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1、二次函数知识点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c（a，b，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c可以为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数y ax2bx c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项练习3、练习巩固（1）已知函数 y=(k+2)xk2k4是关于 x 的二次函数,则 k=_.（2）已知正方形的周长是ccm,面积为 Scm2,则 S 与 c 之间的函数关系式为_.（3）填表:c261412c16（4）在
2、边长为 4m 的正方形中间挖去一个长为 xm 的小正方形,剩下的四方框形的面积为 y,则 y 与 x 间的函数关系式为_.（5）用一根长为 8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为 xm,则该窗户的面积 y(m2)与 x(m)之间的函数关系式为_.s 二、二次函数的基本形式2y ax2.二次函数的性质2y ax（a 0）(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2y ax(2)函数的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点2y ax bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.3.二次函数2y ax bx c用配方法可化成：
3、y ax h4.二次函数5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2b4 ac b2h ，k k的形式，2 a4 a其中.2222y a x hy a x h ky axy ax ky ax bx c.；26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a决定抛物线的开口方向：a当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4acb2b
4、 4acb2by ax bxc ax（，）x2a4a，顶点是2a4a2a.(1)公式法：，对称轴是直线2ya xhk的形式，顶点为(h,k)，对称轴是x h.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为22(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失2y ax bx c中，a,b,c的作用9.抛物线(1)a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线b 2yax bxc的对称轴是直
5、线y轴左侧；2x b2a,故：b 00时，对称轴为y轴；a(即a、b同号)时,对称轴在b 0a(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.2y ax bx c与y轴交点的位置.c(3)的大小决定抛物线2y ax bx c与y轴有且只有一个交点(0，c)：y cx 0当时，抛物线c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.b 0ya以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则巩固练习：巩固练习：21、抛物线 y=ax+bx+c，当 a0 时图象有最点，此时函数有最值；当 a0 时图象有最点，此时函数有最值2、已知二次函数 y=ax+bx+c 的图
6、象如图所示，试判断下面各式的符号：(1)abc(2)b-4ac(223)2a+b(4)a+b+c（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b b-4ac-4ac 的符号看抛的符号看抛物线与物线与 x x 轴的交点情况；轴的交点情况；2a+b2a+b 看对称轴的位置；而看对称轴的位置；而 a+b+ca+b+c 的符号要看的符号要看 x=1x=1 时时 y y 的值）的值）3 3、如图，抛物线的对称轴是x 1，与 x 轴交于 A、B 两点，若 B 点坐标是(3,0)，则 A 点的坐标是_.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析
7、式开口方向2 2对称轴顶点坐标(0,0)y ax2当a 0时x 0(y轴)y ax h k2y ax2 k2y ax h2开口向上当a 0时开口向下x 0(y轴)(0,k)(h,0)(h,k)x hx hbx 2ay ax bx c11.用待定系数法求二次函数的解析式b4ac b2，4a)(2a2y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(1)一般式：(2)顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.212.直线与抛物线的交点2y ax bx c得交点为(0
8、,c)y(1)轴与抛物线2y ax bx c有且只有一个交点(h,ah2 bh c).yx h(2)与轴平行的直线与抛物线(3)抛物线与x轴的交点2y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程二次函数ax2bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，2则横坐标是ax
9、 bx c k的两个实数根.2y ax bx ca 0的图像G的交点，由方程组y kx n k 0l(5)一次函数的图像 与二次函数y kx n2y ax bx c的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.2y ax bx c与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线bcx x ,x1x2x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故12aaAB x1 x2x1 x22x1 x22b24acb4c4x1x2 aaaa213二次函数与一元二次方程的关系：22y ax bx
10、 cy ax bx c当函数 y 的值为 0 时的情况(1)一元二次方程就是二次函数2y ax bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当(2)二次函数2y ax bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值，即一元二二次函数2ax bxc 0的根次方程22y ax bx cy ax bx c有两个不x(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程2y ax bx c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程相等的实数根；当二次函数2ax2bxc 0有两个相等的实数根；当二次函数y ax bx c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方
11、程ax bxc 0没有实数根【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号由抛物线的位置确定系数的符号例 1（1）二次函数y ax2bx c的图像如图 1，则点M(b,)在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图 2 所示，则下列结论：a、b 同号；当 x=1和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2ca (1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键例 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
12、与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方 下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为()A 1 个 B.2 个 C.3 个 D4 个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax+bx+c 的对称轴是直线22x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)答案：C用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCD
13、E（如图），其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）152030y（件）252010若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】（1）设此一次函数表达
14、式为y=kx+b则15k b 25,解得 k=-1，b=40，即一次函数表达2k b 20式为 y=-x+40（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为 w 元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225产品的销售价应定为25 元，此时每日获得最大销售利润为225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程综合复习：综合复习：一、选择题：1.抛物线y (x
15、2)2 3的对称轴是（）A.直线x 3B.直线x 3C.直线x 2D.直线x 2y在（）2.二次函数y ax2 bx c的图象如右图，则点M(b,A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限c)a3.已知二次函数y ax2 bx c，且a 0，a bc 0，则一定有（）A.b2 4ac 0B.b2 4ac 0C.b2 4ac 0OxD.b2 4ac04.把抛物线y x2 bx c向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是y x2 3x 5，则有（）A.b 3，c 7C.b 3，c 35.已知反比例函数 y yOyxB.b 9，c 15D.b 9，c 21k的图象如右图
16、所示，则二次函数y 2kx2 x k2的图象大致为（）xyyyOAxOBxOCxODx6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ax2(a c)x c与一次函数y ax c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）yyyyOxOBxOCxODxA7.抛物线y x2 2x 3的对称轴是直线（）A.x 2B.x 2C.x 1D.x 1y8.二次函数y (x 1)2 2的最小值是（）A.2B.2C.1D.19.二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，若M 4a 2b c N a b c，则（）A.M 0，N 0，P 0B.M 0，N 0，P 0P 4a b，C.M 0，N 0，P 0
17、D.M 0，N 0，P 0二、填空题：-1O12x10.将二次函数y x2 2x 3配方成y (x h)2 k的形式，则 y=_.11.已知抛物线y ax2 bx c与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况是_.12.已知抛物线y ax2 x c与 x 轴交点的横坐标为1，则a c=_.13.请你写出函数y (x 1)2与y x21具有的一个共同性质：_.14.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，写出一满足条件的二次函数解析式：_.15.15、已知函数y x2 bx 1的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当x 0时，求使 y2 的
18、 x 的取值范围16、如右图，抛物线y x2 5x n经过点A(1,0)，与 y 轴交于点 B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是 y 轴正半轴上一点，且PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标.yOA1x-1B17、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30 万元；（3）求第
19、 8 个月公司所获利润是多少万元？参考答案参考答案一、选择题：题号答案二、填空题：1.y (x 1)22.有两个不相等的实数根3.14.（1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）6.y x 2x 1等（只须a 0，c 0）7.(2 三、解答题：1.解：（1）函数y x bx 1的图象经过点（3，2），9 3b 1 2.解得b 2.函数解析式为y x 2x 1.（2）当x 3时，y 2.22221D2D3A4A5D6D7D8B9D3,0)8.x 3，1 x 5，1，4根据图象知当 x3 时，y2.当x 0时，使 y2 的 x 的取值范围是 x3.2.解：（1）由题意得1
20、5 n 0.n 4.抛物线的解析式为y x 5x 4.（2）点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为(0,4).OA=1，OB=4.在 RtOAB 中，AB 2OA2 OB217，且点 P 在 y 轴正半轴上.当 PB=PA 时，PB 17.OP PB OB 17 4.此时点 P 的坐标为(0,17 4).当 PA=AB 时，OP=OB=4此时点 P 的坐标为（0，4）.23.解：（1）设 s 与 t 的函数关系式为s at bt c，1a,a b c 1.5,a b c 1.5,21由题意得4a 2b c 2,或4a 2b c 2,解得b 2,s t2 2t.225a 5b c 2.5；c 0.c 0.（2）把 s=30 代入s 121t 2t，得30 t2 2t.解得t110，t2 6（舍去）22答：截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元.（3）把t 7代入，得s 把t 8代入，得s 172 27 10.5.2182 28 16.216 10.5 5.5.答：第 8 个月获利润 5.5 万元.