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1、第6章 统计量与抽样分布第1页，本讲稿共34页第6章 统计量与抽样分布第2页，本讲稿共34页第一节 总体和样本的统计分布一、统计推断中的总体及总体分布一、统计推断中的总体及总体分布总体的概念总体的概念 总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的数值 编制变量的分布数列 实物总体 数值总体 分布总体 总体的含义可抽象为所感兴趣的变量及其分布。总体的含义可抽象为所感兴趣的变量及其分布。第3页，本讲稿共34页第6章 统计量与抽样分布二、统计推断中的样本及其性质二、统计推断中的样
2、本及其性质 按照随机原则，通过观测或实验的方法所获得的总体中一部分个体的取值称为样本。样本。每个个体的取值称为样本点或样品。样本点或样品。样本是随机的，样本观测值是确定的。样本是随机的，样本观测值是确定的。如果样本满足同分布、独立性（iid）则为简单随机样本。简单随机样本。第4页，本讲稿共34页是一堆是一堆是一堆是一堆“杂乱无章杂乱无章杂乱无章杂乱无章”的数据的数据的数据的数据设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本是对总体进行推断的依据是对总体进行推断的依据是对总体进行推断的依据是对总体进行推断的依据包含了有关总体的包含了有关总体的包含了有关总体的包含了有
3、关总体的“信息信息信息信息”在观察前在观察前在观察前在观察前 是一组独立同分布是一组独立同分布是一组独立同分布是一组独立同分布r.vr.vr.vr.v在观察后在观察后在观察后在观察后 是一组具体的数据是一组具体的数据是一组具体的数据是一组具体的数据第5页，本讲稿共34页总体总体X 随机变量随机变量N(,2)观察值观察值 随机变量随机变量N(,2)的值的值 对象：某大学新生的身高对象：某大学新生的身高第6页，本讲稿共34页2、样本的联合分布 设设设设 为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体 的样本的样本的样本的样本，则样本的联合则样本的联合则样本的联合则样本的联合分布函数为分布函数为分布函数为
4、分布函数为 设设设设 为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体 的样本，则样本的联合的样本，则样本的联合的样本，则样本的联合的样本，则样本的联合概率函数概率函数概率函数概率函数为为为为设设设设为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体的样本的样本的样本的样本,则样本的联合密度为则样本的联合密度为则样本的联合密度为则样本的联合密度为第7页，本讲稿共34页第二节第二节 统计量统计量一、统计量与统计量的分布一、统计量与统计量的分布设设(X(X1 1,X,X2 2,X,Xn n)是总体是总体X X的样本的样本,则由样本（则由样本（X X1 1,X,X2 2X Xn n）构成的且不含任何未知参数的函数）构
5、成的且不含任何未知参数的函数T(XT(X1 1,X,X2 2X Xn n)称为称为统统计量计量。例：例：设设(X1,X2)是总体是总体N(,2)的一个样本的一个样本,其中其中 已知已知，未未知参数知参数,则下列哪个不是统计量：则下列哪个不是统计量：1 1、统计量定义、统计量定义第8页，本讲稿共34页推断统计研究的重点寻找统计量及其分布利用概率论对总体进行推断统计量通常是随机变量，但统计量的观测值是确定的，没有随机性。比如，如果（x1,x2,xn）是样本（X1，X2，,Xn）的观测值，那么T T(x1,x2,xn）为统计量统计量T(X(X1 1,X,X2 2X Xn n)的观测值。则T(X(X1
6、 1,X,X2 2X Xn n)是随机变量。统计量的分布也称抽样分布，统计量的分布不一定和总体分布一致。第9页，本讲稿共34页2、常用统计量设（设（X X1 1，X X2 2，,X Xn n）为总体）为总体X X的样本，则的样本，则样本方差；样本方差；样本样本k阶阶(原点原点)矩矩样本标准差样本标准差样本样本k阶中心矩阶中心矩第10页，本讲稿共34页此外，还有1、顺序统计量、顺序统计量(X1，X2，Xn)是总体X的一个简单随机样本，(x1，x2，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排列，得到x(1)x(2)x(n)，取x(i)作为X(i)的观测值，由此得到的统计量X(1)，X(2)，X(
7、n)称为样本(X1，X2，Xn)的一组顺序统计量，X(i)称为第i个顺序统计量其中，最大顺序统计量X(n)=max X1，X2，Xn最小顺序统计量X(1)=min X1，X2，Xn第11页，本讲稿共34页2、样本中位数3、样本极差R=X(n)-X(1)第12页，本讲稿共34页4、样本p阶分位数其中，0p1，np取整数。5、样本切尾均值第13页，本讲稿共34页第三节 抽样分布正态分布正态分布 如果连续型随机变量X的密度函数为 则称随机变量X服从均值为，方差为2的正态分布，记为XN(，2)。如果一个正态分布的=0，=1，则称该正态布为标准正态分布，相应的随机变量称为标准正态随机变量，用Z表示，即Z
8、N(0，1)，相应的分布密度函数为第14页，本讲稿共34页 一般正态分布 与标准正态分布 的关系:若随机变量X服从正态分布N(，2)，则随机变量 Z=服从标准正态分布，即ZN(0，1)。第15页，本讲稿共34页第三节 抽样分布 一、一、分布分布 1定义 设X1，X2，Xn是来自正态总体N(0，1)的样本，则称统计量为服从自由度为 n 的 分布，记作 (n)0f(x)n=1n=5n=15x 2 (n)分布的概率密度：其中 为 函数 在 处的函数值第16页，本讲稿共34页 性质2：设 X (n1)，Y (n2)，且X与Y相互独立,则 X+Y (n1+n2)性质3：设 为X的样本，则 证：性质4：设
9、 (n)，则对任意实数x，有 3分布的性质：性质1：设 (n)，则E()=n，D()=2n 证：因XiN(0,1)，E(Xi2)=1，D(Xi)=1 第17页，本讲稿共34页 例如 取 ，则查表有 4 (n)分布的上 分位点：设 (n)，对于给定的正数 ，称满足条件 的点 为 (n)分布的上 分位点 0f(x)x第18页，本讲稿共34页5、2分布的自由度分布的自由度可以自由选择数值的可以自由选择数值的变量个数。变量个数。第19页，本讲稿共34页例例第20页，本讲稿共34页 二、二、t t 分布（学生分布）分布（学生分布）1定义 设XN(0,1)，Y (n)，且 X 与Y 独立，则称随机变量服从
10、自由度为 n 的 t 分布，记作 t t(n)2t(n)分布的概率密度：3性质：t(n)分布的概率密度关于 y 轴对称，且E(t)=0,D(t)=n/(n-2)第21页，本讲稿共34页f(x)x0n=10n=4n=1f(x)0 x 4t(n)分布的上 分位点：设 t t(n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为 t(n)分布的上 分位点，且有 5.t分布自由度越小，分布的方差越大，分布比较平坦。当自由度较大时，方差较小，越接近标准正态分布。6.t分布的自由度由生成t分布的分母卡方分布随机变量的自由度决定。第22页，本讲稿共34页 三、三、F F分布分布 1定义：设X (m)，Y (n)，且
11、X 与 Y 独立，则称随机变量为服从自由度是 m、n 的 F分布，记作 FF(m,n)，其中 m 称为第一自由度，n 称为第二自由度 2F(m,n)分布的概率密度为第23页，本讲稿共34页 3F(m,n)分布的性质:若FF(m,n)，则 m=10,n=5m=10,n=25xf(x)xf(x)4F(m,n)分布的上 分位点：设 FF(m,n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为F(m,n)分布的上 分位点，且有 如如F 0.01(10,15)=3.8.第24页，本讲稿共34页6.3.4 抽样分布定理（正态总体统计量的分布）本节介绍来自正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布这是参数估计与假设检验
12、的基础 定理1 设 为来自总体 X 的简单随机样本，则 ，样本均值与样本方差样本均值与样本方差 相互独立相互独立第25页，本讲稿共34页证明证明且两者独立且两者独立,由由 t 分布的定义知分布的定义知化简即可化简即可.定理定理2第26页，本讲稿共34页定理定理3 设总体 ，总体 ，且 X 与 Y 独立X1，X2，与Y1，Y2，分别为来自总体 X 与总体 Y 的样本，且这两组样本相互独立 ，则有第27页，本讲稿共34页(i),.(ii)若 ，则 ，其中 (iii)第28页，本讲稿共34页 (ii)由定理 3 得 ，于是 又由(i)及 t 分布定义，有即,.第29页，本讲稿共34页 (iv)由定理 ，则 即,.第30页，本讲稿共34页 解 .由 ，即 ，得所求概率为 例1 从总体 N(52，6.32)中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 落在 50.8 到 53.8 之间的概率第31页，本讲稿共34页 例2 设 X1，X2，X10 为总体 N(0，0.09)的一个样本，求 解 由 ，则有.第32页，本讲稿共34页5、小结、小结两个最重要的统计量两个最重要的统计量:样本均值样本均值样本方差样本方差三个来自正态分布的抽样分布三个来自正态分布的抽样分布:第33页，本讲稿共34页作业作业 P161:2，3，4第34页，本讲稿共34页