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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 1 页 共 12 页 第三节等比数列及其前 n 项和 一、基础知识批注理解深一点 1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，定义的表达式为an1anq.(2)等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即 G 是 a与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列G2ab.只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个
2、.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前 n 项和公式：Sn na1，q1，a11qn1qa1anq1q，q1.已知a1，q，n，an，Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.在等比数列求和时，要注意q1和q1的讨论.3等比数列与指数型函数的关系 当 q0 且 q1 时，ana1qqn可以看成函数 ycqx，其是一个不为 0 的常数与指数函数的乘积，因此数列an各项所对应的点都在函数 ycqx的图象上；对于非常数列的等比数列an的前 n 项和 Sna11qn1qa11qqna11q，若设 aa11q，则 Snaqna(a0，q0，q1)由此可知，数列Sn的图
3、象是函数 yaqxa 图象上一系列孤立的点 对于常数列的等比数列，即 q1 时，因为 a10，所以 Snna1.由此可知，数列Sn的图象是函数 ya1x 图象上一系列孤立的点 二、常用结论汇总规律多一点 设数列an是等比数列，Sn是其前 n 项和(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若 mnpq，则 amanapaq；若 2spr，则 apara2s，其中 m，n，p，q，s，rN*.(3)ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为 qm(k，mN*)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 2 页 共 12 页(
4、4)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban，panqbn和panqbn也是等比数列(5)若数列an的项数为 2n，则S偶S奇q；若项数为 2n1，则S奇a1S偶q.三、基础小题强化功底牢一点 一判一判对的打“”，错的打“”(1)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()答案：(1)(2)(3)(4)(二)选一选 1在等比数列an中，a11，a32，则 a7()
5、A8 B8 C8 或8 D16 或16 解析：选 B 设等比数列an的公比为 q，a11，a32，q22，a7a3q42228.故选 B.2数列an满足 a427，an13an(nN*)，则 a1()A1 B3 C1 D3 解析：选 C 由题意知数列an是以3 为公比的等比数列，a4a1(3)327，a127331.故选 C.3已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，a2a52a3,2a44a75，则 S5()A29 B31 C33 D36 解析：选 B 设等比数列an的公比为 q，由题意知 a1qa1q42a1q2，2a1q34a1q65，解得 q12，a116，所以 S5a11q51q31
6、，故选 B.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 3 页 共 12 页(三)填一填 4已知 Sn是各项均为正数的等比数列an的前 n 项和，若 a2a416，S37，则 q_.解析：a2a4a2316，a34(负值舍去)，又 S3a1a2a3a3q2a3qa37，联立，得 3q24q40，解得 q23或 q2，an0，q2.答案：2 5(2017北京高考)若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则a2b2_.解析：设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，则 a413d8，解得 d3；b41q38，解
7、得 q2.所以 a2132，b21(2)2，所以a2b21.答案：1 考点一 等比数列的基本运算 典例(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记 Sn为an的前 n 项和若 Sm63，求 m.解(1)设an的公比为 q，由题设得 anqn1.由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)或 q2 或 q2.故 an(2)n1或 an2n1.(2)若 an(2)n1，则 Sn12n3.由 Sm63，得(2)m188，此方程没有正整数解 若 an2n1，则 Sn12n122n1.由 Sm63，得 2m64，解得 m6.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网
8、整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 4 页 共 12 页 综上，m6.解题技法 等比数列基本运算中的 2 种常用数学思想 方程思想 等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量 a1和 q，问题可迎刃而解 分类讨论思想 等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna11qn1qa1anq1q 题组训练 1已知等比数列an单调递减，若 a31，a2a452，则 a1()A2 B4 C.2 D2 2 解析：选 B 由题意，设等比数列a
9、n的公比为 q，q0，则 a23a2a41，又 a2a452，且an单调递减，所以 a22，a412，则 q214，q12，所以 a1a2q4.2(2019长春质检)已知等比数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn，若 a22，S6S46a4，则 a5()A4 B10 C16 D32 解析：选 C 设公比为 q(q0)，S6S4a5a66a4，因为 a22，所以 2q32q412q2，即 q2q60，所以 q2，则 a522316.3(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S374，S6634，则 a8_.解析：设等比数列an的公比为 q，则由 S6
10、2S3，得 q1，则 S3a11q31q74，S6a11q61q634，解得 q2，a114，则 a8a1q7142732.答案：32 考点二 等比数列的判定与证明 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 5 页 共 12 页 典例 已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若 bnan12an，求证：bn是等比数列 证明 因为 an2Sn2Sn14an124an24an14an，所以bn1bnan22an1an12an4an14an2an1an12an2an14anan12an2.因为 S2a1a24a
11、12，所以 a25.所以 b1a22a13.所以数列bn是首项为 3，公比为 2 的等比数列 解题技法 1掌握等比数列的 4 种常用判定方法 定义法 若an1anq(q 为非零常数，nN*)或anan1q(q 为非零常数且 n2，nN*)，则an是等比数列 中项公式法 若数列an中，an0 且 a2n1anan2(nN*)，则数列an是等比数列 通项公式法 若数列通项公式可写成 ancqn1(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an是等比数列 前 n 项和公式法 若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0,1)，则an是等比数列 2等比数列判定与证明的 2 点注意(
12、1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前 n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列(2)证明一个数列an不是等比数列，只需要说明前三项满足 a22a1a3，或者是存在一个正整数 m，使得 a2m1amam2即可 题组训练 1数列an的前 n 项和为 Sn2an2n，证明：an12an是等比数列 证明：因为 a1S1,2a1S12，所以 a12，由 a1a22a24 得 a26.由于 Sn2an2n，故 Sn12an12n1，后式减去前式得 an12an12an2n，即an12an2n，所以 an22an12an12n12(2an2n)2(an12an)
13、，又 a22a16222，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 6 页 共 12 页 所以数列an12an是首项为 2、公比为 2 的等比数列 2(2019西宁月考)已知在正项数列an中，a12，点 An(an，an1)在双曲线 y2x21 上在数列bn中，点(bn，Tn)在直线 y12x1 上，其中 Tn是数列bn的前 n 项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列 解：(1)由已知点 An在 y2x21 上知，an1an1.数列an是一个以 2 为首项，1 为公差的等差数列 ana1(n1)d2n1n1.(
14、2)证明：点(bn，Tn)在直线 y12x1 上，Tn12bn1.Tn112bn11(n2)两式相减，得 bn12bn12bn1(n2)32bn12bn1，bn13bn1.由，令 n1，得 b112b11，b123.数列bn是以23为首项，13为公比的等比数列 考点三 等比数列的性质 考法(一)等比数列项的性质 典例(1)(2019洛阳联考)在等比数列an中，a3，a15是方程 x26x20的根，则a2a16a9的值为()A2 22 B 2 C.2 D 2 或 2(2)(2018河南四校联考)在等比数列an中，an0，a1a2a84，a1a2a816，则1a11a21a8的值为()A2 B4
15、C8 D16 解析(1)设等比数列an的公比为 q，因为 a3，a15是方程 x26x20 的根，所以欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 7 页 共 12 页 a3a15a292，a3a156，所以 a30，a150，a4a52，1a11a21a82.故选 A.答案(1)B(2)A 考法(二)等比数列前 n 项和的性质 典例 各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2，S3n14，则 S4n等于()A80 B30 C26 D16 解析 由题意知公比大于 0，由等比数列性质知 Sn，S2nSn，S3nS2n，S4
16、nS3n，仍为等比数列 设 S2nx，则 2，x2,14x 成等比数列 由(x2)22(14x)，解得 x6 或 x4(舍去)Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为 2，公比为 2 的等比数列 又S3n14，S4n1422330.答案 B 解题技法 应用等比数列性质解题时的 2 个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则 amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用 题组训练 1(2019郑州第二次质量预测)已知
17、等比数列an中，a2a5a88，S3a23a1，则 a1()A.12 B12 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 8 页 共 12 页 C29 D19 解析：选 B 设等比数列an的公比为 q(q1)，因为 S3a1a2a3a23a1，所以a3a1q22.因为 a2a5a8a358，所以 a52，即 a1q42，所以 4a12，所以 a112，故选 B.2已知等比数列an共有 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 q_.解析：由题意，得 S奇S偶240，S奇S偶80，解得 S奇80，S偶160，所以
18、qS偶S奇160802.答案：2 课时跟踪检测 A 级保大分专练 1(2019合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列an满足 a1a516，a22，则公比 q()A4 B.52 C2 D.12 解析：选 C 由题意，得 a1a1q416，a1q2，解得 a11，q2或 a11，q2(舍去)，故选C.2(2019辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列an中，a4与 a14的等比中项为 2 2，则 log2a7log2a11的值为()A1 B2 C3 D4 解析：选C 由题意得 a4a14(2 2)28，由等比数列的性质，得 a4a14a7a118，log2a7log2a11log2(a7a
19、11)log283，故选 C.3在等比数列an中，a2a3a48，a78，则 a1()A1 B1 C2 D2 解析：选 A 因为数列an是等比数列，所以 a2a3a4a338，所以 a32，所以 a7a3q42q48，所以 q22，则 a1a3q21，故选 A.4(2018贵阳适应性考试)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a112，a2a68(a4欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 9 页 共 12 页 2)，则 S2 019()A22 01812 B1122 018 C22 01912 D1122 019 解析：选
20、A 由等比数列的性质及 a2a68(a42)，得 a248a416，解得 a44.又 a412q3，故 q2，所以 S2 01912122 0191222 01812，故选 A.5在等比数列an中，a1a3a521，a2a4a642，则 S9()A255 B256 C511 D512 解析：选 C 设等比数列的公比为 q，由等比数列的定义可得 a2a4a6a1qa3qa5qq(a1a3a5)q2142，解得 q2.又 a1a3a5a1(1q2q4)a12121，解得 a11.所以 S9a11q91q112912511.故选 C.6已知递增的等比数列an的公比为 q，其前 n 项和 Sn0，则(
21、)Aa10,0q1 Ba11 Ca10,0q0，q1 解析：选 A Sn0，a1an，且|an|an1|，则anan10，则 qan1an(0,1)，a10,0q0)，由 a5a1q416，a11，得 16q4，解得 q2，所以 S7a11q71q112712127.答案：127 8 在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_ 解析：设该数列的公比为 q，由题意知，1923q3，q364，所以 q4.所以插入的两个数分别为 3412,12448.答案：12,48 9(2018江西师范大学附属中学期中)若等比数列an满足 a2a4a5，a48，则数列an的前
22、n 项和 Sn_.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 10 页 共 12 页 解析：设等比数列an的公比为 q，a2a4a5，a48，a1qa1q3a1q4，a1q38，解得 a11，q2，Sn112n122n1.答案：2n1 10已知等比数列an为递减数列，且 a25a10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式 an_.解析：设公比为 q，由 a25a10，得(a1q4)2a1q9，即 a1q.又由 2(anan2)5an1，得 2q25q20，解得 q12()q2舍去，所以 ana1qn112n.答案：12n 11
23、(2018全国卷)已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bnann.(1)求 b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式 解：(1)由条件可得 an12n1nan.将 n1 代入得，a24a1，而 a11，所以 a24.将 n2 代入得，a33a2，所以 a312.从而 b11，b22，b34.(2)数列bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得an1n12ann，即 bn12bn，又 b11，所以数列bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列(3)由(2)可得ann2n1，所以 ann2n1.12(2019甘肃诊断)设数列a
24、n1是一个各项均为正数的等比数列，已知 a37，a7欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 11 页 共 12 页 127.(1)求 a5的值；(2)求数列an的前 n 项和 解：(1)由题可知 a318，a71128，则有(a51)2(a31)(a71)81281 024，可得 a5132，即 a531.(2)设数列an1的公比为 q，由(1)知 a31a11q2，a51a11q4，得 a112，q2，所以数列an1是一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an122n12n，所以 an2n1，利用分组求和可得，数列an的
25、前 n 项和 Sn212n12n2n12n.B 级创高分自选 1在各项都为正数的数列an中，首项 a12，且点(a2n，a2n1)在直线 x9y0 上，则数列an的前 n 项和 Sn等于()A3n1 B.13n2 C.13n2 D.3n2n2 解析：选 A 由点(a2n，a2n1)在直线 x9y0 上，得 a2n9a2n10，即(an3an1)(an3an1)0，又数列an各项均为正数，且 a12，an3an10，an3an10，即anan13，数列 an是首项 a12，公比 q3 的等比数列，其前 n 项和 Sn213n133n1.2(2019郑州一测)已知数列an满足 log2an11lo
26、g2an(nN*)，且 a1a2a3a101，则 log2(a101a102a110)_.解析：因为 log2an11log2an，可得 log2an1log22an，所以 an12an，所以数列an是以 a1为首项，2 为公比的等比数列，又 a1a2a101，所以 a101a102a110(a1a2a10)21002100，所以 log2(a101a102a110)log22100100.答案：100 3已知数列an中，a11，anan112n，记 T2n为an的前 2n 项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出 bn；(2)求 T2n.欢迎您阅读并下载本
27、文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 12 页 共 12 页 解：(1)anan112n，an1an212n1，an2an12，即 an212an.bna2na2n1，bn1bna2n2a2n1a2na2n112a2n12a2n1a2na2n112，a11，a1a212，a212，b1a1a232.bn是首项为32，公比为12的等比数列 bn3212n132n.(2)由(1)可知，an212an，a1，a3，a5，是以 a11 为首项，以12为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以 a212为首项，以12为公比的等比数列，T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)112n11212112n112332n.