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1、第十五章第十五章 因子模型和因子模型和套利定价理论（套利定价理论（APT）引言第一节 因子模型第二节 套利及套利的发生第三节 套利定价理论的模型引言：引言：根据我们所学的资产组合理论，为了得到投资者的最优投资组合，要求知道：回报率均值向量回报率方差-协方差矩阵无风险利率估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级增加。由于因子模型的引入，使得估计有效边界的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视角。资本资产定价模型（CAPM）和套利定价理论（APT）是关于资本市场均衡的两个比较著名的模型。二种模型虽然在解释的角度、基本很设、方法、以及适用范围上均有重大区
2、别，但是殊途同归，它们得出的结论是一致的：期望收益与风险之间存在着正相关的关系。第一节第一节 因子模型因子模型1.1 因子模型介绍1.2 单因子模型1.3 多因子模型实际中，所有的投资者都会明显或者不明显地应用因子模型。例子：市场模型 =在给定的时间区间，证券 i 的回报率 =在同一时间区间，市场指标 I 的回报率 =截矩项 =斜率项 =随机误差项，1.11.1因子模型因子模型 介绍介绍(Factor Model)例子：Flyer公司股票的下一个月回报率 ：表示实际月回报率 ：表示期望回报率 ：表示回报率的非期望部分期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖期望回报率是市场中投资者预期到的回
3、报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。回报率的非期望部分由下一个月内显示地不可预期回报率的非期望部分由下一个月内显示地不可预期信息导致，这一部分是任何投资所要面临的风险。信息导致，这一部分是任何投资所要面临的风险。通过分析我们得到Flyer公司股票收益的组成：这里由于系统原因导致的回报率的非期望部分 由于非系统原因导致的回报率的非期望部分经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳动和原材料的成本、通货膨胀率这些变量
4、不可预期的变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化 定义定义1：因子模型：因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子运动有关的经济模型。市场模型是一种单因子模型以市场指标的回报率作为因子。由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差的准确度方面，多因子模型比市场模型更有效。作为一种回报率产生过程，因子模型具有以下几个特点。第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素。第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关一起运动仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的。第三，证券回报率中不能由因子模型解释的
5、部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因子的运动无关。因子模型在证券组合管理中的应用在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量刻画证券组合对因子的敏感度如果假设证券回报率满足因子模型，那么证券分析的基本目标就是，辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度。1.2 1.2 单因子模型单因子模型把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。例如，国内生产总值GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。表表6-1 因子模型数据因子模型数据年份 GDP增长率 A股票回报率1 5.7%14.3%2 6
6、.4 19.23 7.9 23.44 7.0 15.65 5.1 9.26 2.9 13.0图6-1中，横轴表示GDP的预期增长率，纵轴表示证券A的回报率。图上的每一点表示表6-1中，在给定的年份，A的回报率与GDP增长率的关系。通过线性回归分析，我们得到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关系。GDP增长率越大，A的回报率越高。写成方程的形式，A的回报率与GDP预期增长率之间的关系可以表示如下 (6.1)=A在 t 时的回报率,=GDP在 t 时的预期增长率,=A在 t 时的回报率的特有部分,=A对GDP的预期增长率的敏感度,=有关GDP的零因子。在图
7、6-1中，零因子是4%，这是GDP的预期增长率为零时，A的回报率。A的回报率对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的斜率。这个值表明，高的GDP的预期增长率一定伴随着高的A的回报率。如果GDP的预期增长率是5%，则A的回报率为14%。如果GDP的预期增长率增加1%为6%时，则A的回报率增加2%，或者为16%。在这个例子里，第六年的GDP的预期增长率为2.9%，A的实际回报率是13%。因此，A的回报率的特有部分（由 给出）为3.2%。给定GNP的预期增长率为2.9%，从A的实际回报率13%中减去A的期望回报率9.8%，就得到A的回报率的特有部分3.2%。从这个例子可以看出，A在任何一期的回报率
8、包含了三种成份：1在任何一期都相同的部分（）2依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同的部分（）3属于特定一期的特殊部分（）通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间t 的任何证券i 有 (6.2)：是因子在时间 t 的因子的值，对在时间 t 的所有的证券而言，它是相同的。：是证券 i 对因子 的敏感度，对证券 i 而言，不随时间的变化而变化。：是证券i 在时间t 的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为 ，且与因子 无关的随机变量，我们以后简称为随机项随机项。为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标，从而(6.2)式变为 (6.3)并且假设：1任意证券
9、 i 的随机项 与因子不相关;2任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。假设1说明，因子具体取什么值对随机项没有影响。假设2说明，一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于因子对它们的共同影响导致的。如果任何假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑不同的因子模型。对于证券 i 而言，其回报率的方差为 (6.4)定定义义2：我们称(6.4)式中的 为因因子子风风险险；为非因子风险非因子风险。对于证券 i 和 j 而言，它们之间的协方差为 (6.5)单因子模型具有两个重要的性质。第一个性质，单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量
10、。第二个性质与风险的分散化有关。分散化导致因子风险的平均化 分散化缩小非因子风险。1.3 1.3 多因子模型多因子模型经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体，用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的。一般来说，下面的几种因素会对整个经济产生普遍的影响。1 GDP的增长率2 短期国库券的利率水平3 长短期国债的收益率之差4.公司债与国债的收益率之差5.通货膨胀率6.石油价格7.技术进步1.3.11.3.1两两因因子子模模型型，即，回报率生成过程包括两个因子。在 t 时的两因子模型方程为：(6.6)和
11、 是影响证券回报率的主要因素 和 是证券 i 对两因子的敏感度 是随机项 是零因子回报率例子例子 表表6-2 因子模型数据因子模型数据年份 GDP增长 通货膨胀率 A股票回报率1 5.7%1.1%14.3%2 6.4 4.4 19.23 7.9 4.4 23.44 7.0 4.6 15.65 5.1 6.1 9.26 2.9 3.1 13.0证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券B的回报率、GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个平面。这个平面的方程为平面在GDP增长率方向的斜率（=2.2）
12、表示证券B的回报率对GDP增长率变化的敏感度。平面在通货膨胀率方向的斜率（=0.7）表示证券B的回报率对通货膨胀率变化的敏感度。敏感度符号说明，当预期GDP增长率或者通货膨胀率增加或减少时，证券B的回报率相应地增加或者减少。平面的截距表示B的零因子回报率为5.8%。B的实际回报率与平面上对应点的差为回报率的随机项部分。例如，B在第六年的随机项为3%。和单因子模型一样，我们只考虑一期的模型，所以省掉时间的角标。两因子模型方程如下：(6.7)并且假设：1证券的随机项与因子不相关，2证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。两因子模型具有单因子模型的重要性质。1有关证券组合前沿的估计量和计算量大大
13、减少。2分散化导致因子风险的平均化。3分散化缩小非因子风险。1.3.2 多因子模型一般形式 为要素的个数。之间互不相关，并且与因子也不相关。第二节第二节 套利定价模型套利定价模型2.1套利证券组合套利证券组合基础性假设：证券的收益率受一种或多种因素的影响，可由因素模型决定。另外还假设投资喜欢获利较多的投资策略；市场上有大量不同的资产；允许卖空等。竞争性均衡状态：不存在套利机会，即没有一个投资者不承担风险、不需要额外资金就能获得收益的机会。套利：不需要投资就可以利用证券的不同价格获得无风险利润。套利证券组合：不需要额外投资：不承担风险：具有正的期望收益率：2.2套利定价方程：如不存在套利机会，市
14、场便达到了均衡，此时不可能产生套利组合。由此我们可以证明，此时证券的期望收益率完全由它所承担的因素风险所决定，即有：其中：为无风险收益率，表示对第j因素具有单位敏感度的因素风险溢价 套利定价理论的基本思想是市场上一物一价，如果存在一物多价的情况就会产生无风险套利的机会，而无风险套利活动将使一物多价的情形消失，恢复到一物一价的市场均衡状态。2.3CAPM模型与模型与APT模型比较模型比较2.3.1 CAPM与APT基本假设比较：与资本资产定价模型一样，套利定价理论假设：1.投资者有相同的投资理念；2.投资者是回避风险的，并且要效用最大化；3.市场是完全的。与资本资产定价模型不同的是，套利定价理论
15、还包括以下假设：1.单一投资期；2.不存在税收；3.投资者能以无风险利率自由借贷；4.投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。APT与CAPM定价的比较:CAPM是典型的收益/风险权衡所主导的市场均衡，APT特别强调的是无套利均衡原则。无风险套利机会建立市场均衡价格和收益/风险权衡关系建立市场价格均衡关系有着本质区别：收益/风险权衡关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，就会有许多投资者调整自己的投资组合来重建市场均衡，但每个投资者只对自己的头寸作有限范围的调整。套利则不然，一旦出现套利机会，每一个套利者都会尽可能大的构筑头寸，因此从理论上来讲，只需少数几位（甚至只需一位）套利者就可以重
16、建市场均衡。CAPM是典型的收益/风险权衡所主导的市场均衡，每一位投资者都按照自己的收益/风险偏好选择有效组合边界上的投资组合。如果市场组合中的某一项证券价格失衡，资本市场线就会发生移动，所有投资者都会吸纳价植被低估的证券而抛出价值被高估的证券。所以重建市场均衡的力量来自于许多投资者共同行为。APT不需要CAPM赖以成立的那些有关市场假设的条件。CAPM对证券回报率的分布以及个体的效用函数作出假设，APT假设证券的回报率是由因子模型产生在CAPM中，证券的价格依赖于市场组合的回报率，需要对其进行估计，而APT需要对因子回报率进行估计。思考题：何为单因素模型？并解释为什么它可以减少有效边界的计算量？解释套利定价理论的内容、它的假设基础以及收益与风险之间的线性关系？