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1、7.4 隐函数求导法隐函数求导法7.4.1 一个方程的情形一个方程的情形7.4.2 方程组的情形方程组的情形1隐函数的求导公式隐函数的求导公式7.4.1 一个方程的情形一个方程的情形7.4 隐函数求导法隐函数求导法2这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。这个定理我们不证。现仅就公式作如下推导。将方程所确定的函数将方程所确定的函数y=f(x)代入原方程代入原方程由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 由由于于Fy 连连续续,且且Fy(x0,y0)0,所所以以存存在在(x0,y0)的一个邻域的一个邻域,在这邻域内在这邻域内Fy0,于是得于是得 其左端可以看作是其左端
2、可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的一个复合函数，求这个函数的全导数，的全导数，得恒等式得恒等式 F(x，f(x)0，3 隐函数的高阶导数隐函数的高阶导数 由由方方程程F(x，y)=0 在在一一定定条条件件下下（定定理理中中的的条条件件）可确定隐函数可确定隐函数y=f(x)，且有，且有 如果如果F(x，y)的二阶偏导数也都连续，将上式两端的二阶偏导数也都连续，将上式两端对对x再一次求导，右端可视作再一次求导，右端可视作x的复合函数，有的复合函数，有不必记这个公式，要知道这一方法。不必记这个公式，要知道这一方法。4解解 令令则则56解解令令则则例例27 这个定理我们不证，与定理类似，仅就公式
3、作如这个定理我们不证，与定理类似，仅就公式作如下推导下推导:8由于由于 F(x，y，f(x，y)0，将上式两端分别对将上式两端分别对x和和y求导，应用复合函数求导，应用复合函数求导法则得求导法则得 因为因为Fz连续连续,且且Fz(x0,y0,z0)0，所以存在点，所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内的一个邻域，在这个邻域内Fz0,于是得于是得注注9解解 令令则则10思路：思路：解解令令则则11整理得整理得整理得整理得12 例例5 5 设设(u，v)具有连续的偏导数，证明由方程具有连续的偏导数，证明由方程 (cxaz，cybz)=0 确定的函数确定的函数z=f(x,y)，满足，
4、满足 方程的两端对方程的两端对x 求导有求导有 证明证明 方法一方法一 利用复合函数求导法则利用复合函数求导法则可得可得 13方程两端对方程两端对y 求偏导有求偏导有 可得可得 于是有于是有 14方法二方法二 公式法公式法 记记(cxaz，cybz)=F(x，y，z)，则，则Fx=cu，Fy=cv，Fz=aubv 所以所以 15方法三方法三 利用全微分形式的不变性利用全微分形式的不变性移项移项 cudx+cvdy=(au+bv)dz所以所以 于是于是 d(cxaz，cybz)=ud（cxaz）+vd(cybz)=u(cdx-adz)+v(cdy-bdz)=0 167.4.2 方程组的情形方程组
5、的情形171819解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项20将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得21条件条件:(1)F,G连同它们的一切偏导在连同它们的一切偏导在(x0,y0,z0)的领域内连续。的领域内连续。（2）F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0证略。求法证略。求法注注22从中解出从中解出23解解运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 x 求导求导例例624小结小结 本节主要讨论了隐函数的求导法则。本节主要讨论了隐函数的求导法则。本本节节要要求求熟熟练练掌掌握握一一个个方方程程和和方方程程组组确确定定的的隐函数的偏导数的计算。隐函数的偏导数的计算。习题习题 7 7425