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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！空间向量及其运算【高考导航】本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分.【学法点拨】本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向
2、量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x，y，z）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同.【基础知识必备】一、必记知识精选1.空间向量的定义(1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.(2)向量的表
3、示有三种形式：a,AB，有向线段.2.空间向量的加法、减法及数乘运算.(1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21AA+32AA+1AAn=0.(2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意OA-OB=BA的逆应用.(3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量.3.共线向量与共面向量的定义.(1)如果表示空间向量的有向
4、线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b),aa=b,若A、B、P三点共线,则对空间任意一点O,存在实数t,使得OP=(1-t)OA+t OB,当t=21时,P是线段AB 的中点,则中点公式为OP=21(OA+OB).(2)如果向量a所在直线OA平行于平面或 a在内,则记为a,平行于同一个平面的欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！,.ab.pabxy.p=xa+yb.OABCABCPOP=x OA+y OB+z OCx+y+z=1.4.abcpxyzp=xa+yb+zc.abcxa
5、+yb+zc=Ox=y=z=0.00.5.ab=|a|b|cosa,b1ae=|a|cos2aab=0.3|a|2=aa4|a|b|ab.12.3.1?23(4)?ab=baa,ba,b;9-5-1(a)AOB=.(b)AOB=-AOOB,=-AOOB.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1e1e2AB=e1+e2AC=2e1+8e2AD=3e1-3 e2.ABCD.ABCDABACADAB+AC+AD=0.:(e1+e2)+(2e1+8e2)+(3 e1-3 e2)=0.(+2+3)e1+(+8-3)e2=0.1e2.038,03
6、2,=-5,=1,=1,-5AB+AC+AD=0.ABACADABCD.=-5,=1,=1.22.:a.,-a,v,v-a.9-5-2.OA=-a,OB=-2a.PO+OA=PA,PA=v-a.PO+OB=PBv-2=PB.2PB.,PB O=45,PABOBA=A OPB O.PO=PB=2.|v|=2.2.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！.39-5-3(1)EFGHABCD AB BCCD DA.1EFGH2BDEFGH.:(1)EFGHx,y,EG=xEF+yEH;(2)BDEFGH,BDEH.:(1)9-5-3(2),B
7、G,EG=EB+BG=EB+21(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH.EFGH.(2)EH=AH-AE=21AD-21AB=21(AD-AB)=21BD,EHBD.EHEFGH BDEFGHBDEFGH.49-5-4ABCD A1B1C1D1ED1C1A1C1DE.AC1A1C1DE,11CADE.11CADE11CADE|11CA|DE|.:m,AB=a,AD=b,1AA=c.|a|=|b|=|c|=mab=bc=ca=0.11CA=11BA+11CB=AB+AD=a+b,DE=1DD+ED1=1DD+2111CD=c+21a,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权
8、请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！11CADE=(a+b)(c+21a)=ac+bc+21a2+21ab=21a2=21m2.|11CA|=2m,|DE|=25m,cos=|1111DECADECA=mmm252212=1010.=arccos1010.A1C1DEarccos1010.A1C1DE.11CADE,.52000129-5-5ABCD A1B1C1D1ABCDC1CB=C1CD=BCD.(1)C1CBD(2)1CCCD,A1CC1BD?.ab=|a|b|cos0,abab=0,.(1):CD=a,CB=b,1CC=c.|a|=|b|.CDCB1CC,BD=CD-CB=a-
9、b,1CCBD=ca-b)=ca-cb=|c|a|cos-|c|b|cos=0,C1CBD.(2):A1CC1BD,A1CBD,A1CDC1,:1CADC1=(CA+1AA)CD-1CC)=(a+b+c)a-c)=|a|2+ab-bc-|c|2=|a|2+|b|a|cos-|b|c|cos-|c|2=0,|a|=|c|A1CDC1.|a|=|c|,A1CBD.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1CCCD=1,A1CC1BD.a-ba+b=a2-b2(ab)2=a2ab+b2.6.9-5-6ABCDEFGHPQ.EFGH PQOO.
10、EFGHOPOQOPOQ.PQO.EGABACEG21BC.HF21BC.EG HF.EGFHEFGHOOOPOQ.OP=OG+GP,OQ=OH+HQ,OGHOG+OH=0,GP21CD QH21CD.GP=21CD,QH=21CD.OP+OQ=OG+OH+GP+HQ=0+21CD-21CD=0.OP=-OQ.PQOOPQ.:,EFO.OPOQ,FQ=EQ-EF,EQ=21AC=-FP,EF=-2 FO,FQ=-FP+2 FO,FO=21(FQ+FP)OPQOPQGHOOGH.79-5-7OABCDa=OAb=OB,c=OC,d=OD.ABCDa+b+c+d=0+=0.欢迎您阅读并下载本文档，
11、本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！.()ABCDABCABACxyAD=xAB+y AC,d-a=x(b-a)+y(c-a),(x+y-1)a-xb-yc+d=0.=x+y-1,=-x,=-y,=1.a+b+c+d=0,+=0.=-(+),a+b+c+d=a+b+c-(+)d=0.(a-d)+(b-d)+(c-d)=0.-d=OA-OD=DA,b-d=DB,c-d=DC,DA+DB+DC=0.,0.DC=-DA-DB.DCDADBABCD.A:60 455301.OABCOAOBOCA.OABC B.OABCC.OABC D.OABC2.ABCD A1B
12、1C1D1,()AB+BC+1CC1AA+11DA+11CDAB+1BB+11CB1AA+11BA+11CB欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！A.1 B.2 C.3 D.43.pabc;qa,b,cpqA.B.C.D.4.A BCDABAC=0ACAD=0ABAD=0,BCDA.B.C.D.5.A.ababB.aaaaC.a,b,ca-b,b-c,c-aD.OP=21OA+21OB,PAB6.a=e1+e2+e3b=e1-e2-e3c=e1+e2d=e1+2e23e3d=xa+yb+zcxyzA.25,-21,-1 B.25,21
13、,1 C.-25,21,1 D.25,-21,1 4167.abc60|a|=5|b|=3|c|=8a+3c3b-2 a2a+b-3c2=.8.nAA1=2aab30|a|=321AA+32AA+nnAA1b .9.9-5-8OABCOBACMOA,GABCOAOBOCMG .10.PABCOOP=2OA+34OB+OC,=.71411.9-5-9OABCD A1B1C1D1P.PA+PB+PC+PD+1PA+1PB+1PC+1PD=8PO.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！12.9-5-10ABACBDAB,30.AB=a,AC
14、=BD=b,CD.B:90 90(10)1.9-5-11ABCD OAC1OA=2OA,1OB=2OB,1OC=2OC,1OD=2OD.A1B1C1D1.102.ABCC=60,CDC,AC=4 BC=2BBN CD NCAEBDC CDBNE=120AB.60(10)3.P3 529-5-12ABCDaABCD.(15)4.ABCD,PABCDPAABCDM NPC PDMPC2NPD1MN=xAB+yAD+zAPxyz.(15)5.ab,=3,=6|a|=1|b|=2|c|=3|a+b+c|.1ab=3=6|a|=1|b|=2|c|=3|a+2b-c|.2ab=3|a|=1|b|=2|c|
15、=3|a+b+c|=3617欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！OE=lnOClnOA1=nlOCnOAlOD=1OCOF=uOEuOB1(DCFD=,uDEBD).=1mn.OD=nmllOA+nmlmOB+nmlnOC1BECFABCG.GOG=31(OA+OB+OC).2BECFABCI.FBAF=ab,ECAE=ac,IOI=cbaaOA+cbabOB+cbacOC.3BECFABCH.ECAE=CaAccoscos=AaCcc
16、oscos.FBAF=AaBbcoscos.HOH=OACcBbAaCacoscoscoscos+OBCcBbAaCbcoscoscoscos+OCCcBbAaCccoscoscoscos.4BECFOABCOA=OB=OC.ECAE=CBECBEEBAABEsinsinsinsin=)(21sinsin)(21sinsinCBOABAOC=AACCcossincossin=AC2sin2sin.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！FBAF=AB2sin2sin.OOO=CBAA2sin2sin2sin2sinOA+CBAB2sin
17、2sin2sin2sinOB+OCCBAC2sin2sin2sin2sin.!,.A1.B .2.D:AB+BC+1CC=AC+1CC=1AC,(2)(3)(4)1AC.3.B abcabcab,cabc.PqqP.4.B ACAB=0ACAB.ACAD,ABAD.AB=aAC=bAD=c.BC=22ba,CD=22cb,BD=22ca.cosBCD=CDBCBDCDBC22220,BCD.CBDBDC.BCD.5.D :,A;,B;1=2=3=1,1(a-b)+2(b-c)+3(c-a)=0,a-b,b-c,c-a,C.x+y+z=1 x=25,6.A:x-y+z=2 y=-21,x-y=3
18、 z=-1.7.-62373 a+3c3b-2a=3a b-2a2+9c b-6ac=3|a|b|cos90-2|a|2+欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！9|c|b|cos60-6|a|c|cos60-62.8.3 21AA+32AA+nnAA1=nAA1,b|nAA1|cos=2|a|cos30=3.9.MG=-61OA+31OB+31OC9-5-1AGBCEMG=MA+AG=21OA+32AE=21OA+3221(AB+AC)=21OA+31(OB-OA)+31(OC-OA)=-61OA+31OB+31OC.10.=-37P
19、 A B COP=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1.11.:EE1ABCD A1B1C1D1,PA+PB+PC+PD=(PA+PC)+(PB+PD)=2PE+2PE=4PE,1PA+1PB+1PC+1PD=41PE.OEE1PE+1PE=2 PO,PA+PB+PC+PD+1PA+1PB+1PC+1PD=4PE+41PE=4(PE+1PE)=8 PO.12.:AC,ACAB.DDD,D,DBD=30,=120,|CD|2=CDCD=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2CABD+2ABBD=b2+a2+b2+2b2cos120=a2+b2.CD=22ba
20、.B1.11CA=1OC-1OA=2OC-2 OA=2(OC-OA)=2 AC=2(AB+AD)=2(OB-OA)+(OD-OA)=2 OB-2 OA+2OD-2 OA=(1OB-1OA)+(1OD-1OA)=11BA+11DA,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！A1B1C1D1.2.9-5-2.AAM CDM,CM=4cos30=23.CN=2co s303,MN=CM-CN=3.AM=AC sin30=2,BN=BC sing30=1,=120,=60.AM MNAMMN=0.MNNB=0.AB=AM+MN+NB,2AB=2A
21、M+2MN+2NB+2AMMN+2AMNB+2 MNNB=4+3+1+2|AM|NB|cos60=10.|AM|=10,AB10.()3.ABCDMNANBN.aBNCDNACD.ABCD=(AN+NB)CD=ANCD+NBCD=0.ABCD2.()4.9-5-3PCENEMN=EN-EM.EN=21CD=21BA=-21AB,EM=PM-PE=32PC-21PC=61PC.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！AC,PC=AC-AP=AB+AD-APMN=-21AB-61(AB+AD-AP)=-32AB-61AD+61AP.x=-3
22、2,y=-61,z=61.PDFFPD2MFMN=MF+FN=32CD+DN-DF=-32AB+21DP-31DP=-32AB+61DP=-32AB+61AP-61AD.x=-32,y=-61,z=61.()5.|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+4+9+0+2 321+22323=17+6 3.|a+b+c|=3617.(1)|a+2b-c|=31223.(2)65.()6.BC=aBE=bAB=c.AN1(c+b)DM=1(c-a)AM=a+1(c-a)=(1-1)a+1c,MN=AN-AM=(1-1)a+1b.a bEBC1-1)a+1bEBCZY.MN=ZYMNEBCMN ZYMNEBC.M NAB.()7.B 2003PABCOABCOA.PBAC.8.D abc=|a|b|coscabc=|b|c|cosaac.:9-5-4ABCD欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！60|AB|=a,|AC|=b,|AD|=c,abba22=baba222=|AB-AC|=|BC|,acca22=caca222=|AB-AD|=|BD|,bccb22=cbcb222=|AC-AD|=|CD|.BCD,|BC|+|BD|CD|,abba22+acca22bccb22.