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1、不定积分的定义第1页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算基本积分公式基本积分公式 由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表 上页上页下页下页第2页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)直接积分法 利用基本积分表和积分运算法则,最多对被积函数作适当变形就可以积分的方法,称为直接积分法v利用积分表和运算法则例1.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页上页下页下页第3页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（基本公式和法则）(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页上页下页下页第4页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)利用
2、代数变形例2.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页上页下页下页第5页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（代数变形）(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页上页下页下页第6页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)利用三角变形例3.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页上页下页下页第7页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（三角变形）(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页上页下页下页第8页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)课堂练习一.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)二
3、.已知物体的速度 ，当t=1时，物体经过的路程为3，求物体运动规律？上页上页下页下页第9页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(直接积分法)课堂练习 答案一.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)二.已知物体的速度 ，当t=1时，物体经过的路程为3，求物体运动规律？解:,由s(1)=3得所以运动规律 -完-上页上页下页下页第10页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)前言 利用基本积分表和运算法则可以积分的函数非常有限.下面介绍换元积分法-将要计算的积分通过变量替换化成基本积分表中已有的形式,算出原函数后,再换回原来的变量.换元积分法包括:第一类换元积分(凑微分)和第二类换元
4、积分v提出问题 如何求积分:v解决方法 像复合函数求导一样,我们引入中间变量u,将被积函数变成基本积分表中的函数,积分后再回代变量.上页上页下页下页第11页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)例1.求积分:解：令u=2x,du=2dx,则例2.求积分:解:令u=2x+1,du=2dx,则例3.求积分:解:令u=x+1,du=dx,则上页上页下页下页第12页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)其实,在上面的例子中可以这样求解.例4.求积分:(1)(2)(注:回忆前面所讲的微分式子)解(1)因为 ,所以 (2)因为 ,所以 上面这种求积分的方法称为“凑微分法”.上页
5、上页下页下页第13页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)复习微分式:例5.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)上页上页下页下页第14页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)解:(1)(2)(3)(4)上页上页下页下页第15页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)例6.求下列积分(1)(2)(3)(4)解(1)(2)(3)(4)上页上页下页下页第16页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)小 结(第一类换元积分,即凑微分)v使用环境如果被积函数可以整理为如下形式,则可使用凑微分.注意事项(1)熟悉基本积分公式;(2)熟悉常用凑微分式;(
6、3)明确将哪部分放进微分里(即凑微分).上页上页下页下页第17页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)课堂练习 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)-上页上页下页下页第18页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(凑微分法)课堂练习 解 答 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)-完-上页上页下页下页第19页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)如何求如下积分呢?通过观察,上面积分很显然不能使用“凑微分法”,所以必须另寻新的积分方法第二类换元积分(即先作变量替换,积分后再回代变量)第二类换元积分通常包括:根
7、式换元和三角换元根式换元例7.求积分:解:上页上页下页下页第20页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例8.求积分:解:上页上页下页下页第21页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例9.求积分:解:上页上页下页下页第22页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)三角换元例10.求积分:解:上页上页下页下页1第23页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例11.求积分:解:上页上页下页下页1第24页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)例12.求积分:解:上页上页下页下页2第25页，本讲稿共37页 课题八
8、、不定积分的计算(第二类换元法)小 结(第二类换元积分法)使用环境 当求积分 较困难,但作变量替换 后,而新的积分 容易积分时使用.若 的反函数存在时,有换元方式(1)根式换元(2)三角换元上页上页下页下页第26页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)课堂练习 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页上页下页下页第27页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法)课堂练习 答 案 求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)-完-上页上页下页下页第28页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)分部积分公式(由乘积的微分公式得到
9、)说明:(1)当积分 不易计算,而积分 容易积分时,考虑使用本公式;(2)使用的关键是正确选择u和dv.下面,我们通过例子来分析和总结公式的使用技巧.例13.求积分:分析:对照公式 我们要将xexdx变形为udv的形式,即形成公式的左边,就必须将被积函数中的某一项“拿进”微分里去,形成某一函数的微分,即dv.那么,将哪项“拿进”微分里去呢?上页上页下页下页第29页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)事实上,哪项都可以拿进微分里“凑微分”.下面我们就来分别试一试!方法一.将x拿进微分里“凑微分”观察:后项积分比前项积分(所求)更复杂,更难于积分.方法二.将ex拿进微分里“凑微分
10、”说明方法二的选择是正确的.上页上页下页下页容易积分第30页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)练一练:如何求积分:例14.求积分：分析:现在我们换个角度来分析,由公式 知 在第二个积分中要对u求微分(即导数),幂函数求导后次数会降低;而余弦函数求导后仅变成正弦,对积分的难度没有影响.由此可见,应把幂函数x作为u,而将cosx拿进微分里“凑微分”.解：上页上页下页下页凑微分第31页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)同理可求积分:总结规律:(1)若被积函数为幂函数与指数函数或正(余)弦函数相乘时,可使用分部积分法,此时选择幂函数作为u.例4.求积分:分析:由
11、于对数函数求导后,会将“对数符号”去掉,所以应选择对数函数作为u.解：上页上页下页下页第32页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)例15.求积分：分析：选择反正切函数作为u.解：上页上页下页下页拆项第33页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)总结规律:(2)若被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数相乘时,可使用分部积分法,此时选择对数函数或反三角函数作为u.特别地,求积分:分析:由于被积函数仅一项,由上述规律(2),此时应将dx中的x看成v,即已经满足分部积分公式,直接使用公式.解：上页上页下页下页凑微分第34页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部
12、积分法)例16.求积分：分析：由于指数函数与余弦函数求导后具有循环性,故选择哪项作为u都可以.为了方便,选cosx作为u.解：上页上页下页下页再分部积分第35页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)同理:可求 总结规律:(3)对于形如 的积分,通过两次使用分部积分后,将形成一个原来的积分形式,通过解方程求出最后的结果.练一练求下列积分:上页上页下页下页第36页，本讲稿共37页 课题八、不定积分的计算(分部积分法)提高题(1)设 是f(x)的一个原函数,求积分:提示:设 ,使用分部积分法.(2)求积分:提示:完全平方展开,使用分部积分法.-完-上页上页主页主页第37页，本讲稿共37页