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1、第8章线性离散系统的分析与综合第1页，本讲稿共71页C-rA/D数字计算机D/A被控对象T0m保持器数字控制器被控对象-rT0mC保持器一一.数字控制系统数字控制系统1.定义：2.组成：(1).(1).框图框图(2).(2).工作过程工作过程(3).(3).简化框图简化框图数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。$1$1 采样过程采样过程第2页，本讲稿共71页 二二.采样过程采样过程1.1.基本概念基本概念(1)(1)采样周期采样周期:(2)(2)采样频率采样频率:(3)(3)采样角频率采样角频率:(4)(4)采样脉冲序列采样脉冲序列:(5)(5)
2、采样过程采样过程:t0T02T03T04T05T06T0第3页，本讲稿共71页2.2.数学描述数学描述(1)(2)二二.采样过程采样过程第4页，本讲稿共71页(3)二二.采样过程采样过程第5页，本讲稿共71页0一一.采样定理采样定理(Shannon)(Shannon)二二.采样周期的选取采样周期的选取$2 采样周期的选择第6页，本讲稿共71页控制过程采样周期(s)流量1压力5液面520成分20温度二二.采样周期的选取采样周期的选取第7页，本讲稿共71页t一一.零阶保持器零阶保持器(zero order holder)(zero order holder)二二.一阶保持器一阶保持器信号保持是指将
3、离散信号 脉冲序列转换成连续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器。$3$3 信号保持信号保持第8页，本讲稿共71页一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)(1)(1)级数求和级数求和$4 z$4 z变换变换第9页，本讲稿共71页例例1.1.试求单位阶跃函数的试求单位阶跃函数的Z Z变换变换例例2.2.试求取衰减的指数函数试求取衰减的指数函数e e-at-at(a)(a)的的Z Z变换。变换。解：解：解：解：一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)第10页，本讲稿共71页(2)(2)部分分式法部分分式法一一.Z.Z变换变换
4、(Z-transforms)(Z-transforms)第11页，本讲稿共71页例3.求取具有拉氏变换为 的连续函数X(t)的Z变换。解：解：一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)第12页，本讲稿共71页一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)第13页，本讲稿共71页例.求X(s)=的Z变换。解:一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)第14页，本讲稿共71页例:解：一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)第15页，本讲稿共71页(3)(3)留数计算
5、法留数计算法例例4.4.试求试求x(t)=tx(t)=t的变换。的变换。解:一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)第16页，本讲稿共71页例例5.5.试求取试求取X(s)=k/sX(s)=k/s2 2(s+a)(s+a)的的Z Z变换。变换。解：一一.Z.Z变换变换(Z-transforms)(Z-transforms)第17页，本讲稿共71页二二.Z.Z变换的基本定理变换的基本定理(1)(1)线性定理线性定理(2)(2)实数位移定理实数位移定理(a)(a)迟后定理迟后定理第18页，本讲稿共71页说明说明:(1):(1)迟后定理说明迟后定理说明,原函数在时
6、域中延迟原函数在时域中延迟K K个采样周期个采样周期,相当于相当于Z Z变换乘以变换乘以Z Z-K-K。(2)(2)算子算子Z Z-K-K的物理意义的物理意义:Z:Z-K-K代表迟后环节代表迟后环节,它把采样信号延迟它把采样信号延迟K K个个采样周期。采样周期。二二.Z.Z变换的基本定理变换的基本定理第19页，本讲稿共71页(b)(b)超前定理超前定理二二.Z.Z变换的基本定理变换的基本定理第20页，本讲稿共71页例例1:1:用实数位移定理计算延迟一个采样周期用实数位移定理计算延迟一个采样周期T T的单位的单位阶跃函数的阶跃函数的Z Z变换。变换。例例2:2:计算延迟一个采样周期的指数函数计算
7、延迟一个采样周期的指数函数e e-at-at的变换。的变换。解：解：二二.Z.Z变换的基本定理变换的基本定理第21页，本讲稿共71页(3)(3)终值定理终值定理(4)(4)初值定理初值定理二二.Z.Z变换的基本定理变换的基本定理第22页，本讲稿共71页 例3:设Z变换函数为:使用终值定理确定e(nT0)的终值。解:二二.Z.Z变换的基本定理变换的基本定理第23页，本讲稿共71页 三三.Z.Z反变换反变换(inverse z-transforms)(inverse z-transforms)(1)(1)长除法长除法第24页，本讲稿共71页三三.Z.Z反变换反变换(inverse z-transf
8、orms)(inverse z-transforms)例6.试求取 的Z反变换X+(t)。解：第25页，本讲稿共71页(2)部分分式法例例.试求试求 的反变换。的反变换。解：将X(z)展开成部分分式查表求出展开式各项对应的时间函数X(t)将X(t)转换成采样信号X*(t)三三.Z.Z反变换反变换(inverse z-transforms)(inverse z-transforms)第26页，本讲稿共71页例.试求 的Z反变换。解：三三.Z.Z反变换反变换(inverse z-transforms)(inverse z-transforms)第27页，本讲稿共71页(3)(3)留数计算法留数计算
9、法 三三.Z.Z反变换反变换(inverse z-transforms)(inverse z-transforms)第28页，本讲稿共71页例.试求 的Z反变换。解：三三.Z.Z反变换反变换(inverse z-transforms)(inverse z-transforms)第29页，本讲稿共71页-Kr(t)e(t)y(t)1/S 一一.离散系统的差分方程模型离散系统的差分方程模型例例1.1.右图所示的一阶系统右图所示的一阶系统描述它的微分方程为描述它的微分方程为$5 差分方程及其z变换法求解第30页，本讲稿共71页y(t)KZ0H1/Sr(t)eh(t)-e(t)例例2.2.右图所示为采
10、样控制右图所示为采样控制系统采样器的采样周期为系统采样器的采样周期为T.T.试求其差分方程。试求其差分方程。解:说明说明：(1)(1)例例2 2图去掉图去掉ZOHZOH和采样就是例和采样就是例1 1 (2)(2)离散系统的差分方程就是系统的近似离散化模型离散系统的差分方程就是系统的近似离散化模型 一一.离散系统的差分方程模型离散系统的差分方程模型第31页，本讲稿共71页x1(kT)x2(kT)x2(z)x1(z)x1(0)1 二.离散系统差分方程的模拟图离散系统差分方程的模拟图第32页，本讲稿共71页 例例3.3.画出例画出例2 2所示离散系统的模拟图所示离散系统的模拟图r(kT)KTKT-1
11、y(kT)y(k+1)T 二.离散系统差分方程的模拟图离散系统差分方程的模拟图第33页，本讲稿共71页 三三.差分方程的解差分方程的解第34页，本讲稿共71页例例4.4.用用Z Z变换法解二阶差分方程变换法解二阶差分方程y y(k+2k+2)T T+3y+3y(k+1k+1)T T+2y+2y(kTkT)=1=1(kTkT)初始条初始条件为件为y y(0)=0,(0)=0,y y(T T)=1)=1解解:三三.差分方程的解差分方程的解第35页，本讲稿共71页 例例5.5.求求y y(k k+2)+2)T T+y y(k k+1)+0.24+1)+0.24y y(kTkT)=)=u u(kTkT
12、)在单位阶跃函数作用下在单位阶跃函数作用下的解。初始条件的解。初始条件y y(0)=0,(0)=0,y y(T T)=1.)=1.解解:三三.差分方程的解差分方程的解第36页，本讲稿共71页$6$6 脉冲传递函数脉冲传递函数G(s)T0c(t)C(z)定义：输出脉冲序列的定义：输出脉冲序列的Z Z变换与输入脉冲序列的变换与输入脉冲序列的 Z Z变换之比。变换之比。第37页，本讲稿共71页一一.线性数字系统的开环脉冲传递函数线性数字系统的开环脉冲传递函数1.1.串联环节间无同步采样开关隔离时的脉冲传函串联环节间无同步采样开关隔离时的脉冲传函G1(S)G2(S)C(t)T0结论结论:没有采样开关隔
13、离时两个线性环节串联没有采样开关隔离时两个线性环节串联,其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之 积的积的Z Z变换。变换。第38页，本讲稿共71页G2(s)G1(s)T0C(t)m(t)2.2.串联环节有同步采样开关时的脉冲传函串联环节有同步采样开关时的脉冲传函结论结论:有采样开关隔离时两个线性环节串联，其脉冲传函为两个环节有采样开关隔离时两个线性环节串联，其脉冲传函为两个环节分别求分别求Z Z变换后的乘积。变换后的乘积。可推广到可推广到n n个环节。个环节。一一.线性数字系统的开环脉冲传递函数线性数字系统的开环脉冲传递函数第39页，本讲稿共71页3.3.环节与零
14、阶保持器串联时的脉冲传函零阶传函环节与零阶保持器串联时的脉冲传函零阶传函G1(S)G2(S)G2(s)零阶保持器C(t)解:例例1.1.求右图所示的两个串联环节的脉冲传函求右图所示的两个串联环节的脉冲传函,其中其中一一.线性数字系统的开环脉冲传递函数线性数字系统的开环脉冲传递函数第40页，本讲稿共71页G1(S)G2(S)例2.求下图所示二环节串联的脉冲传函,G1(s)G2(s)同上。解:一一.线性数字系统的开环脉冲传递函数线性数字系统的开环脉冲传递函数第41页，本讲稿共71页例3.设与零阶保持器串联的环节的传函为G(S)=1/(S+a),试求脉冲传函解：一一.线性数字系统的开环脉冲传递函数线
15、性数字系统的开环脉冲传递函数第42页，本讲稿共71页R(S)G1(S)H(S)G2(S)C(S)F(S)Y(S)-二二.线性数字控制系统的闭环传函线性数字控制系统的闭环传函例1第43页，本讲稿共71页H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)C(S)-例例2.2.试求右图所示系统的闭环传函试求右图所示系统的闭环传函解：二二.线性数字控制系统的闭环传函线性数字控制系统的闭环传函第44页，本讲稿共71页C(s)R(s)-例例3.3.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函试求取如图所示线性数字系统的闭环传函解:二二.线性数字控制系统的闭环传函线性数字控制系统的闭环传函第45页，本讲稿共71页一一.S.S
16、平面与平面与Z Z平面的映射关系平面的映射关系(3)结论：结论：S S平面的稳定区域在平面的稳定区域在Z Z平面上的映象是单位圆内部区域平面上的映象是单位圆内部区域(1)(2)$7$7 稳定性分析稳定性分析第46页，本讲稿共71页H(S)G1(S)G2(S)C(S)R(S)-Y(S)二二.线性数字系统稳定的充要条件线性数字系统稳定的充要条件线性数字系统稳定的充要条件线性数字系统稳定的充要条件:系统特征方程的根均位于系统特征方程的根均位于z z平面的单位圆内或全部特征根的模小于平面的单位圆内或全部特征根的模小于1 1第47页，本讲稿共71页例例1.1.试分析特征方程为试分析特征方程为Z Z2 2
17、-Z Z+0.632=0+0.632=0的系统的稳定性的系统的稳定性.解:系统是稳定的系统是稳定的 二二.线性数字系统稳定的充要条件线性数字系统稳定的充要条件第48页，本讲稿共71页双线性变换双线性变换三三.Routh.Routh稳定判据稳定判据第49页，本讲稿共71页Routh稳定判据应用步骤三三.Routh.Routh稳定判据稳定判据第50页，本讲稿共71页例例1.1.设闭环采样系统的特征方程为设闭环采样系统的特征方程为 D D(Z Z)=45Z)=45Z3 3-117-117Z Z2 2+119+119Z Z-39=0-39=0 判断其稳定性判断其稳定性.解解:三三.Routh.Rout
18、h稳定判据稳定判据第51页，本讲稿共71页r(t)-T例例2.2.判断如图所示系统的稳定性判断如图所示系统的稳定性,采样周期采样周期=0.2(=0.2(秒秒)解:三三.Routh.Routh稳定判据稳定判据第52页，本讲稿共71页-R(S)G(S)C(S)T例例3.3.设采样系统的方框图如图所示设采样系统的方框图如图所示,其中其中 采采样周期样周期T=0.25S,T=0.25S,求能使系统稳定的求能使系统稳定的K K1 1值范围值范围解:三三.Routh.Routh稳定判据稳定判据第53页，本讲稿共71页$8$8 采样系统动态特性的分析采样系统动态特性的分析一一.响应过程响应过程例例1.1.右
19、图所示系统中的参数右图所示系统中的参数a a=1,=1,k k=1,=1,T T0 0=1,=1,试求其响应过程试求其响应过程第54页，本讲稿共71页二二.误差系数误差系数第55页，本讲稿共71页-R(S)C(S)G(S)E(S)T三三.稳态误差计算稳态误差计算(1)(1)输入信号为单位阶跃函数输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)r(t)=1(t)第56页，本讲稿共71页(2)输入信号为单位斜坡函数(3)输入信号为单位抛物线信号三三.稳态误差计算稳态误差计算第57页，本讲稿共71页0型系统1型系统3型系统2型系统系统类型稳态误差终值输入r(t)=1(t)r(t)=t000000三三.稳态误
20、差计算稳态误差计算第58页，本讲稿共71页例例1.1.右图所示系统中的参右图所示系统中的参数数a a=1,=1,k k=1,=1,T T0 0=1,=1,试求在试求在 r r(t t)=1=1(t t),r r(t t)=)=t t及及r r(t t)=)=t t2 2/2/2时的稳态误差时的稳态误差.解:三三.稳态误差计算稳态误差计算第59页，本讲稿共71页$9$9 线性离散系统的数字校正线性离散系统的数字校正R(S)G(S)D(Z)-一一.数字控制器的脉冲传函数字控制器的脉冲传函二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第60页，本讲稿共71页1.G(Z)1.G(Z)的零极点均位于单位
21、圆内的零极点均位于单位圆内（1)1)几种典型输入信号的几种典型输入信号的Z Z变换分别为变换分别为:一般形式可写成一般形式可写成:二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第61页，本讲稿共71页（2 2）稳态误差为零）稳态误差为零（3 3）有限拍结束过渡过程）有限拍结束过渡过程二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第62页，本讲稿共71页tC*(t)T02T05T02.2.典型控制信号作用下的脉冲传函典型控制信号作用下的脉冲传函(1)(1)当当r r(t t)=1()=1(t t)时时二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第63页，本讲稿共71页T04T0tC*(t)(2
22、)(2)当当r r(t t)=)=t t时时二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第64页，本讲稿共71页T03T0tC*(t)(3)(3)当当r r(t t)=)=t t2 2/2/2时时二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第65页，本讲稿共71页3.3.数字控制器的脉冲传函数字控制器的脉冲传函二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第66页，本讲稿共71页典型输入调整时间闭环脉冲传递函数r(t)R(z)1(t)t2T03T0二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第67页，本讲稿共71页 4.4.G G(Z Z)有单位圆外零极点时有单位圆外零极点时(1)(1)
23、D D(Z Z)须具有有理分式须具有有理分式(2)(2)D D(Z Z)须是一个稳定的装置其极点须都在单位圆内须是一个稳定的装置其极点须都在单位圆内二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第68页，本讲稿共71页(Z)=D(Z)G(Z)e(Z)(3)(3)设设(Z Z)的分母是的分母是Z Z的的r r次多项式次多项式,分子为分子为Z Z的的l l次多项式次多项式二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第69页，本讲稿共71页Z0HG(S)例例.右图所示系统右图所示系统,其中采样周期其中采样周期T T=0.2S,=0.2S,G Gh h(S S)=(1-e)=(1-e-0.2-0.2S S)/)/S S,G G(S S)=100/)=100/S S(0.1(0.1S S+1)(0.05+1)(0.05S S+1)+1)要求在单位阶跃输入下实现最小拍响应要求在单位阶跃输入下实现最小拍响应,试求试求D D(Z Z)解解:二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第70页，本讲稿共71页(Z)=D(Z)G(Z)e(Z)二二.最小拍系统的脉冲传函最小拍系统的脉冲传函第71页，本讲稿共71页