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1、第第3章章 模煳关系模煳关系第1页，本讲稿共33页2022/10/2523.1 经典关系经典关系笛卡尔积笛卡尔积一个一个 r 元的有序序列，称为一个有序元的有序序列，称为一个有序 r 元组，记元组，记作（作（a1，a2，ar）一个无序的一个无序的 r 元组只是在次序上无约束的集合元组只是在次序上无约束的集合有序有序 r 元组，当元组，当 r=2时，称此时，称此 r 元组为序偶元组为序偶定义：定义：对于经典集合（或清晰集）对于经典集合（或清晰集）A1，A2，Ar，其所有，其所有r 元组（元组（a1，a2，ar），称为，称为A1，A2，Ar 上的笛卡尔集。上的笛卡尔集。记作：记作：A1A2Ar其中
2、：其中：第2页，本讲稿共33页2022/10/2533.1 经典关系经典关系例例3-1 已知两个集合已知两个集合A，B中的元素为中的元素为A=0，1，B=a，b，c则这两个集合所有不同的笛卡尔积表示如下：则这两个集合所有不同的笛卡尔积表示如下：AB=(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)BA=(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,0),(c,1)AA=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)BB=(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)第3页，本讲稿共33页2022/10/2
3、543.1 经典关系经典关系清晰关系清晰关系关系：笛卡尔积关系：笛卡尔积A1，A2，Ar的一个子集，称的一个子集，称为为A1，A2，Ar的的 r 元关系元关系二元关系：笛卡尔积二元关系：笛卡尔积A1，A2一个子集一个子集一个偶集一个偶集第一个坐标为第一个坐标为A1中的元素，第二个坐标为中的元素，第二个坐标为A2中的元素中的元素约定：术语关系，若无限定，均指二元关系约定：术语关系，若无限定，均指二元关系关系的意义：关系的意义：表示二个（或二个以上）集合元素表示二个（或二个以上）集合元素之间关联、交互、互连是否存在。之间关联、交互、互连是否存在。二元关系的表示：二元关系的表示：显然，U，V是两个清
4、晰的集合第4页，本讲稿共33页2022/10/2553.1 经典关系经典关系清晰关系清晰关系两个论域两个论域X，Y上的笛卡尔积定义为：上的笛卡尔积定义为：任意的任意的 组成一个序偶，并构成组成一个序偶，并构成X、Y键键的无约束偶，即论域的无约束偶，即论域X上的每一个元素与上的每一个元素与Y上的上的每一个元素相关。每一个元素相关。相关强度可以用特征函数来度量，表示为相关强度可以用特征函数来度量，表示为完全相关其值为完全相关其值为1无关其值为无关其值为0第5页，本讲稿共33页2022/10/2563.1 经典关系经典关系清晰关系清晰关系清晰关系的特征函数描述清晰关系的特征函数描述关系矩阵：关系矩阵
5、：当论域或者集合为有限时，关系可当论域或者集合为有限时，关系可用矩阵来表示。用矩阵来表示。一个一个 r 元关系可用一个维矩阵元关系可用一个维矩阵 r 来表示。来表示。二元关系可用一个二维矩阵来表示。二元关系可用一个二维矩阵来表示。第6页，本讲稿共33页2022/10/2573.1 经典关系经典关系例例3-2 X=x1,x2，Y=y1,y2,y3，定义，定义R为为X 到到Y二元关系：二元关系：注意行、列的顺序注意行、列的顺序第7页，本讲稿共33页2022/10/2583.1 经典关系经典关系例例3-3 X，Y是实数集，是实数集，R是是X 到到Y的大于关的大于关系，则系，则YX0R第8页，本讲稿共
6、33页2022/10/2593.1 经典关系经典关系清晰关系清晰关系逆关系：逆关系：设设R是是X到到Y的关系，令的关系，令则则R-1是是Y到到X的关系，称的关系，称R-1为为R的逆关系。的逆关系。特征函数表示：特征函数表示：关系矩阵的性质：关系矩阵的性质：R 与与R-1互为转置，即互为转置，即第9页，本讲稿共33页2022/10/25103.1 经典关系经典关系例例3-4 令令A=3，5，B=1，2，3，则，则AB上的上的“大于关系大于关系”R为：为：R的逆关系，即的逆关系，即BA上的小于关系为：上的小于关系为：第10页，本讲稿共33页2022/10/25113.1 经典关系经典关系例例3-4
7、用关系矩阵描述用关系矩阵描述到的大于关系到的大于关系为：为：到到的小于关系的小于关系R-1为：为：第11页，本讲稿共33页2022/10/25123.1 经典关系经典关系清晰关系的运算清晰关系的运算R和和S为笛卡尔论域为笛卡尔论域XY上的两个独立关系上的两个独立关系并：并：交：交：补：补：包含：包含：同一性：同一性：零关系全关系第12页，本讲稿共33页2022/10/25133.1 经典关系经典关系清晰关系的运算清晰关系的运算 复合复合定义：定义：给定集合给定集合X，Y，Z，设，设R是是XY上的经典上的经典关系，关系，Q是是YZ上的经典关系，上的经典关系，S是是XZ上的经上的经典关系，若：典关
8、系，若：则称关系则称关系S是是R与与Q的复合，记为：的复合，记为：第13页，本讲稿共33页2022/10/25143.1 经典关系经典关系清晰关系的运算清晰关系的运算 复合复合运算方法：运算方法：1.最大最大最小复合（常用）最小复合（常用）2.最大积复合最大积复合第14页，本讲稿共33页2022/10/25153.1 经典关系经典关系例例3-5 R和和Q关系矩阵可表示为关系矩阵可表示为则采用最大则采用最大最小复合法最小复合法第15页，本讲稿共33页2022/10/25163.2 模糊关系模糊关系模糊关系的定义模糊关系的定义笛卡尔积空间笛卡尔积空间 上的模糊关系上的模糊关系是是XY的一个模糊子集
9、的一个模糊子集 。的隶属函数的隶属函数 表示表示X中的元素与中的元素与Y中的元中的元素具有这种关系的程度。素具有这种关系的程度。推广：若推广：若 是是n个集合，则所谓笛卡个集合，则所谓笛卡尔积空间尔积空间 上的一个上的一个n元模糊关系元模糊关系 是指是指 上的一个模糊集。上的一个模糊集。由隶属函数由隶属函数 来描述，它反应了来描述，它反应了 具有这种关系的程度。具有这种关系的程度。第16页，本讲稿共33页2022/10/25173.2 模糊关系模糊关系对比对比精确关系精确关系模糊关系模糊关系表示二个或二个以上集合表示二个或二个以上集合元素之间关联、交互、互元素之间关联、交互、互连连是否存在是否
10、存在。表表示示二二个个或或二二个个以以上上集集合合元元素素之之间间关关联联、交交互互、互互连连是是否否存存在在或或不不存在的程度存在的程度。举例举例第17页，本讲稿共33页2022/10/25183.2 模糊关系模糊关系模糊关系的运算模糊关系的运算 和和 为笛卡尔论域为笛卡尔论域XY上的两个模糊关系上的两个模糊关系并：并：交：交：补：补：包含：包含：同一性：同一性：零关系全关系第18页，本讲稿共33页2022/10/25193.2 模糊关系模糊关系例例3-6：第19页，本讲稿共33页2022/10/25203.2 模糊关系模糊关系模糊关系模糊关系逆关系逆关系：设设 是是X到到Y的模糊关系，令的
11、模糊关系，令则则 是是Y到到X的模糊关系，称的模糊关系，称 为为 的逆关系。的逆关系。隶属函数表示：隶属函数表示：关系矩阵的性质：关系矩阵的性质：与与 互为转置，即互为转置，即第20页，本讲稿共33页2022/10/25213.2 模糊关系模糊关系模糊关系模糊关系笛卡尔积笛卡尔积一般情况下模糊关系是模糊集。一般情况下模糊关系是模糊集。定义：笛卡尔积为两个或两个以上模糊集之间定义：笛卡尔积为两个或两个以上模糊集之间的关系。的关系。设：设：模糊集模糊集 之间的笛卡尔积为模糊关系之间的笛卡尔积为模糊关系 ，它，它包含于整个笛卡尔空间，即包含于整个笛卡尔空间，即其中模糊关系其中模糊关系 的隶属函数为：
12、的隶属函数为：第21页，本讲稿共33页2022/10/25223.2 模糊关系模糊关系例例3-7 有两个模糊集，有两个模糊集，是定义在三个离散温度的全集是定义在三个离散温度的全集 上，上，是定义在两个离散压力的全集是定义在两个离散压力的全集 上，上，且：且：两者之间的模糊笛卡尔积为两者之间的模糊笛卡尔积为第22页，本讲稿共33页2022/10/25233.2 模糊关系模糊关系模糊关系的运算模糊关系的运算 复合复合定义：给定集合定义：给定集合X，Y，Z，设，设 是是XY上的模糊上的模糊关系，关系，是是YZ上的模糊关系，上的模糊关系，是是XZ上的模上的模糊关系，若：糊关系，若：则称关系则称关系 是
13、是 与与 的复合，记为：的复合，记为：注：记注：记第23页，本讲稿共33页2022/10/25243.2 模糊关系模糊关系模糊关系的运算模糊关系的运算 复合复合运算方法：运算方法：最大最大最小复合（常用）最小复合（常用）最大积复合最大积复合第24页，本讲稿共33页2022/10/25253.2 模糊关系模糊关系123ab0.40.20.80.90.90.20.50.7 X中元素中元素2和和Z中元素中元素a通过二二连接建立的路径，选择通过二二连接建立的路径，选择连接强度最大者，其强度由子路径强度乘积或取极小计连接强度最大者，其强度由子路径强度乘积或取极小计算而得。算而得。图示：Y第25页，本讲稿
14、共33页2022/10/25263.2 模糊关系模糊关系第26页，本讲稿共33页2022/10/25273.2 模糊关系模糊关系例例3-8：某家中子女与父母的长相相似关系某家中子女与父母的长相相似关系 为模糊关系，可表示为为模糊关系，可表示为父母子0.20.8女0.60.1用模糊矩阵 来表示为第27页，本讲稿共33页2022/10/25283.2 模糊关系模糊关系例例3-8 该家中父母与祖父母的相似关系该家中父母与祖父母的相似关系 也也是模糊关系，可表示为是模糊关系，可表示为祖父祖母父0.50.7母0.10用模糊矩阵 来表示为第28页，本讲稿共33页2022/10/25293.2 模糊关系模糊
15、关系例例3-8 那么家中孙子、孙女与祖父、祖母的那么家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度如何？相似程度如何？祖父祖母孙子0.20.2孙女0.50.6第29页，本讲稿共33页2022/10/25303.2 模糊关系模糊关系第30页，本讲稿共33页2022/10/2531作业作业3-1已知已知A=1，3，5，B=1，2，3，4。（1）用关系矩阵）用关系矩阵R表示表示AB上的上的“小于关系小于关系”。（2）求）求R的逆关系的逆关系R-1。3-2 已知已知R和和S关系矩阵可表示为关系矩阵可表示为试用最大试用最大最小复合法求最小复合法求 。第31页，本讲稿共33页2022/10/2532作业作业3-3
16、考虑某电动机转速控制问题。与该问题相关的两个变考虑某电动机转速控制问题。与该问题相关的两个变量是转速量是转速(单位：单位：r/m)和负荷和负荷(转矩转矩)，由此可得到以下，由此可得到以下两个隶属函数：两个隶属函数：(a)试求与两变量相关联的模糊关系试求与两变量相关联的模糊关系 。现定义另一个关系，称为模糊电流现定义另一个关系，称为模糊电流 ，它将，它将Y域中的元域中的元素与素与Z域中的元素相联系起来，即域中的元素相联系起来，即第32页，本讲稿共33页2022/10/2533作业作业3-3(b)试用最大试用最大最小复合法求最小复合法求 ，以使，以使X中的元中的元素与素与Z中的元素联系起来。中的元素联系起来。(c)试用最大积复合法求试用最大积复合法求 。第33页，本讲稿共33页