《线性代数课件-3-2-精品文档整理.PPT》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课件-3-2-精品文档整理.PPT（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二节 矩阵的秩矩阵秩的概念矩阵秩的概念矩阵秩的求法，性质矩阵秩的求法，性质小结，思考题小结，思考题 一、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩定义定义 2 设在矩阵设在矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r阶子式阶子式 D，全等于零，全等于零，式式，r 称为矩阵称为矩阵 A 的的秩秩，记作，记作 R(A)矩阵的秩等于零矩阵的秩等于零且所有且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）阶子式（如果存在的话）那么那么 D 称为矩阵称为矩阵 A 的的最高阶非零子最高阶非零子并规定零并规定零例例1解解(1)(1)若矩阵若矩阵 中有某个中有某个s s阶子式不为零，则阶子式不为零，则 若若 中所有中所有t t
2、阶子式全为零，则阶子式全为零，则(2)(3)若若 为为 矩阵，则矩阵，则矩阵秩的简单性质矩阵秩的简单性质(4)可逆矩阵的秩可逆矩阵的秩例例2 2解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，例例3解解为非零行行数为非零行行数事实：事实：行阶梯形矩阵的秩=非零行行数。求一般矩阵的秩能否利用这一事实呢？问题问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？：经过初等变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.另解另解显然，非零行的行数为
3、显然，非零行的行数为2，此方法简单！此方法简单！例例4 4解解分析：分析：例5 解解三.矩阵秩的性质(1).(2).(3).(4).(5).(6).（定理）（定理）例例 6 设设 A 为为 n 阶方阵，证明阶方阵，证明R(A+E)+R(A E)n.证明证明因因(A+E)+(E A)=2E，由性质由性质(4)有有R(A+E)+R(E A)R(2E)=n，而而 R(E A)=R(A E)，所以，所以R(A+E)+R(A E)n.证毕证毕例例 7 证明：若证明：若 Am n Bn l=C，且，且 R(A)=n,则则 R(B)=R(C).证明证明因因 R(A)=n,知知 A 的行最简形矩阵为的行最简形
4、矩阵为并有并有 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使，使于是于是由矩阵秩的性质由矩阵秩的性质(2)知知 R(C)=R(PC)，而，而 故故 R(C)=R(B).证毕证毕 四、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)(1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).3.理解秩的性质，会做简单的证明。理解秩的性质，会做简单的证明。(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);本周作业 P 78 10（1），（3）12 19,20思考题求矩阵的秩