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1、第六章第六章 简单超静定问题简单超静定问题6-1 6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题6-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题6-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁61 61 超静定问题及其解法超静定问题及其解法 一、一、关于超静定的基本概念关于超静定的基本概念 二、二、求解超静定问题的基本方法求解超静定问题的基本方法一、一、关于超静定的基本概念关于超静定的基本概念超静定问题与超静定结构超静定问题与超静定结构未知力个数多于独未知力个数多于独立平衡方程数立平衡方程数 超静定次数超静定次数 未知力个数与独立平衡方程数未知力个数与独立平衡方程
2、数之差之差 多余约束多余约束 保持结构静定保持结构静定多余的约束多余的约束静定问题与静定结构静定问题与静定结构未知力未知力(内力或外力内力或外力)个个数等于独立的平衡方程数数等于独立的平衡方程数 ABDFABCDFABDF 二、二、求解超静定问题的基本方法求解超静定问题的基本方法因为未知力个数因为未知力个数超过超过了独立的平衡方程数，必须寻了独立的平衡方程数，必须寻找补充方程。找补充方程。寻找补充方程的途径：寻找补充方程的途径：利用结构的变形条件利用结构的变形条件结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：1、结构的连续性、结构的连续性2、变形与内力
3、的、变形与内力的协调性协调性变形协调方程变形协调方程补充方程补充方程方法方法1：寻找补充方程法寻找补充方程法（适用于求解拉压超（适用于求解拉压超静定）静定）物理方程物理方程变形比较法变形比较法（适用于求解超静定梁）（适用于求解超静定梁）1 1、建立相当系统：解除多余约束，代以多余约、建立相当系统：解除多余约束，代以多余约 束反力。束反力。2 2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。、由梁的变形条件，求出多余约束反力。3 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。、求出多余约束反力后，按静定梁求解。相当系统的内力图，应力和变形即为原相当系统的内力图，应力和变形即为原超静超静定梁的结果。定梁的结果。方法
4、方法2 2：静平衡方程静平衡方程补充方程补充方程各杆的内力各杆的内力各杆的应力、变形各杆的应力、变形6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题一、拉压超静定问题的求解一、拉压超静定问题的求解二、温度应力和装配应力二、温度应力和装配应力一、拉压超静定问题的求解一、拉压超静定问题的求解例题：例题：求图示杆的支反力求图示杆的支反力A AB BF Fa ab bABFab解：解：AB AB 杆受力如图杆受力如图由：由：本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程得：得：现有两个未知力，本问题为现有两个未知力，本问题为一次超静定问题一次超静定问题需要建立一个补充方程需要
5、建立一个补充方程ABFabABFABFAB变形条件：变形条件：物理条件：物理条件：补充方程：补充方程：ABCD123Fl图示结构图示结构,1,1、2 2杆的抗拉刚度相同，均为杆的抗拉刚度相同，均为E E1 1A A1 1,3,3杆杆的抗拉刚度为的抗拉刚度为E E3 3A A3 3，受力如图。受力如图。求：各杆的内力。求：各杆的内力。例题例题FFN3FN1FN2ABCD123Fl本问题为一次超静定本问题为一次超静定对节点对节点A A得到：得到：还需要建立一个还需要建立一个补充方程补充方程解：解：ABCD123FEA1l结构变形特点：结构变形特点：变形前三杆汇交于变形前三杆汇交于A A点，点，变形
6、后三杆仍交于变形后三杆仍交于A A点。点。由于结构和受力的对称性，由于结构和受力的对称性，A A点只有垂直位移。点只有垂直位移。变形协调方程：变形协调方程：ABCD123FEA1lA1A2A123物理方程物理方程A1A2A123由由变形协调变形协调方程和方程和物理物理方程，可得到补充方程。方程，可得到补充方程。ABCD123FEA1l平衡方程平衡方程补充方程补充方程解得：解得：图示结构图示结构,1,1、2 2杆的抗拉刚度相同，均为杆的抗拉刚度相同，均为EAEA，ABAB杆杆为刚杆为刚杆 ，受力如图。，受力如图。求：求：各杆的内力。各杆的内力。FAB12laaa例题例题本问题为一次超静定本问题为
7、一次超静定对杆对杆ABABFABFAB12laaa得到得到:解：解：CBCDDBAFAB12laaa变形协调方程变形协调方程由结构的变形图由结构的变形图,得到得到物理方程物理方程补充方程补充方程CBCDDBAFAB补充方程补充方程静平衡方程静平衡方程联解联解(a)(c),a)(c),得得:二、温度应力和装配应力二、温度应力和装配应力1.温度应力温度应力静定结构中当温度变化时，内部不会产生应力。静定结构中当温度变化时，内部不会产生应力。超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加超静定结构中当温度变化时，内部会产生附加应力。应力。温度应力：温度应力：超静定结构因温度变化而产生的应力。超静定结构因温度
8、变化而产生的应力。ABAB两端固支的直杆两端固支的直杆AB，长度为长度为l，抗拉刚度为抗拉刚度为EA，热膨胀系数为热膨胀系数为 l。求：求：温度升高温度升高 后杆内的应力。后杆内的应力。ABl例题例题ABl解：解：AB 本问题为一次超静定本问题为一次超静定静平衡方程静平衡方程变形协调方程变形协调方程物理方程物理方程联解，得：联解，得：ABl杆端的约束力为：杆端的约束力为：杆中的杆中的温度应力温度应力为：为：温度应力与杆的横截面面积温度应力与杆的横截面面积A，杆的长度杆的长度 l 无关。无关。无法用加大横截面面积的方法来无法用加大横截面面积的方法来减小温度应力减小温度应力ABl杆中的杆中的温度应
9、力温度应力为：为：通过一组数据说明温度应力的大小：通过一组数据说明温度应力的大小：钢材的热膨胀系数钢材的热膨胀系数 求：温度升高求：温度升高 时的时的温度应力。温度应力。解：解：温度应力的大小是很大的，工程中应当设法温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免避免。温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免常使用的方法：常使用的方法：1 1、结构中适当留一、结构中适当留一些些间隙间隙，（如钢轨，（如钢轨,桥梁桥梁,水泥路面）水泥路面）A AB B2 2、结构中适当采用、结构中适当采用伸伸缩节缩节（如管道）（如管道）AB2.2.装配应力装配应力 静定结构中
10、当结构尺寸有误差时，只会引起静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起结构几何位置的变化，内部不会产生应力。结构几何位置的变化，内部不会产生应力。超静定结构中当构件超静定结构中当构件尺寸有误差时，会引起强尺寸有误差时，会引起强迫装配，从而内部会产生迫装配，从而内部会产生附加应力。附加应力。图示静定结构，图示静定结构，1 1杆短，杆短，2 2杆长，装配时不会杆长，装配时不会产生装配应力。产生装配应力。12装配应力：装配应力：超静定结构因构件尺寸误差，引起超静定结构因构件尺寸误差，引起强迫装配而产生的应力。强迫装配而产生的应力。123 图示静不定结构，图示静不定结构，3 3杆短了，装配时会杆短了，装配
11、时会产生装配应力。产生装配应力。图示结构图示结构,3,3根杆的抗拉刚度相同，均为根杆的抗拉刚度相同，均为EAEA，3 3杆杆比设计尺寸短了比设计尺寸短了。求：强迫装配后，各杆求：强迫装配后，各杆的轴力。的轴力。ABCD123l例题例题解：解：对节点对节点A A得到：得到：还需要建立一个补充方程还需要建立一个补充方程FN3FN1FN2A本问题为一次超静定本问题为一次超静定ABCD123lABCD123lABCD123lAA1A2A3变形协调方程变形协调方程物理方程物理方程补充方程补充方程AA1A2A3ABCD123l平衡方程平衡方程补充方程补充方程解得：解得：A AB BC CD D1 12 2
12、3 3l l求：求：3 3根杆的装配应力。根杆的装配应力。图示结构图示结构,3,3根杆的抗拉刚度相同，均为根杆的抗拉刚度相同，均为 EAEA，3 3杆比设计尺寸短了杆比设计尺寸短了，若：，若：3 3根杆均为圆钢杆根杆均为圆钢杆例题例题A AB BC CD D1 12 23 3l l解：解：3 3根杆的装配内力为：根杆的装配内力为：3 3根杆的根杆的装配应力装配应力为：为：ABCD123l3 3根杆的根杆的装配应力装配应力为：为：利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭利用圆轴扭转时的变形条件可以求解扭转超静定问题。转超静定问题。A AC CB Bl la ab b两端固定的圆轴，两端固定的圆轴，受力
13、如图。受力如图。求：两端的约束力偶矩。求：两端的约束力偶矩。6-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题ACB轴受力如图轴受力如图一次超静定一次超静定变形条件：变形条件：T联解（联解（1 1）（）（2 2），得：），得：图示两种材料的组合杆，图示两种材料的组合杆，扭转刚度分别为：扭转刚度分别为：,端头受一扭转力偶矩端头受一扭转力偶矩作用作用 。求：各杆所受的力偶矩。求：各杆所受的力偶矩。例题例题物理方程：物理方程：将（将（3 3）、（）、（4 4）代入（）代入（2 2），得补充方程），得补充方程杆受力如图杆受力如图变形条件：变形条件：解：解：联解（联解（1 1）、（）、（5 5）解得：解得：6
14、-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁一、概述一、概述三、简单组合结构的超静定问题三、简单组合结构的超静定问题二、简单超静定梁二、简单超静定梁 迄今为止，所研究梁的支反力都可以利用静迄今为止，所研究梁的支反力都可以利用静平衡方程直接求得平衡方程直接求得 静定梁静定梁支反力的数量支反力的数量=独立的平衡方程的数量独立的平衡方程的数量静定梁的条件为：静定梁的条件为：实际工程中，为了提高梁的强度和刚度，常实际工程中，为了提高梁的强度和刚度，常用的方法为增加梁的支座用的方法为增加梁的支座 超静定梁超静定梁支反力的数量支反力的数量 独立的平衡方程的数量独立的平衡方程的数量对于对于超静定梁：超静定梁：一、
15、概述一、概述实例实例:细长工件的细长工件的 车削加工。车削加工。F二、简单超静定梁二、简单超静定梁为了提高加工精度，为了提高加工精度，增加尾顶针。增加尾顶针。力学模型力学模型:MAFAyFBFAx一次一次超静定梁超静定梁ABlaFC求解超静定梁的方法求解超静定梁的方法:变形比较法变形比较法1 1、解除多余约束，代以多余、解除多余约束，代以多余约束反力，建立相当系统。约束反力，建立相当系统。本问题中，解除支座本问题中，解除支座B B，代以多余约束反力代以多余约束反力F FB B。2 2、由梁的变形条件，、由梁的变形条件，求出多余约束反力。求出多余约束反力。本问题中，梁的变形条件为：本问题中，梁的
16、变形条件为：3 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。、求出多余约束反力后，按静定梁求解。ABlaFCABlaFMAFAyFAxFBC解题过程如下：解题过程如下：对于相当系统有：对于相当系统有：解得：解得：ABlaFMAFAyFAxFBCABlaF FM MA AF FAyAyF FAxAxF FB BC C作出梁的弯矩图作出梁的弯矩图M MM MA AM MC CABlFMAFAyFAxFBC特殊地，当特殊地，当 时，时，若未加尾顶针若未加尾顶针B B，此时梁上的最大弯矩为：此时梁上的最大弯矩为：MMAMCABlFMAFAyFAxFBC特殊地，当特殊地，当 时，时，梁上最大挠度为：梁上最大挠
17、度为：未加尾顶针时梁上的最大挠度为未加尾顶针时梁上的最大挠度为合理地增加多余约束合理地增加多余约束可以明显减小梁上的可以明显减小梁上的弯矩和变形。弯矩和变形。变形比较法变形比较法1、解除多余约束，代以多余约束反力，建立、解除多余约束，代以多余约束反力，建立 相当系统。相当系统。2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。、由梁的变形条件，求出多余约束反力。3、求出多余约束反力后，按、求出多余约束反力后，按静定梁求解。静定梁求解。相当系统的内力图，应力和变形即为原相当系统的内力图，应力和变形即为原超静定超静定梁的结果。梁的结果。相当系统不是唯一的，但必须是静定系统。相当系统不是唯一的，但必须是静定系统
18、。ABql作出图示梁的剪力图和弯矩图。作出图示梁的剪力图和弯矩图。例题例题FBM MA AF FAyAyF FAxAx取相当系统如图：取相当系统如图：ABql由梁的变形条件：由梁的变形条件：解得：解得：M取另一相当系统如图：取另一相当系统如图：由梁的变形条件：由梁的变形条件：ABqMA解得：解得：MqlAB求图示梁的最大弯矩。求图示梁的最大弯矩。在某些高次超静定问题中在某些高次超静定问题中,合理地应用合理地应用对称性对称性分析可以降低超静定次数。分析可以降低超静定次数。该问题理论上说，是三该问题理论上说，是三次超静定问题。次超静定问题。在忽略在忽略x x方向的轴向力方向的轴向力时，该问题简化为
19、是二时，该问题简化为是二次超静定问题。次超静定问题。可取相当系统如图：可取相当系统如图：qlABMBqlABMB由梁的变形条件：由梁的变形条件：解得：解得：MABq取另一相当系统如图：取另一相当系统如图：MBM MA A对于本问题，由对称性对于本问题，由对称性分析可知：分析可知：该问题可简化为一次超该问题可简化为一次超静定问题。静定问题。进而可得到：进而可得到：M例题（例例题（例6-86-8，p194p194）梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度外载荷外载荷ACBq4m3m2mFD求作梁的剪力图和弯矩图。求作梁的剪力图和弯矩图。解：解：ACBq4m3m2mFD本问题为本问题为一次超静定梁一次超静定梁解除解
20、除B B端的转动约束，端的转动约束，代以代以多余约束力偶多余约束力偶得相当系统如图。得相当系统如图。CFDBABqCFDBABqACBq4m3m2mFD变形条件为：变形条件为：CFDBABq由：由：得：得：解得：解得：对相当系统，可以求出各支座的支反力：对相当系统，可以求出各支座的支反力：ACBq4m3m2mFD求出支反力后，求出支反力后，即可以按照静定即可以按照静定梁的方法，画出梁的方法，画出梁的剪力图和弯梁的剪力图和弯矩图。矩图。32.0547.9518.4011.6425.6831.8023.28qlABCa三、简单组合结构的超静定问题三、简单组合结构的超静定问题例：例：求求BCBC杆的内力。杆的内力。qlAB取相当系统如图：取相当系统如图：结构的的变形条件为：结构的的变形条件为：得到：得到：解得：解得：CBalABFCD例：例：两杆的两杆的EIEI相同求相同求:取相当系统如图：取相当系统如图：ABFCCD结构的的变形条件为：结构的的变形条件为：得到：得到：对于对于ABAB梁梁,解得：解得：两梁的两梁的EIEI相同相同,杆杆 的的EA,EA,均为已知，均为已知，求求:ABFDla例题例题ABFD D相当系统如图：相当系统如图：结构的的变形条件为：结构的的变形条件为：解：解：