设条件下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。151617证：证：同样地，容易得出 1819（2）证明最小方差性证明最小方差性 普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量(OLS)(OLS)称为最佳线性无最佳线性无偏估计量（偏估计量（BLUE）20最小二乘估计量是一致性估计量最小二乘估计量是一致性估计量 样本协方差？样本协方差？21 四、参数估计量的抽样分布及随机项方四、参数估计量的抽样分布及随机项方差的估计差的估计 22随机误差项随机误差项u的方差的方差 2的估计的估计2又称为总体方差总体方差。238由于随机项ui不可观测，只能利用残差ei(ui的估计)的样本方差，来估计ui的总体方差2。8 样本方差？样本方差？可以证明可以证明，2的最小二乘估计量最小二乘估计量为:它是关于2的无偏估计量。242526