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1、第02章解析函数第1页，本讲稿共60页 1.1.复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义 2.2.解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念2.1 2.1 解析函数的概念解析函数的概念第2页，本讲稿共60页 一一.复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义定义定义 设函数设函数w=f(z)zD,且且z0、z0+zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f(z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f(z)在在z0的导数，的导数，记作记作 如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可导，则称f(z)在区域
2、在区域D内可导内可导。第3页，本讲稿共60页 (1)(1)z z00是在平面区域上以任意方式趋于零。是在平面区域上以任意方式趋于零。(2)(2)z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy,f=f(z+z)-f(z)x+iy,f=f(z+z)-f(z)例例1第4页，本讲稿共60页(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数 c=(a+ib)=0.(zn)=nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有-实函数中求导法则的推广实函数中求导法则的推广第5页，本讲稿共60页 设函数设函数f(z),g(z)均可导，则均可导，则 f(z)g
3、(z)=f (z)g(z)，f(z)g(z)=f (z)g(z)+f(z)g(z)第6页，本讲稿共60页复合函数的导数复合函数的导数(f g(z)=f (w)g(z)，其中其中w=g(z)。反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中:w=f(z)与与z=(w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w)0。思考题思考题思考题思考题第7页，本讲稿共60页例例3 问：函数问：函数f(z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例2解解解解第8页，本讲稿共60页例例4 证明证明 f(z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。证明证明第9页，本讲稿共60页 (1)(1)复变函数在一点处可导，要比实函数复
4、变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。以任意方式趋于零的原故。(2)(2)在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。第10页，本讲稿共60页(3)可导与连续可导与连续若若 w=f(z)在点在点 z0 处可导处可导 w=f(z)点点 z0 处连续处连续.?第11页，本讲稿共60页二二.解析函数的概念解析函数的概念定义定
5、义 如果函数如果函数w=f(z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f(z)在在z0解析；解析；如果如果f(z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f(z)在在D内解析，或称内解析，或称f(z)是是D内的解析函内的解析函数数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。如果如果f(z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f(z)的奇点。的奇点。(1)w=f(z)在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。(2)函数函数f(z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。第12页，本讲稿共60页例如例如(1)w=z2
6、在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；(2)w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析 函数；函数；(3)w=zRez 在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例4)。定理定理1 设设w=f(z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f(z)g(z)，f(z)g(z)及及 f(z)g(z)(g(z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。第13页，本讲稿共60页定理定理 2 设设 w=f(h)在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析,
7、h=g(z)在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析,h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。第14页，本讲稿共60页 1.解析函数的充要条件解析函数的充要条件 2.举例举例2.2 2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件第15页，本讲稿共60页 如果复变函数如果复变函数 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域在定义域 D内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w=f(z)在在 D内解析。内解析。本节从函数本节从函数 u(x,y)及及 v(x,y)的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f(z)的可
8、导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？第16页，本讲稿共60页一一.解析函数的充要条件解析函数的充要条件第17页，本讲稿共60页第18页，本讲稿共60页第19页，本讲稿共60页 记忆记忆定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).第20页，本讲稿共60页定理定理1 设设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在 D 内有定义，内有定义，则则 f(z)在点在点 z=x+iy D处可导
9、的充要条件是处可导的充要条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在点在点(x,y)可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程上述条件满足时上述条件满足时,有有第21页，本讲稿共60页证明证明（由由f(z)的可导的可导 C-R方程满足上面已证！只须方程满足上面已证！只须证证 f(z)的可导的可导 函数函数 u(x,y)、v(x,y)可微可微）。）。函数函数 w=f(z)点点 z可导，即可导，即则则 f(z+z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1),且且第22页，本讲稿共60页u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i 2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(b
10、x+ay+2x+1y)令：令：f(z+z)-f(z)=u+iv，f (z)=a+ib，(z)=1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax-by+1x-2y,v=bx+ay+2x+1y第23页，本讲稿共60页所以所以u(x,y)，v(x,y)在点在点(x,y)处可微处可微.（由函数（由函数u(x,y),v(x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 C-R方程方程 f(z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：第24页，本讲稿共60页第25页，本讲稿共60页定理定理2 函数函数f(z)=u(x,y)+iv(x
11、,y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x,y)和和 v(x,y)在在D内可微，且内可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系系.当一个函数可导时当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出仅由其实部或虚部就可以求出导数来导数来.利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的.第26页，本讲稿共60页使用时使用时:i)判别判别 u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，偏导数的连续性，ii)验证验证C-R条件条件.iii)求导数求导数：前面我们常把复变函数看
12、成是两个实函数拼成的前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是但是求复变函数的导数时要注意求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.第27页，本讲稿共60页二二.举例举例例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(1)设设z=x+iy w=x-iy u=x,v=-y 则则第28页，本讲稿共60页解解(2)f(z)=ex(cosy+isiny)则则 u=excosy,v=exsiny第29页，本讲稿共60页仅在点仅在点z=0处满足处满足C-R条件，故条件，故解解(3)设设z=x
13、+iy w=x2+y2 u=x2+y2,v=0 则则第30页，本讲稿共60页例例2 求证函数求证函数证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足C-R条件：条件：故函数故函数w=f(z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为第31页，本讲稿共60页例例3 证明证明第32页，本讲稿共60页例例4 如果如果f(z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数，是一解析函数，且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里必互相正交，这里C1、C2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处
14、，i)uy、vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy,uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.第33页，本讲稿共60页ii)uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=，k2=0（由（由C-R方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的,它们仍互相正交。它们
15、仍互相正交。练习练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2第34页，本讲稿共60页 1.指数函数指数函数 2.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数 3.对数函数对数函数 4.乘幂与幂函数乘幂与幂函数 5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数初等函数第35页，本讲稿共60页 本节将实变函数的一些常用的初等函数推本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介第36页，本讲稿共60页一一.指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数
16、有类似的性质：定义定义第37页，本讲稿共60页第38页，本讲稿共60页 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。第39页，本讲稿共60页 例例1例例2例例3第40页，本讲稿共60页二二.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数推广到复变数情形推广到复变数情形定义定义第41页，本讲稿共60页正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质第42页，本讲稿共60页思考题思考题第43页，本讲稿共60页第44页，本讲稿共60页由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见P51)第45页，本讲稿共60页第46页，本讲稿共60页定义定义称为双曲
17、正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质第47页，本讲稿共60页第48页，本讲稿共60页三三.对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义对数的定义第49页，本讲稿共60页故故第50页，本讲稿共60页特别特别 第51页，本讲稿共60页(2)对数函数的性质对数函数的性质见见1-6例例1第52页，本讲稿共60页例例4第53页，本讲稿共60页四四.乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 乘幂乘幂ab定义定义 多值多值一般为多值一般为多值第54页，本讲稿共60页q支支第55页，本讲稿共60
18、页(2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的 n次根意义一致。次根意义一致。(1)当当b=n(正整数正整数)时时，乘幂乘幂ab与与a 的的n次幂次幂 意义一致。意义一致。第56页，本讲稿共60页解解例例5第57页，本讲稿共60页 幂函数幂函数zb定义定义当当b=n(正整数正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数在整个复平面上是单值解析函数第58页，本讲稿共60页 除去除去b为正整数外，多值函数，为正整数外，多值函数，当当b为无理数或复数时，无穷多值。为无理数或复数时，无穷多值。5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数详见详见P52 重点：重点：指数函数、对数函数指数函数、对数函数、乘幂、乘幂第59页，本讲稿共60页作 业P66-672；3(2)(4)；8；15；18；第60页，本讲稿共60页