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1、数学建模中的层次分析法层次分析法(AHP)l一、概述l二、基本思路l三、步骤l四、应用举例l五、几个问题l六、建模中的应用一、层次分析法概述 层次分析法层次分析法 美国运筹学家美国运筹学家Saaty于二十世纪于二十世纪70年代提出年代提出 一种实用的一种实用的多方案多方案或或多目标多目标的决策方法的决策方法 它合理地将定性与定量的决策结合起来它合理地将定性与定量的决策结合起来 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化 是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。l背景：背景：决策问题
2、决策问题-在多种方案中依据一定的标准选择某一种方案。在多种方案中依据一定的标准选择某一种方案。（购物、旅游、排队、择业（购物、旅游、排队、择业）l人物：人物：T.L.Saaty-美国著名运筹学专家，皮斯堡大学教授美国著名运筹学专家，皮斯堡大学教授l历史：历史：曾研究应急计划、电力分配、运输业研究，曾研究应急计划、电力分配、运输业研究，1979正式提出层次分析法。正式提出层次分析法。美国高等教育事业美国高等教育事业 1985-2000展望，展望，1985年世界石油价格预测等。年世界石油价格预测等。l工具：工具：矩阵理论，矩阵理论，Matlabl作用：作用：层次分析法在决策工作中有广泛的应用。层次
3、分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重数。主要用于确定综合评价的权重数。-能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价、决策能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价、决策二、基本思路分解分解建立建立 确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结层次结构构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相 对重要性对重要性权向权向量量综合决策综合决策先先分解后综合分解后综合的系统思想：的系统思想：首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按
4、不同层次聚集组合，形成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m2递阶层次结构判别矩阵ZC1C2C3CnC1a11a12a13a1nC21/1/a12a22a23a2nC31/1/a131/1/a23a33a3nCn1/1/a1n1/1/a2n1/1/a
5、3nann三、基本步骤1、建立系统的递阶层次结构建立系统的递阶层次结构(如图如图)（分析系统中各个因素的关系）（分析系统中各个因素的关系）2、构造两两比较构造两两比较判断矩阵判断矩阵（正互反矩阵）（正互反矩阵）(如图如图)（对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较）（对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较）3、层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验 （根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并做一致性检验（根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并做一致性检验)4、层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验 (计算各层元素对系统
6、目标的合成权重，并进行排序、检验计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序、检验)以例以例说明说明目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素
7、间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。成以上步骤，给出决策问题的定量结果。层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C
8、2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地 O C1 C2 C3 C4 C5 C1 1 1 1/21/2 4 4 3 3 3 3 C2 2 2 1 1 7 7 5 5 5 5 C3 1/41/4 1/71/7 1 1 1/21/21/31/3 C4 1/31/3 1/51/5 2 2 1 1 1 1 C5 1/31/3 1/51/5 3 3 1 1 1 1成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的
9、允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量
10、2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现，19
11、尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指
12、标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR通过一致通过一致性检验性检验组合权
13、向量组合权向量记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较阵的成对比较阵方案层对方案层对C2(费用费用)的成对比较阵的成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 2 n 权向量权向量 w1(3)w2(3)wn(3)第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.17
14、50.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验 w(2)方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T组合组合权向量权向量第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1,Pm第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层各元素的权向量层各元素的权向量构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量其中其中W(p)是由第
15、是由第p层对第层对第p-1层权向量组成的矩阵层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵
16、计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。四四.层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：
17、决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。断力强的专家给出。国家综合实力国家综合实力国民国民收入收入军事军事力量力量科技科技水平水平社会社会稳定稳定对外对外贸易贸易美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国工作选择工作选择贡贡献献发发展展声声誉誉关关系系位位置置供选择的岗位供选择的岗位例例1 国家国家实力分析实力分析例例2 工作选择工作选择过河的效益过河的效益
18、A经济效益经济效益B1社会效益社会效益B2环境效益环境效益B3节节省省时时间间C1收收入入C2岸岸间间商商业业C3当当地地商商业业C4建建筑筑就就业业C5安安全全可可靠靠C6交交往往沟沟通通C7自自豪豪感感C8舒舒适适C9进进出出方方便便C10美美化化C11桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D3（1）过河效益层次结构）过河效益层次结构例例3 横渡江横渡江河、海峡方河、海峡方案的抉择案的抉择过河的代价过河的代价 A经济代价经济代价 B1环境代价环境代价B3社会代价社会代价B2投投入入资资金金C1操操作作维维护护C2冲冲击击渡渡船船业业C3冲冲击击生生活活方方式式C4交交通通拥拥挤挤C5居居民民搬搬
19、迁迁C6汽汽车车排排放放物物C7对对水水的的污污染染C8对对生生态态的的破破坏坏C9桥梁桥梁D1隧道隧道D2渡船渡船D2（2）过河代价层次结构）过河代价层次结构例例3 横渡江横渡江河、海峡方河、海峡方案的抉择案的抉择待评价的科技成果待评价的科技成果直接直接经济经济效益效益 C11间接间接经济经济效益效益 C12社会社会效益效益 C13学识学识水平水平 C21学术学术创新创新 C22技术技术水平水平 C23技术技术创新创新 C24效益效益C1水平水平C2规模规模C3科技成果评价科技成果评价例例4 科技成果科技成果的综合评价的综合评价五五.层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特
20、征根是否为正数？特征向量正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？近一致阵的程度？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？层次分析法？层次分析法的优点层次分析法的优点 系统性系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策综合的思维方式进行决策系
21、统分析（与机理分析、系统分析（与机理分析、测试分析并列）；测试分析并列）；实用性实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；法不能解决的问题；简洁性简洁性计算简便，结果明确，便于决策者计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。直接了解和掌握。层次分析法的局限层次分析法的局限 囿旧囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；只能从原方案中选优，不能产生新方案；粗略粗略定性化为定量，结果粗糙定性化为定量，结果粗糙；主观主观主观因素作用大，结果可能难以服人。主观因素作用大，结果可能难以服人。六、建模中的应用1.*资金决策问题2.工作选择问题3.质量评价问题4.*最佳食品搭配问题5.*住房分配问题.pdf6.*公务员招聘问题.pdf （结合（结合0-1规划规划）7.建模组队问题.doc （结合动态规划（结合动态规划 韩中庚韩中庚数学建模方法及其应用数学建模方法及其应用）8.石油投资问题.pdf （结合模糊评价（结合模糊评价 清华大学学报清华大学学报2006（46）6）9.*银行排名10.彩票问题