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1、气动能量均分定理 速率分布本讲稿第一页，共三十二页一、自由度：决定物体空间位置的一、自由度：决定物体空间位置的独立独立坐标数坐标数 即即加加入入某某种种约约束束条条件件下下，自自由由度度相相应应减减少少。如如球球面面运运动的质点满足动的质点满足：自由度减少为自由度减少为2个。个。一般情况：平动自由度一般情况：平动自由度+转动自由度转动自由度定轴转动：定轴转动：1个自由度个自由度特殊情况：特殊情况：XYZoXYZABC12-5 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能2022/10/262本讲稿第二页，共三十二页3 3）气体分子的自由度）气体分子的自由度理想气体的刚性分子理想气体的刚性
2、分子A A：单原子分子：单原子分子33个自由度个自由度B B：双原子分子：双原子分子决定质心决定质心 3 3个自由度个自由度确定转轴方位确定转轴方位 2 2个自由度个自由度C C：三原子以上的分子：三原子以上的分子X XY YZ Z6 6个自由度个自由度视为刚体视为刚体实际气体实际气体不能看成刚性分子，因原子之间不能看成刚性分子，因原子之间 还有还有振动振动X XY YZ ZC Cc c2022/10/263本讲稿第三页，共三十二页例如：氢气（例如：氢气（H H2 2）在高温下两氢原子之间就有）在高温下两氢原子之间就有 振动，氯气（振动，氯气（ClCl2 2）在常温下便有振动。）在常温下便有振
3、动。这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子这时可以看作由两质点组成的弹性谐振子 对双原子分子对双原子分子-6-6个自由度（多了个自由度（多了确定两原子之间相对位置的自由度）确定两原子之间相对位置的自由度）对多原子系统（对多原子系统（N N 3 3）3 3个平动自由度（个平动自由度（t）3 3个转动自由度（个转动自由度（r）（3N-63N-6）个振动自由度（）个振动自由度（v）3N3N个自由度个自由度（不证明了）（不证明了）2022/10/264本讲稿第四页，共三十二页二、二、能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理先来分析一下单原子分子的平均平动动能先来分析一下单原子分子的平均平动动能两边同乘两
4、边同乘2022/10/265本讲稿第五页，共三十二页这说明，分子的平均平动动能这说明，分子的平均平动动能是均匀地分是均匀地分配在对应每一个自由度的运动上的。即对应每配在对应每一个自由度的运动上的。即对应每一个自由度，就有对应的一份能量一个自由度，就有对应的一份能量 麦克斯韦将以上情况推广到分子的转动和振动麦克斯韦将以上情况推广到分子的转动和振动即对应于转动和振动的即对应于转动和振动的每个自由度每个自由度的运动也都的运动也都有一份能量有一份能量2022/10/266本讲稿第六页，共三十二页 气体处于气体处于平衡态平衡态时，分子任何一个自由时，分子任何一个自由度的平均能量都相等，均为度的平均能量都
5、相等，均为 ，这就是，这就是能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理。如某种分子有如某种分子有t 个平动自由度，个平动自由度，r 个转动自由度，个转动自由度，v个个 振动自由度，则分子具有：振动自由度，则分子具有：平均平动动能平均平动动能 平均转动动能平均转动动能 平均振动动能平均振动动能2022/10/267本讲稿第七页，共三十二页注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份振动的动动能能外，还有一份平均外，还有一份平均势能势能。结论：分子的平均总能量结论：分子的平均总能量t,r,v分别代表平动、转动和振动的自由度。分别代表平动、转动和振动的自由度。
6、t-translation,r-rotation,v-vibrationi 代表代表分子的能量自由度分子的能量自由度2022/10/268本讲稿第八页，共三十二页对刚性分子：对刚性分子：对非刚性分子：对非刚性分子：这是必须记住的几个这是必须记住的几个i值值!2022/10/269本讲稿第九页，共三十二页关于能量均分定理的几点说明：关于能量均分定理的几点说明：4）定理有一定的局限性。）定理有一定的局限性。3）定理也适用于液体和固体。）定理也适用于液体和固体。2）能量按自由度均分是气体分子在无规则运动中不断）能量按自由度均分是气体分子在无规则运动中不断碰撞碰撞，交换能量的结果。碰撞时，分子之间可交
7、换能，交换能量的结果。碰撞时，分子之间可交换能量，分子的动能与势能之间也可相互转化。量，分子的动能与势能之间也可相互转化。1）定定理理是是一一条条统统计计规规律律，只只能能适适用用于于大大量量分分子子的的平均或一个分子长时间的平均或一个分子长时间的平均平均。2022/10/2610本讲稿第十页，共三十二页三、理想气体的内能三、理想气体的内能1、内能是状态量、内能是状态量一般言之，分子除有动能外一般言之，分子除有动能外，分子之间还有势能。动能与温度有关，势能，分子之间还有势能。动能与温度有关，势能与分子之间的距离有关，即与体积有关，即与与分子之间的距离有关，即与体积有关，即与温度、体积有关。温度
8、、体积有关。2、理想气体的内能表达式、理想气体的内能表达式理想气体之间的相互作用可以忽略，故理想气体之间的相互作用可以忽略，故理想气理想气体的内能应为各分子总能量之和体的内能应为各分子总能量之和。2022/10/2611一句话，内能是状态量一句话，内能是状态量本讲稿第十一页，共三十二页一摩尔理想气体的内能（一摩尔理想气体的内能（p.188）m克理想气体的内能：克理想气体的内能：结论：内能是温度的单值函数结论：内能是温度的单值函数理想气体的理想气体的 另一定义。另一定义。（如果是刚性分子，（如果是刚性分子，v=0）理想气体内能变化理想气体内能变化 2022/10/2612本讲稿第十二页，共三十二
9、页讨论：下列各式所表示物理意义？讨论：下列各式所表示物理意义？解：解：（1）表示理想气体分子每一自由度）表示理想气体分子每一自由度 所具有的平均能量。所具有的平均能量。（2）表示单原子分子的平均动能或分子的平均平动动能。）表示单原子分子的平均动能或分子的平均平动动能。（3）表示自由度为）表示自由度为i的分子的平均能量。的分子的平均能量。（4）表示分子自由度为）表示分子自由度为i的的1mol理想气体的内能。理想气体的内能。（5）表示）表示自由度为自由度为i质量为质量为m的理想气体的内能。的理想气体的内能。2022/10/2613本讲稿第十三页，共三十二页12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律麦克斯
10、韦气体分子速率分布律2022/10/2614 气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞，每个气体分子在无序运动中不断发生频繁碰撞，每个分子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻，气体分子运动速率不断地发生变化。某一特定时刻，气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的。但对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理的。但对大量分子的整体，在一定条件下，实验和理论都证明气体分子的速率分布遵从一定的统计规律。论都证明气体分子的速率分布遵从一定的统计规律。大量分子的系统大量分子的系统处于处于平衡态平衡态时的速率分布为麦克时的速率分布为麦克斯韦速率分布。斯韦
11、速率分布。本讲稿第十四页，共三十二页一、气体速率分布的实验一、气体速率分布的实验 1920年斯特恩（年斯特恩（O.Stern)首先测出银蒸汽分子的速率分布。首先测出银蒸汽分子的速率分布。在近代气体分子速率的实验成功之前，在近代气体分子速率的实验成功之前，1859年麦克斯韦、玻年麦克斯韦、玻尔兹曼等人已从理论（概率论、统计力学等）上确定了气体分子尔兹曼等人已从理论（概率论、统计力学等）上确定了气体分子按速率分布的统计规律。按速率分布的统计规律。斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验 1955年密勒年密勒（Mlier)和库士和库士（Ku
12、sch)测出钍蒸汽分子测出钍蒸汽分子的速率分布。的速率分布。1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布。率分布。2022/10/2615本讲稿第十五页，共三十二页实验装置实验装置1、测定气体分子速率分布的实验测定气体分子速率分布的实验装置装置 P189金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵到显示屏的是分子射线中速率在到显示屏的是分子射线中速率在 的分子的分子2022/10/2616本讲稿第十六页，共三十二页2、实验结果、实验结果(1)分布在不同速率区间内的相对分子数不相等。分布在不同速率区间内的相对分子数不相等。(2)实验条件一定时
13、，分布在一定速率区间内的相对实验条件一定时，分布在一定速率区间内的相对分子数是确定的。即大量分子的速率遵从一定的统计分子数是确定的。即大量分子的速率遵从一定的统计规律。规律。2022/10/2617本讲稿第十七页，共三十二页分子速率分布图分子速率分布图：分子总数分子总数 为速率在为速率在 区间的分子数。区间的分子数。表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总分子数的百分比子数占总分子数的百分比。2022/10/2618本讲稿第十八页，共三十二页3、分布函数、分布函数 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比。归一化归一化条件条件 表示在温度为表示在
14、温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近附近单位单位速率区间速率区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比。物理意义物理意义2022/10/2619本讲稿第十九页，共三十二页速率位于速率位于 内分子数内分子数速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比2022/10/2620本讲稿第二十页，共三十二页麦氏分布函数麦氏分布函数二、二、麦克斯韦气体速率分布定律麦克斯韦气体速率分布定律 反映理想气体在热动反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分分子数占总分子数的百分比
15、的规律。比的规律。2022/10/2621本讲稿第二十一页，共三十二页三、三、三种统计速率三种统计速率1）最概然速率最概然速率根据分布函数求得根据分布函数求得 气体在一定温度下分布在最概然气体在一定温度下分布在最概然速率速率 附近单位速率间隔内的相对附近单位速率间隔内的相对分子数最多分子数最多。物理意义物理意义2022/10/2622本讲稿第二十二页，共三十二页2）平均速率平均速率2022/10/2623本讲稿第二十三页，共三十二页3）方均根速率方均根速率2022/10/2624本讲稿第二十四页，共三十二页vp2022/10/2625本讲稿第二十五页，共三十二页 N2 分子在不同温度分子在不同
16、温度下的速率分布下的速率分布2022/10/2626本讲稿第二十六页，共三十二页 同一温度下不同气体同一温度下不同气体的速率分布的速率分布2022/10/2627本讲稿第二十七页，共三十二页清楚以下什么含义吗？清楚以下什么含义吗？2022/10/2628本讲稿第二十八页，共三十二页1）2）例例1 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 。求：求：1）速率在速率在 间的分子数；间的分子数；2）速率在速率在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和。速率在速率在 间的分子数间的分子数2022/10/2629本讲稿第二十九页，共三十二页 例例2 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，曲线，从图上数据求出两气体最概然速率。从图上数据求出两气体最概然速率。2 0002022/10/2630本讲稿第三十页，共三十二页解解2022/10/2631本讲稿第三十一页，共三十二页作业作业第四章第四章 25，32，33，35，39，402022/10/2632本讲稿第三十二页，共三十二页