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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！1/17 排列组合与二项式定理专题（讲案）【教学目标】本节内容 目标层级 是否掌握 分类与分步计数原理的综合应用 排列组合中档题型 二项式定理中档题型 一、分类与分步计数原理的综合应用【知识点】1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路（1）弄清完成一件事是做什么.（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类.（3）弄清分步、分类的标准是什么.（4）利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键（1）关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.（2）关键：是
2、对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.（一）数字问题【例题讲解】例题 1 对于给定的大于1的正整数n，设2012nnxaa na na n，其中0ia，1，2，1n，1i，2，1n，n，且0na，记满足条件的所有x的和为nA（1）求2A 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2/17 （2）设(1)()2nnn nAf n，求()f n 练习 1.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i个数为(1ia i，2，6)，若11a，33a，55a，135aaa，则不同的排列方法有 种（用数字作答）练习 2.已知全集U，集合A、B为U
3、的两个非空子集，若“xA”与“xB”是一对互斥事件，则称A与B为一组(,)U A B，规定：(U A，)(BU B，)A 当集合1U，2，3，4，5时，所有的(,)U A B的组数是()A70 B30 C180 D150 练习 3.如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系()()0ab cd，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 （直接用数字作答）（二）涂色、种植问题【例题讲解】例题 2 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图三棱柱111ABCA B C的六个顶点上各安装一个灯泡，要求同一条线段
4、的两端的灯泡颜色不同，则每种颜色的灯泡至少用一个的安装方法共有()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3/17 A96种 B144种 C216种 D288种 练习 1如图，某学校要用鲜花布置花圃中ABCDE五个不同区域，要求同一区域上用一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花，现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择（1）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；（2）当A、D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数 练习 2在如图所示的10块地上选出6块种植1A、2A、6A等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜
5、，若1A、2A、3A必须横向相邻种在一起，4A、5A横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有()A3120 B3360 C5160 D5520 练习 3（2019 秋武侯区校级月考）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有()欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4/17 A192 B336 C600 D以上答案均不对 （三）实际应用问题【例题讲解】例题 3.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，
6、若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()A504种 B960种 C1008种 D1108种 练习 1某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种 练习 2某公司计划在环海海渤经济区的大连、营口、盘锦、锦州、葫芦岛五个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是 （用数字作答）练习 3 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均
7、只参观一天，那么不同的安排方法有()A50种 B60种 C120种 D210种 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5/17 二、排列组合中档题型【知识点】解决排列、组合综合问题的方法：（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.（2）以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.（3）对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步
8、乘法计数原理来解决，一般遵循先选后排的原则.【例题讲解】例题 1方程22ayb xc中的a，b，3c，2，0，1，2，3，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A60条 B62条 C71条 D80条 答案：B 练习 1某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为()A60 B54 C48 D42 练习 2现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同现在要从他们5个人当中选择出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，
9、并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高则不同的选法共有（）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！6/17 A50种 B49种 C48种 D47种 例题 2【分组分配问题】现有9本不同的书，分别求下列情况的不同分法的种数（1）分成三组，一组4本，一组3本，一组2本；（2）分给三人，一人4本，一人3本，一人2本；（3）平均分成三组 练习 15名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A150种 B180种 C200种 D280种 练习 2将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排
10、到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 例题 3展开10()abc合并同类项后的项数是()A11 B66 C76 D134 练习 1.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.（1）不出现空盒时的放入方式共有多少种？（2）可出现空盒时的放入方式共有多少种？欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！7/17 练习 2.某高校25个三好学生名额分配到高三年级六个班，每班至少3个名额，问共有多少种不同的分配方案？例题 4有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与
11、体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人 则不同的安排方式共有 种（用数字作答）练习 1在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是()A0 B1 C2 D3 例题 5有A、B、C、D、E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位同学去问成绩，教师对A说：“你没能得第一名”又对B说：“你得了第三名”从这个问题分析，这五人的名次排列
12、共有 种可能（用数字作答）练习 1（2018 春临沂）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有()A30 B36 C48 D54 练习 2（2020厦门模拟）在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5 名的决赛（获奖名次不重复）甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档
13、！8/17 们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有()A18种 B24种 C36种 D48种 三、二项式定理中档题型【知识点】1.二项式定理（1）二项式定理：011*()()nnnknkknnnnnnabC aC abC abC bnN；（2）通项公式：+1kn kkknTC ab，它表示第1k 项；（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为01,.,nnnnCCC.2.二项式系数的性质 3.二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指01,.,nnnnCCC，它只与各项的项数有关，而与,a b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的
14、项数有关，而且也与,a b的值有关.如()nabx的二项展开式中，第1k 项的二项式系数是knC，而该项的系数是kn kknC ab.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.【例题讲解】例题 1若1()nxx的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！9/17 练习 1若二项式2*32(3)()nxnNx展开式中含有常数项，则n的最小取值是 练习 2将21(1)()nnnNx的展开式中4x的系数记为na，则232010111aaa 练习 3 25(2)x
15、axy的展开式中52x y的系数为240，则实数a的值为 .例题 2.（1）64(1)(1)xx的展开式中x的系数是()A.4 B.3 C.3 D.4 （2）(2019南昌模拟)已知6()1)(1xax的展开式中含2x项的系数为0，则正实数a _.【题型知识点总结】求形如*()()()mnabcdmnN，的展开式中与特定项相关的量的步骤：第一步，根据二项式定理把()mab与()ncd分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由()mab与()ncd的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.练习 1已知231(1)()nxxxx的展开
16、式中没有常数项，*nN，28n，则n 练习 23(12)x的展开式中所有的二项式系数和为a，函数21(0 xymm且1)m 经过的定点的纵坐标为b，则35(3)()4abxyxy的展开式中62x y的系数为()A320 B446 C482 D248 练习 334(32)(21)xx展开式中所有x偶次项的系数之和为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！10/17 例题 3若44014(23)xaa xa x，则2202413()()aaaaa的值为 练习 1若对任意1(,1)2x，都有2012212nnxaa xa xa xxx，则2
17、3aa的值等于()A3 B2 C1 D1 练习 2若20092009012009(12)()xaa xaxxR，则20091222009222aaa的值为 答案：1 练习 3若2017220170122017(21)()xaa xa xaxxR，则3201722320171111(2222aaaaaa )A12017 B12017 C14034 D14034 例题 4已知10100110(1)(1)xaa xax.（1）求6a的值（2）求101iia的值（3）求100|iia的值 练习 1若0ab 且1ab，二项式9()ab按a的降幂排列，展开后其第二项不大于第三项，求a的取值范围 练习 2已
18、知()(1)mf xx，*()(12)(,)ng xxm nN（1）若3m，4n，求()()f x g x的展开式含2x的项 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！11/17 （2）令()()()h xf xg x，()h x的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含2x的项的系数取得最小值？【课后练习】【巩固练习】1（2018江苏）设*nN，对1，2，n的一个排列1 2niii，如果当st时，有stii，则称(si，)ti是排列1 2niii的一个逆序，排列1 2niii的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1，2，3
19、的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2记()nfk为1，2，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数（1）求3(2)f，4(2)f的值；（2）求(2)nf(5)n的表达式（用n表示）2用01 2 3 4、这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？（1）奇数；（2）比21034大的偶数 3将1,2,3,.,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()A6种 B12种 C18种 D24种 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删
20、除!我们将竭诚为您提供优质的文档！12/17 4某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、1A、1B、1C上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）5某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种（以数字作答）6如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有()A30种 B27种 C24种 D21种 7如图
21、是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法(欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！14/17 114位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得21分；选乙题答对得7分，答错得7分若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是()A48 B4
22、4 C36 D24 12（2019 春江西月考）今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有()种 A204 B288 C348 D396 13(2019马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为()A.5400 B.3000 C.150 D.1500 14如图，MON的边OM上有四点1234,A A A A
23、，ON上有三点123,B B B，则以1234123OAAAABBB，为顶点的三角形个数为_.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！15/17 15把3个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子最多放2个小球，则不同方法有()A16 B24 C64 D81 16将二项式62()xx展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是()A27 B135 C835 D724 17 31(|2)|xx展开式中的常数项是()A5 B5 C20 D20 18若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为 19 的展开
24、式中各项系数的和为16，则展开式中项的系数为 A974 B C57 D33 20.设2220122(1)(2,)nnnxxaa xa xa xnnN，则35721(naaaa )A312n B312nn C3212nn D3212nn 21.（多选题）若200923200901232009(12)()xaa xa xa xaxxR，则()A01a B20091352009312aaaa C20090242008312aaaa D320091223200912222aaaa 35()(2)xyxyaxx6322()()43axxxx3x()632欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！16/17 22.定义：在等式202121222212(2)()nnnnnnnnnnnxxD xD xD xDxDnN中，把0122,nnnnnDD DD叫做三项式2(2)nxx的n次系数列（如三项式的1次系数列是1，1，2)则（1）三项式2(2)nxx的2次系数列各项之和等于 ；（2）34D 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！17/17