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1、质点动力学的基本方程1第1页，本讲稿共50页11-1 动力学的基本定律 第一定律(惯性定律):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律重力重力力的单位力的单位:牛牛 顿顿,第三定律 (作用与反作用定律):两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反方向相反,沿着同一直线沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。且同时分别作用在这两个物体上。2第2页，本讲稿共50页11-2 质点的运动微分方程1、在直角坐标轴上的投影或质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程3第3页，本讲稿共50页2 2、
2、在自然轴上的投影、在自然轴上的投影 由有4第4页，本讲稿共50页11-3 质点动力学的两类基本问题第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.5第5页，本讲稿共50页 设电梯以不变的加速度设电梯以不变的加速度设电梯以不变的加速度设电梯以不变的加速度a a 上升上升上升上升,求放在电梯地板上重求放在电梯地板上重求放在电梯地板上重求放在电梯地板上重W W 的物块的物块的物块的物块MM 对地板的压力。对地板的压力。对地板的压力。对地板的压力。解解:将物体将物体将物体将物体 MM
3、 看成为自由质点看成为自由质点看成为自由质点看成为自由质点,它受它受它受它受重力重力重力重力 WW 和地板约束力和地板约束力和地板约束力和地板约束力 F FN N 的作用。的作用。的作用。的作用。ma ma=F FN N W W注意到注意到注意到注意到 m=W/gm=W/g,则由上式解得则由上式解得则由上式解得则由上式解得MM给地板的压力给地板的压力给地板的压力给地板的压力F F N N与地板约束力与地板约束力与地板约束力与地板约束力F FN N等值而反向。等值而反向。等值而反向。等值而反向。MaMFNWx例例例例 题题题题 11-1 11-1&例题例题例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运
4、动求力已知运动求力.6第6页，本讲稿共50页例例例例 题题题题 11-1 11-1上式第一部分称为上式第一部分称为静压力静压力静压力静压力，第二部分称，第二部分称为附加为附加动压力动压力动压力动压力，F F N N称为称为动压力动压力动压力动压力。令令则则n n1 1,动压力大于静力，这种现象称为动压力大于静力，这种现象称为超重超重超重超重。n n1,1,动压力小于静力，这种现象称为动压力小于静力，这种现象称为失重失重失重失重。MaMFNWx&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.7第7页，本讲稿共50页 单单单单摆摆摆摆 MM 的的的的摆摆摆摆锤锤锤锤重重重重 WW ,
5、绳绳绳绳长长长长 l l ,悬悬悬悬于于于于固固固固定定定定点点点点 O O ,绳绳绳绳的的的的质质质质量量量量不不不不计计计计。设设设设开开开开始始始始时时时时绳绳绳绳与与与与铅铅铅铅垂垂垂垂线线线线成成成成偏偏偏偏角角角角 0 0 /2/2 ,并并并并被被被被无无无无初初初初速速速速释释释释放放放放，求求求求绳绳绳绳中拉力的最大值。中拉力的最大值。中拉力的最大值。中拉力的最大值。例例例例 题题题题 11-2 11-2OMM00&例题例题第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.8第8页，本讲稿共50页解解:采用自然形式的运动微分方程。采用自然形式的运动微分方程。采用自然形式的运动微
6、分方程。采用自然形式的运动微分方程。任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程例例例例 题题题题 11-2 11-2 考虑到考虑到考虑到考虑到则式则式则式则式(1)(1)(1)(1)化成化成化成化成OMM00enetanatOMM00FWanat&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.9第9页，本讲稿共50页对上式采用定积
7、分对上式采用定积分对上式采用定积分对上式采用定积分,把初条件作为积分下限把初条件作为积分下限把初条件作为积分下限把初条件作为积分下限从而得从而得从而得从而得F F=WW(3cos(3cos 2cos 2cos 0 0)显然显然显然显然,当质点当质点当质点当质点 M M 到达最低位置到达最低位置到达最低位置到达最低位置 =0=0时时时时,有最大值。故有最大值。故有最大值。故有最大值。故 F Fmaxmax=WW(3(3 2cos 2cos 0 0)例例例例 题题题题 11-2 11-2把式把式把式把式把式把式(4)(4)(4)代入式代入式代入式代入式代入式代入式 ，有，有，有，有，有，有&例题例
8、题例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.10第10页，本讲稿共50页例例例例 题题题题 11-3 11-3 小小小小球球球球质质质质量量量量为为为为 m m，悬悬悬悬挂挂挂挂于于于于长长长长为为为为l l的的的的细细细细绳绳绳绳上上上上，绳绳绳绳重重重重不不不不计计计计。小小小小球球球球在在在在铅铅铅铅垂垂垂垂面面面面内内内内摆摆摆摆动动动动时时时时，在在在在最最最最低低低低处处处处的的的的速速速速度度度度为为为为v v；摆摆摆摆到到到到最最最最高高高高处处处处时时时时，绳绳绳绳与与与与铅铅铅铅垂垂垂垂线线线线夹夹夹夹角角角角为为为为，如如如如图图图图所所所所示示示示，此
9、此此此时时时时小小小小球球球球速速速速度度度度为为为为零零零零。试试试试分分分分别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。别计算小球在最低和最高位置时绳的拉力。Ovv=0&例题例题例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.11第11页，本讲稿共50页 小小小小球球球球作作作作圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，受受受受有有有有重重重重力力力力WW=m=mg g和和和和绳绳绳绳拉拉拉拉力力力力F F1 1。在在在在最最最最低低低低处处处处有有有有法法法法向向向向加加加加速速速速度度度度 ，由由由由质质质质点点
10、点点运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程沿沿沿沿法向的投影式，有法向的投影式，有法向的投影式，有法向的投影式，有 则绳拉力则绳拉力则绳拉力则绳拉力 小小小小球球球球在在在在最最最最高高高高处处处处 角角角角时时时时，速速速速度度度度为为为为零零零零，法法法法向向向向加加加加速速速速度度度度为为为为零，则其运动微分方程沿法向投影式为零，则其运动微分方程沿法向投影式为零，则其运动微分方程沿法向投影式为零，则其运动微分方程沿法向投影式为 则绳拉力则绳拉力则绳拉力则绳拉力 解解:Ovv=0mgmgF1F2例例例例 题题题题 11-3 11-3&例题例题例题例题 第一类问题：第一类问题：已知
11、运动求力已知运动求力.12第12页，本讲稿共50页 曲曲曲曲柄柄柄柄连连连连杆杆杆杆机机机机构构构构如如如如图图图图所所所所示示示示。曲曲曲曲柄柄柄柄OAOA以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动，OA=rOA=r，AB=lAB=l，当当当当=r/l=r/l比比比比较较较较小小小小时时时时，以以以以O O为为为为坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点，滑滑滑滑块块块块B B的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为 如滑块的质量为如滑块的质量为如滑块的质量为如滑块的质量为m m，忽略摩擦及连杆，忽略摩擦及连杆，忽略摩擦及连杆，忽略摩擦及连杆A
12、BAB的质量，试求当的质量，试求当的质量，试求当的质量，试求当 和和和和 时，连时，连时，连时，连杆杆杆杆ABAB所受的力。所受的力。所受的力。所受的力。xyOAB例例例例 题题题题 11-4 11-4&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.13第13页，本讲稿共50页例例例例 题题题题 11-4 11-4 以以以以滑滑滑滑块块块块B B为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象，当当当当=tt 时时时时，受受受受力力力力如如如如图图图图。连连连连杆杆杆杆应应应应受受受受平平平平衡衡衡衡力力力力系系系系作作作作用用用用，由由由由于于于于不不不不计计计计连连连连杆杆杆杆质质质
13、质量量量量，ABAB 为为为为二力杆，它对滑块二力杆，它对滑块二力杆，它对滑块二力杆，它对滑块B B的拉力的拉力的拉力的拉力F F沿沿沿沿ABAB方向。方向。方向。方向。由题设的运动方程，可以求得由题设的运动方程，可以求得由题设的运动方程，可以求得由题设的运动方程，可以求得 当当当当 时，时，时，时，且且且且 ，得，得，得，得ABAB杆受的拉力杆受的拉力杆受的拉力杆受的拉力x xB Bm mg gF FNNF F 解：解：写出滑块沿写出滑块沿写出滑块沿写出滑块沿x x轴的运动微分方程轴的运动微分方程轴的运动微分方程轴的运动微分方程xyOAB&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运
14、动求力.14第14页，本讲稿共50页例例例例 题题题题 11-4 11-4得得得得 时，时，时，时，而而而而 ，ABAB杆受压力。杆受压力。杆受压力。杆受压力。x xB Bm mg gF FNNF F 则有则有则有则有xyOAB&例题例题例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.15第15页，本讲稿共50页 质质质质量量量量是是是是 m m 的的的的物物物物体体体体 MM 在在在在均均均均匀匀匀匀重重重重力力力力场场场场中中中中沿沿沿沿铅铅铅铅直直直直线线线线由由由由静静静静止止止止下下下下落落落落，受受受受到到到到空空空空气气气气阻阻阻阻力力力力的的的的作作作作用用用用。假
15、假假假定定定定阻阻阻阻力力力力F FR R 与与与与速速速速度度度度平平平平方方方方成成成成比比比比例例例例，即即即即 F FR R=cvcv2 2 ，阻阻阻阻力力力力系数系数系数系数 c c 单位取单位取单位取单位取 kgmkgm1 1 ，数值由试验测定，试求物体的运动规律。，数值由试验测定，试求物体的运动规律。，数值由试验测定，试求物体的运动规律。，数值由试验测定，试求物体的运动规律。例例例例 题题题题 11-5 11-5xxFRmgvM&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.1、力是速度函数的情形、力是速度函数的情形16第16页，本讲稿共50页解：解：取坐标轴取坐标
16、轴取坐标轴取坐标轴OxOx铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体 M M 的运动微的运动微的运动微的运动微分方程。分方程。分方程。分方程。以以以以 m m 除式除式除式除式(1)(1)两端两端两端两端,并代入并代入并代入并代入 v v0 0 的值的值的值的值,得得得得xxFRmgv当当当当 时，时，时，时，加速度为零。这个加速度为零。这个加速度为零。这个加速度为零。这个v v1 1就是物就是物就是物就是物体的极限速度。体的极限速度。体的极限速度。体的极限速度。例例例例 题题
17、题题 11-5 11-5M&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.17第17页，本讲稿共50页分离变量分离变量分离变量分离变量,并取定积分并取定积分并取定积分并取定积分,有有有有 由上式求解由上式求解由上式求解由上式求解v v，得，得，得，得于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为th th th th 是双曲正切。是双曲正切。是双曲正切。是双曲正切。例例例例 题题题题 11-5 11-5&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.18第18页，本讲稿共50页于是求得
18、物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律，只需把为了求出物体的运动规律，只需把为了求出物体的运动规律，只需把为了求出物体的运动规律，只需把(3)(3)再积分一次，有再积分一次，有再积分一次，有再积分一次，有例例例例 题题题题 11-5 11-5&例题例题例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.19第19页，本讲稿共50页 质质质质量量量量为为为为m m的的的的小小小小球球球球以以以以水水水水平平平平速速速速度度度度v v0 0 射射射射入入入入静静静静水水水水之之之之中中中中，如如如如图图图图所所所所示示
19、示示。如如如如水水水水对对对对小小小小球球球球的的的的阻阻阻阻力力力力F F与与与与小小小小球球球球速速速速度度度度v v的的的的方方方方向向向向相相相相反反反反，而而而而大大大大小小小小成成成成正正正正比比比比，即即即即F F=-c-cv v。c c为为为为阻阻阻阻力力力力系系系系数数数数。忽忽忽忽略略略略水水水水对对对对小小小小球球球球的的的的浮浮浮浮力力力力，试试试试分分分分析析析析小小小小球球球球在在在在重重重重力力力力和和和和阻阻阻阻力力力力作用下的运动。作用下的运动。作用下的运动。作用下的运动。x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例例例 题
20、题题题 11-6 11-6&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.1、力是速度函数的情形、力是速度函数的情形20第20页，本讲稿共50页 小球在任意位置小球在任意位置小球在任意位置小球在任意位置MM处，受力有重力处，受力有重力处，受力有重力处，受力有重力m mg g和阻力和阻力和阻力和阻力F F=cvcvx x i i cvcvy y j j。为求为求为求为求v vx x，v vy y将上两式分离变量，得将上两式分离变量，得将上两式分离变量，得将上两式分离变量，得 解：解：小球沿小球沿小球沿小球沿x x，y y轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为轴的运动
21、微分方程为x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例例例 题题题题 11-6 11-6&例题例题例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.21第21页，本讲稿共50页上两式的不定积分为上两式的不定积分为上两式的不定积分为上两式的不定积分为 按题意，按题意，按题意，按题意，t t=0=0时，时，时，时，v vx x=v=v0 0，v vy y=0 0 。代入上两式求得。代入上两式求得。代入上两式求得。代入上两式求得两个定分积常数两个定分积常数两个定分积常数两个定分积常数 将将将将C C1 1值代入式值代入式值代入式值代入式 改写为改写为改写
22、为改写为 可得可得可得可得x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例例例 题题题题 11-6 11-6&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.22第22页，本讲稿共50页整理为整理为整理为整理为 或或或或 可得可得可得可得 将将将将D D1 1值代入式值代入式值代入式值代入式可得可得可得可得可得可得可得可得 x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例例例 题题题题 11-6 11-6&例题例题例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.23第23页，本讲稿共50页取初始位置为坐标原
23、点，即取初始位置为坐标原点，即取初始位置为坐标原点，即取初始位置为坐标原点，即t t=0=0时时时时，x x=y y=0=0 。代入上两式，求得常数代入上两式，求得常数代入上两式，求得常数代入上两式，求得常数 再积分再积分再积分再积分得得得得x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例例例 题题题题 11-6 11-6&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.24第24页，本讲稿共50页则质点的运动方程为则质点的运动方程为则质点的运动方程为则质点的运动方程为 如忽略介质阻力，应有如忽略介质阻力，应有如忽略介质阻力，应有如忽略介质阻力，应有
24、=0=0。当。当。当。当 00时，时，时，时，质点的运动方程为质点的运动方程为质点的运动方程为质点的运动方程为x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例例例 题题题题 11-6 11-6&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.25第25页，本讲稿共50页例例例例 题题题题 11-7 11-7 质质质质量量量量为为为为m m的的的的质质质质点点点点带带带带有有有有电电电电荷荷荷荷e e，以以以以 速速速速 度度度度v v0 0进进进进 入入入入 强强强强 度度度度 按按按按E E=A Acos cos kt kt 变变变变化化化化的的的
25、的均均均均匀匀匀匀电电电电场场场场中中中中，初初初初速速速速度度度度方方方方向向向向与与与与电电电电场场场场强强强强度度度度垂垂垂垂直直直直，如如如如图图图图所所所所示示示示。质质质质点点点点在在在在电电电电场场场场中中中中受受受受力力力力F F=-=-e eE E作作作作用用用用。已已已已知知知知常常常常数数数数A A，k k，忽忽忽忽略略略略质质质质点点点点的的的的重重重重力力力力，试试试试求求求求质质质质点点点点的的的的运动轨迹。运动轨迹。运动轨迹。运动轨迹。交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E&例题例题例题例
26、题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.2、力是时间函数的情形、力是时间函数的情形26第26页，本讲稿共50页例例例例 题题题题 11-7 11-7 取取取取质质质质点点点点的的的的初初初初始始始始位位位位置置置置O O为为为为坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点，取取取取x x，y y轴轴轴轴如如如如图图图图所所所所示示示示，而而而而z z轴轴轴轴与与与与x x ，y y轴轴轴轴垂垂垂垂直直直直。于于于于是是是是力在三轴上投影为力在三轴上投影为力在三轴上投影为力在三轴上投影为 F Fx x=F=Fz z=0=0 因因因因为为为为力力力力和和和和初初初初速速速速度度度度在在在在z z
27、轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影均均均均等等等等于于于于零零零零，质质质质心心心心的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹必必必必定定定定在在在在OxyOxy平平平平面面面面内内内内。写写写写出出出出质质质质心心心心运运运运动微分方程在动微分方程在动微分方程在动微分方程在x x轴和轴和轴和轴和y y轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式 解：解：交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.27第27页，本讲稿共50页例例例例 题题题题 11-7 11-7得得得得
28、 按按按按题题题题意意意意，时时时时，以以以以此此此此为为为为下下下下限限限限，式式式式 和和和和交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E的定积分分别为的定积分分别为的定积分分别为的定积分分别为&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.28第28页，本讲稿共50页从以上两式中消去时间从以上两式中消去时间从以上两式中消去时间从以上两式中消去时间t t，得轨迹方程，得轨迹方程，得轨迹方程，得轨迹方程 轨迹为余弦曲线，如图所示。轨迹为余弦曲线，如图所示。轨迹为余弦曲线，如图所示。轨迹为余弦曲线，如图所示。对
29、以上两式分离变量，并以对以上两式分离变量，并以对以上两式分离变量，并以对以上两式分离变量，并以t t=0=0时，时，时，时，x x=y y=0=0为下限，为下限，为下限，为下限，做定积分做定积分做定积分做定积分 交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E得质点运动方程得质点运动方程得质点运动方程得质点运动方程例例例例 题题题题 11-7 11-7&例题例题例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.29第29页，本讲稿共50页 物物物物块块块块在在在在光光光光滑滑滑滑水水水水平平平平面面面面上上上上与与与与
30、弹弹弹弹簧簧簧簧相相相相连连连连，如如如如图图图图所所所所示示示示。物物物物块块块块质质质质量量量量为为为为m m，弹弹弹弹簧簧簧簧刚刚刚刚度度度度系系系系数数数数为为为为k k。在在在在弹弹弹弹簧簧簧簧拉拉拉拉长长长长变变变变形形形形量量量量为为为为a a时时时时，释释释释放放放放物物物物块块块块。求物块的运动规律。求物块的运动规律。求物块的运动规律。求物块的运动规律。mOxFx例例例例 题题题题 11-8 11-8&例题例题例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.3、力是坐标函数的情形、力是坐标函数的情形30第30页，本讲稿共50页或或或或上式化为自由振动微分方程的标准
31、形式上式化为自由振动微分方程的标准形式上式化为自由振动微分方程的标准形式上式化为自由振动微分方程的标准形式解：解：以弹簧未变形处为坐标原点以弹簧未变形处为坐标原点以弹簧未变形处为坐标原点以弹簧未变形处为坐标原点O O，物块，物块，物块，物块在任意坐标在任意坐标在任意坐标在任意坐标x x处弹簧变形量为处弹簧变形量为处弹簧变形量为处弹簧变形量为 x x ，弹簧，弹簧，弹簧，弹簧力大小为力大小为力大小为力大小为 ，并指向点，并指向点，并指向点，并指向点O O，如图所，如图所，如图所，如图所示。示。示。示。则此物块沿则此物块沿则此物块沿则此物块沿x x轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为轴的运动微分方
32、程为轴的运动微分方程为令令令令mOxFx例例例例 题题题题 11-8 11-8&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.31第31页，本讲稿共50页此微分方程的解可写为此微分方程的解可写为此微分方程的解可写为此微分方程的解可写为 由此解出由此解出由此解出由此解出 mOxFx其其其其中中中中A A，为为为为任任任任意意意意常常常常数数数数，应应应应由由由由运运运运动动动动的的的的初初初初始始始始条条条条件件件件决决决决定定定定。由由由由题题题题意意意意，取取取取x=ax=a处处处处的的的的时时时时间间间间为为为为t=t=0 0，且此时有且此时有且此时有且此时有 。代入上式，有
33、。代入上式，有。代入上式，有。代入上式，有 例例例例 题题题题 11-8 11-8&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.32第32页，本讲稿共50页 代入代入代入代入 则则则则此物块的运动方程为此物块的运动方程为此物块的运动方程为此物块的运动方程为 可可可可见见见见此此此此物物物物块块块块做做做做简简简简谐谐谐谐振振振振动动动动，振振振振动动动动中中中中心心心心为为为为O O，振振振振幅幅幅幅为为为为a a，周周周周期期期期 。称称称称 为为为为 圆圆圆圆 频频频频 率率率率，应应应应 由由由由 其其其其 标标标标 准准准准 形形形形 式式式式 的的的的 运运运运 动动
34、动动 微微微微 分分分分 方方方方 程程程程 直接确定。直接确定。直接确定。直接确定。将将将将 mOxFx例例例例 题题题题 11-8 11-8&例题例题例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.33第33页，本讲稿共50页 一一一一圆圆圆圆锥锥锥锥摆摆摆摆，如如如如图图图图所所所所示示示示 。质质质质量量量量m m=0.1=0.1 kgkg的的的的小小小小球球球球系系系系于于于于长长长长l l=0.3=0.3 mm的的的的绳绳绳绳上上上上，绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端系系系系在在在在固固固固定定定定点点点点O O，并并并并与与与与铅铅铅铅直直直直线线线线成成成成=60=
35、60 角角角角。如如如如小小小小球球球球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v v与绳的张力与绳的张力与绳的张力与绳的张力F F的大小。的大小。的大小。的大小。Ol例例例例 题题题题 11-9 11-9&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.34第34页，本讲稿共50页Ol 以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力m mg
36、 g和绳的拉力和绳的拉力和绳的拉力和绳的拉力F F。因因因因 ，于是解得，于是解得，于是解得，于是解得绳的张力与拉力绳的张力与拉力绳的张力与拉力绳的张力与拉力F F的大小相等。的大小相等。的大小相等。的大小相等。enetebmgF解：解：选取在自然轴上投影的运动微分方程，得选取在自然轴上投影的运动微分方程，得选取在自然轴上投影的运动微分方程，得选取在自然轴上投影的运动微分方程，得例例例例 题题题题 11-9 11-9&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.35第35页，本讲稿共50页 粉粉粉粉碎碎碎碎机机机机滚滚滚滚筒筒筒筒半半半半径径径径为为为为R R
37、，绕绕绕绕通通通通过过过过中中中中心心心心的的的的水水水水平平平平轴轴轴轴匀匀匀匀速速速速转转转转动动动动，筒筒筒筒内内内内铁铁铁铁球球球球由由由由筒筒筒筒壁壁壁壁上上上上的的的的凸凸凸凸棱棱棱棱带带带带着着着着上上上上升升升升。为为为为了了了了使使使使铁铁铁铁球球球球获获获获得得得得粉粉粉粉碎碎碎碎矿矿矿矿石石石石的的的的能能能能量量量量，铁铁铁铁球球球球应应应应在在在在=0 0 时时时时（如如如如图图图图）才才才才掉掉掉掉下下下下来来来来。求求求求滚滚滚滚筒筒筒筒每每每每分分分分钟钟钟钟的转数的转数的转数的转数n n。0 0n n例例例例 题题题题 11-10 11-10&例题例题 混合问
38、题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.36第36页，本讲稿共50页 视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。离筒壁而沿抛物线下落。离筒壁而沿抛物线下落。离筒壁而沿抛物线下落。质质质质点点点点在在在在上上上上升升升升过过过过程程程程中中中中，受受受受到到到到重重重重力力力力m mg g，筒筒
39、筒筒壁的法向力壁的法向力壁的法向力壁的法向力F FNN和切向力和切向力和切向力和切向力F F的作用。的作用。的作用。的作用。m mg gF FN NF F解：解：列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即即即即 n n例例例例 题题题题 11-10 11-10&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一
40、类与第二类问题的混合.37第37页，本讲稿共50页于是解得于是解得于是解得于是解得 当当当当=0 0时，铁球将落下，这时时，铁球将落下，这时时，铁球将落下，这时时，铁球将落下，这时F FN N=0 0，于是得，于是得，于是得，于是得 显然，显然，显然，显然，越小，要求越小，要求越小，要求越小，要求n n 越大。当越大。当越大。当越大。当 时，时，时，时，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。碎矿石的作用。碎
41、矿石的作用。碎矿石的作用。m mg gF FN NF F例例例例 题题题题 11-10 11-10&例题例题例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.38第38页，本讲稿共50页 如图所示单摆，摆长为如图所示单摆，摆长为如图所示单摆，摆长为如图所示单摆，摆长为l l，小球质量为，小球质量为，小球质量为，小球质量为m m，其悬挂点，其悬挂点，其悬挂点，其悬挂点O O以加速以加速以加速以加速度度度度a a0 0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。向上运动，求此时单摆作微振动的周期。向上运动，求此时单摆作微振动的周期。向上运动，求此时单摆作微振动的周期。a0Om例
42、例例例 题题题题 11-11 11-11&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.39第39页，本讲稿共50页 在在在在悬悬悬悬挂挂挂挂点点点点O O上上上上固固固固结结结结一一一一平平平平动动动动参参参参考考考考系系系系OxOx y y，小小小小球球球球相相相相对对对对于于于于此此此此动动动动参参参参考考考考系系系系的的的的运运运运动动动动相相相相当当当当于于于于悬悬悬悬挂挂挂挂固固固固定定定定的的的的单摆振动。单摆振动。单摆振动。单摆振动。分分分分析析析析小小小小球球球球受受受受力力力力：重重重重力力力力 ，绳绳绳绳子子子子张张张张力力力力F F。运运
43、运运动动动动：因因因因动动动动参参参参考考考考系系系系作作作作平平平平动动动动，牵牵牵牵连连连连加速度加速度加速度加速度 ，科氏加速度，科氏加速度，科氏加速度，科氏加速度 。解：解：建立相对运动动力学基本方程建立相对运动动力学基本方程建立相对运动动力学基本方程建立相对运动动力学基本方程例例例例 题题题题 11-11 11-11&例题例题例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.a0OmyxWetF40第40页，本讲稿共50页将上式投影到切向轴将上式投影到切向轴将上式投影到切向轴将上式投影到切向轴e et t上，得上，得上，得上，得 当摆作微振动时当摆作微振动
44、时当摆作微振动时当摆作微振动时 ，角很小，有角很小，有角很小，有角很小，有 ，且且且且 ，上式成为，上式成为，上式成为，上式成为 例例例例 题题题题 11-11 11-11&例题例题例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.a0OmyxWetF41第41页，本讲稿共50页令：令：令：令：，则上式可写为自由，则上式可写为自由，则上式可写为自由，则上式可写为自由振动微分方程的标准式振动微分方程的标准式振动微分方程的标准式振动微分方程的标准式 其解的形式为其解的形式为其解的形式为其解的形式为 ，而，而，而，而振动周期为振动周期为振动周期为振动周期为 例例例例 题题
45、题题 11-11 11-11&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.a0OmyxWetF42第42页，本讲稿共50页 设车厢以均加速度设车厢以均加速度设车厢以均加速度设车厢以均加速度a a沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶棚顶棚顶棚顶 MM0 0 处自由落下的质点处自由落下的质点处自由落下的质点处自由落下的质点 MM 的相对运动。的相对运动。的相对运动。的相对运动。O O1 1MM0 0a ahMMx1y1z1例例例例 题题题题 11-12 11-12&例题
46、例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.43第43页，本讲稿共50页解解:取动坐标系取动坐标系取动坐标系取动坐标系 O O1 1x x1 1y y1 1z z1 1 固连车厢。固连车厢。固连车厢。固连车厢。因为动坐标系作直线平动因为动坐标系作直线平动因为动坐标系作直线平动因为动坐标系作直线平动,有有有有 m ma ar r+m ma ae e =WW (1)(1)a ae e=a ae e,方向与车厢加速度方向与车厢加速度方向与车厢加速度方向与车厢加速度 a a 相同相同相同相同 把式把式把式把式(1)(1)(1)(1)向动坐标系各轴上投影向动坐标系各轴上投影
47、向动坐标系各轴上投影向动坐标系各轴上投影,得相对得相对得相对得相对运动微分方程运动微分方程运动微分方程运动微分方程即即即即根据所选坐标系根据所选坐标系根据所选坐标系根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成质点运动的初始条件写成质点运动的初始条件写成质点运动的初始条件写成当当当当 t t=0=0 时时时时,O1M0ahaeWx1y1z1例例例例 题题题题 11-12 11-12&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.44第44页，本讲稿共50页 将式将式将式将式(2)(2)(2)(2)积分积分积分积分,并利用初始条件并利用初始条件并利用初始条件并利用初始条件
48、(3)(3)(3)(3)确定积分变量确定积分变量确定积分变量确定积分变量,求得质点的相对运求得质点的相对运求得质点的相对运求得质点的相对运动规律为动规律为动规律为动规律为消去时间消去时间消去时间消去时间t t t t后后后后,得到相对轨迹方程得到相对轨迹方程得到相对轨迹方程得到相对轨迹方程这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线 。例例例例 题题题题 11-12 11-12&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.45第45页，本讲稿共50页 一一一一质质质质量量量量是
49、是是是m m的的的的小小小小环环环环MM套套套套在在在在半半半半径径径径是是是是R R的的的的光光光光滑滑滑滑圆圆圆圆环环环环上上上上，并并并并可可可可沿沿沿沿大大大大圆圆圆圆环环环环滑滑滑滑动动动动，而而而而大大大大圆圆圆圆环环环环在在在在水水水水平平平平面面面面内内内内以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 绕绕绕绕通通通通过过过过点点点点O O 的的的的铅铅铅铅垂垂垂垂轴轴轴轴转转转转动动动动。在在在在初初初初瞬瞬瞬瞬时时时时，=0 0，=2 2 ，试试试试写写写写出出出出小小小小环环环环MM相相相相对对对对于于于于大大大大圆圆圆圆环环环环的的的的运运运运动动动动微微微微分分分分方方方
50、方程程程程，并并并并求求求求出出出出大大大大圆圆圆圆环环环环对对对对小小小小环环环环MM的的的的约约约约束束束束力力力力。（不不不不计计计计小小小小环环环环重重重重力力力力的的的的影影影影响）响）响）响）OCORMR*例例例例 题题题题 11-13 11-13&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.46第46页，本讲稿共50页解解:取取取取动动动动坐坐坐坐标标标标系系系系与与与与大大大大圆圆圆圆环环环环固固固固连连连连，小小小小环环环环 MM 相相相相对对对对于于于于大大大大圆圆圆圆环环环环的的的的位位位位置置置置用用用用弧弧弧弧坐坐坐坐标标标标 s s