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1、波函数和算符1第1页，本讲稿共23页上讲内容：德布罗意公式不确定关系2第2页，本讲稿共23页 微观粒子的基本属性不能用经典语言确切地表达，微观粒子的基本属性不能用经典语言确切地表达，“波粒二象性波粒二象性”借用经典语言进行互补性描述。借用经典语言进行互补性描述。对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾。借用经典语言引起的表观矛盾。量子力学量子力学在在“波粒二象性波粒二象性”概念基础上，建立了包概念基础上，建立了包含一套计算规则及对数学程式的物理解释。这是建立含一套计算规则及对数学程式的物理解释。这是建立在基本假设之上
2、的构造性理论，其正确性由实践检验。在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实践检验。第三节第三节 波动性和粒子性波动性和粒子性量子力学德布罗意、薛定谔：波动力学理论海森堡、约当：矩阵力学理论3第3页，本讲稿共23页一、波动性一、波动性一、波动性一、波动性经典理论：波动即是振动状态在空间的传播波动方程：波动方程表示了如下特征波动方程表示了如下特征：1)描述波动的特征量为波长、频率、波速。描述波动的特征量为波长、频率、波速。2)波动满足叠加原理，即如果波动满足叠加原理，即如果 1、2是方程的解，是方程的解，其线性组合其线性组合C1 1+C2 2也是方程的解。也是方程的解。3)边界条件约束下得到相应的
3、方程解，对应于各自边界条件约束下得到相应的方程解，对应于各自的运动状态，驻波对应于定态。的运动状态，驻波对应于定态。4)平面单色波的解平面单色波的解表示波在表示波在x从从-到到+传播的行波特征。传播的行波特征。4第4页，本讲稿共23页二、粒子性二、粒子性二、粒子性二、粒子性 经典力学表示的粒子具有如下特征：1)描述粒子运动的基本物理量是质量、大小、位置、速度、能量、动量。2)粒子整体运动遵从牛顿定律。三、微观粒子波粒二象性的描述三、微观粒子波粒二象性的描述三、微观粒子波粒二象性的描述三、微观粒子波粒二象性的描述 由于受不确定关系约束，需突破经典描述方法：由于受不确定关系约束，需突破经典描述方法
4、：由于受不确定关系约束，需突破经典描述方法：由于受不确定关系约束，需突破经典描述方法：1)“波长、频率波长、频率”作为描述波动性的特征量。作为描述波动性的特征量。2)“能量、动量能量、动量”作为作为描述粒子性的特征量。描述粒子性的特征量。3)建立包含粒子性特征量的概率波波动方程建立包含粒子性特征量的概率波波动方程 薛薛定谔方程定谔方程。5第5页，本讲稿共23页 量子力学用量子力学用波函数波函数描述微观粒子的运动状态，波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程所遵从的方程薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程。是量子力学的基本方程。波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设。波函数和薛定谔
5、方程都是量子力学的基本假设。第六章 波函数和薛定谔方程第一节第一节 波函数与算符波函数与算符 一、微观粒子的运动状态描述一、微观粒子的运动状态描述一、微观粒子的运动状态描述一、微观粒子的运动状态描述-波函数波函数波函数波函数 波函数：描述微观客体的运动状态，是概率波的 数学表达形式。一般表示为复指数函数形式6第6页，本讲稿共23页例例例例：一维自由粒子的波函数一维自由粒子的波函数经典描述：经典描述：沿沿 x 轴匀速直线运动轴匀速直线运动量子描述：类比：单色平面波一定沿直线传播自由粒子：不受任何其它势场或粒子的作用以坐标原点为参考点，7第7页，本讲稿共23页（取实部）推广：三维自由粒子波函数意义
6、：意义：波函数波函数 确定了微观粒子运确定了微观粒子运 动的动的全部全部全部全部力学性质。力学性质。8第8页，本讲稿共23页二、力学量的确定二、力学量的确定二、力学量的确定二、力学量的确定 由于波粒二象性，微观粒子的能量和动量只能通过相应的算符作用于波函数得到。自由粒子动量将波函数对将波函数对x求偏导数，再乘以求偏导数，再乘以i，则有，则有将波函数对将波函数对t求偏导数，再乘以求偏导数，再乘以i，则有，则有可见可见E、px对应着算符作用于波函数，相应的对应着算符作用于波函数，相应的算符算符算符算符为：为：9第9页，本讲稿共23页同理可得动量的其它两个分量算符为：可以推知自由粒子的非相对论可以推
7、知自由粒子的非相对论动能算符动能算符动能算符动能算符为：为：其中 为拉普拉斯算符用算符表示力学量：用算符表示力学量：力学量与其相应的算符对应力学量与其相应的算符对应亦即，微观粒子的力学量只能用算符表示。这是微观亦即，微观粒子的力学量只能用算符表示。这是微观粒子波粒二象性的结果。粒子波粒二象性的结果。非自由粒子非自由粒子，能量，能量=动能动能+势能势能对应算符即对应算符即哈密顿算符哈密顿算符哈密顿算符哈密顿算符10第10页，本讲稿共23页光栅衍射电子衍射类比第二节第二节 波函数的统计解释波函数的统计解释 经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意义对
8、于微观客体，其状态由波函数完全确定。义对于微观客体，其状态由波函数完全确定。问题：波函数有什么样的物理意义？问题：波函数有什么样的物理意义？问题：波函数有什么样的物理意义？问题：波函数有什么样的物理意义？11第11页，本讲稿共23页I大处 到达光子数多I小处 到达光子数少I=0 无光子到达各光子起点、终点、路径均不确定用 I 对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点、终点、路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述I大 电子到达该处概率大I=0电子到达该处概率为零I小 电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射12第12页，本讲稿共23页 t 时刻，出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的粒子数与总粒子
9、数之比。t 时刻，粒子出现在空间(x,y,z)点附近单位体积内的概率。t 时刻，粒子在空间的概率密度分布。一般,t 时刻,到达空间 r(x,y,z)处附近某体积dV内的粒子数的物理意义：13第13页，本讲稿共23页 物质波的波函数不描述介质中运动状 态(相位)传播的过程 概率密度，描述粒子在空间的统计分布概率幅注意注意干涉项14第14页，本讲稿共23页4.波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为1 归一化条件对微观客体的量子力学描述：对微观客体的量子力学描述：脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。矛盾
10、，将波粒二象性统一到一起。标准条件15第15页，本讲稿共23页第三节第三节第三节第三节 薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。一、薛定谔方程一、薛定谔方程一、薛定谔方程一、薛定谔方程 一维自由粒子的一维自由粒子的一维自由粒子的一维自由粒子的薛定谔薛定谔薛定谔薛定谔方程方程方程方程由经典波动方程 设微观粒子波函数满足代入上式得16第16页，本讲稿共23页薛定谔方程对于质量为m的自由粒子，三维三维自由粒子自由粒子自由粒子自由粒子薛定谔方程薛定谔方程 三维三维粒子粒子粒子粒子薛定谔方程薛定谔方程 存在势场存在势场17第17页，本讲稿共23页式中，振幅函
11、数与驻波类比1.一维自由粒子的定态一维自由粒子的定态一维自由粒子的定态一维自由粒子的定态薛定谔薛定谔薛定谔薛定谔方程方程方程方程二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程定态：势函数不随时间变化18第18页，本讲稿共23页要求波函数(x,t)的模方，只需求振幅函数(x)的模方。建立关于振幅函数建立关于振幅函数 (x)的方程的方程 振幅方程振幅方程*振幅函数19第19页，本讲稿共23页非相对论考虑自由粒子：势函数*代入得即 一维自由粒子的振幅方程20第20页，本讲稿共23页 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程粒子在力场中运动，且
12、势能不随时间变化即 一维定态薛定谔方程得*代入21第21页，本讲稿共23页2.三维定态薛定谔方程三维定态薛定谔方程三维定态薛定谔方程三维定态薛定谔方程拉普拉斯算符即 三维定态薛定谔方程振幅函数振幅函数振幅函数振幅函数22第22页，本讲稿共23页求解问题的思路求解问题的思路求解问题的思路求解问题的思路：1)写出具体问题中势函数写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程。的形式代入方程。2)用分离变量法求解。用分离变量法求解。3)用归一化条件和标准条件确定积分常数。只有E取某些特定值时才有解本征值本征函数 4)讨论解的物理意义，即求讨论解的物理意义，即求|2，得出粒子在空间得出粒子在空间的概率分布。的概率分布。23第23页，本讲稿共23页