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1、-伪旁切圆中的共点、共线问题伪旁切圆中的共点、共线问题潘成华潘成华田开斌田开斌笔者在研究曼海姆定理时,做了如下定义定义:对于BC，如果一个P 与其外切圆O 相外切，且分别与其两条边相切，则P 称为AB的一个伪旁切圆。笔者在研究伪旁切圆的性质时,曾发现了一系列共点问题及其相关问题，此篇文章即是通过三个定理,将此类问题做一个贯穿和系统整理，敬请方家指教。定理一定理一:如图 1，BC 外接圆为，内切圆I 分别切三边于 D、F,P 与O外切于,且分别切 AB、AC 于 G、H，连接 AD 并延长交P 于 K,则 A=AK，且BAJ=AD。AFOIBJGKDCEHP图 1证明方法（反演变换）:根据关于
2、A对称知BJ=CAD,则必然有 A=K。所以下面我们只证明BA=CA。如图 2，我们以点 A 为反演中心,以EH 为反演幂，则 H、E 互为反演点，、互为反演点,从而与I 互为反形。设 B 的反演点为 B,C 的反演点为 C，则O 的反形为直线C,直线C 的反形即为A BC的外接圆Q。因为 BC 与P 切于点，所以 BC与P（即I)相切于,因为I 与C 相切于 D，所以I(即）与相切于D,J、分别为 J、的反演点。又因为 ABAB=ACA=AEH,所以ABCCB。我们可以看出，原图形是由ABC 决定的,其反形是由AB决定的,且它们的结构方式相同。又ABCACB,所以原图形的反形与原图形反向相似
3、。于是知BAJBAJ。证毕。另外,由于P与相等，所以原图形的反形与原图形反向全等，所以ABAC，AC=A，于是知BAC=ABB=EA。-AF(G)OBBJJG(F)E(H)QI(P)DDCCH(E)P(I)图 2定理二：如图，三角形 AC 中,、是伪旁切圆，分别切O 于 H、。交E 于、B分别切 C、CA 于、E，分别切C、BA 于、G。C则H、FI、JK 三线交于弧 BC 的中点,且 P 为K 中点。交 G于 K,EO1GJHPAIOKO2DBCF图 3证明:设弧 BC 的中点为,我们先证明K 经过 P,且 P 为 JK 中点，再证明 DH 和 FI 经过。首先用同一法证明 J经过点。如图
4、4，连接 JK 交于，设AC 内心为,AR 交O 于 S，则为劣弧中点。由曼海姆定理知J、为ABC 旁心,所以 JAS,即AS,所以S 为圆 O 直径，所以为优弧 BC 中点,即与 P 重合，即 JK 经过点P。下面证明 P 为 JK 中点。作 JXC 于 X,KYBC 于 Y，S 交 B于,则 Z 为 B中点。于是知要证为JK 中点，只需证明 Z 为Y 中点,即只需证明C=B。-而C=。同理可得B=BY,命题得证。于是知 JK 经过 P，且 P 为 JK 中点。所以下面再用同一法证明H 经过点。如图 5,延长H 交于，则由位似知，O，即B,所以为弧 BC 中点,即与重合。所以 DH 经过点
5、P。同理 FI也经过点 P。命题得证。EO1GJP1HAIORCSYFKO2DXBZ图 4-EO1GP2HAIOO2DBCF图定理三定理三:如图 6，AC 外接圆为O，G、H,与O 外切于点 D，且分别切 AB、A于与O 外切于点 F,且分别切与外切于点,且分别切 B、BA 于 I、J,。CA、B 于 K、L，则KO3AFJEOLBDGCO2IHO1图 6-证明：如图,取 GH 中点为 R、IJ 中点为 S，KL 中点为 T，则根据曼海姆定理知 R、S、为ABC 的三个旁心。于是知 AR、BS、C交于一点 Q,且 Q 为AC 内心。又因为S、为ABC 的旁心,所以 STAR。又 GHR,所以T
6、GH。于是知 (1）(2)（1）（2）得,从而知 (3)同理可知:()（）（3）(4）（5)知（）又因为R、BS、CT 交于一点，根据赛瓦定理知,于是知。，代入(6)式即得KO3JTFQOCDIASEO2LBGRHO1图 7以上介绍的是此类问题的三个定理，基于这三个定理,我们可以得到如下一系列命题。命题一命题一:如图 8，ABC 外接圆为O,与O 外切于点 D,且分别切 AB、于 G、与O 外切于点 F,且分别切H，与O 外切于点 E，且分别切 BC、B于、J，A、CB 于 K、。求证:A、B、CF 三线共点。-KO3AFJEBOCDGO2LIHO1图 8证明：如图 9,作ABC 的内切圆分别
7、切 BC、CA、AB 于 P、Q、R。则由于，根据赛瓦定理逆定理知AP、BQ、CR 共点，设为。根据定理一知 AS、AD 是AC 的一组等角线，S、B是AB的一组等角线，CS、CF是ACB 的一组等角线，从而知D、E、CF 三线共点,设为,则 M 与是一对等角共轭点。-KO3JAFROBDGTMLPSCIQEO2HO1图 9命题二：如图 10，如图三角形 ABC 中，分别切 CB、A 于、E,、是伪旁切圆,分别切O 于 H、。三线共点。分别切 BC、B于 F、G。则 BC、I、EO1GHAIOO2DBCF图 10-证明:连接、I 并延长，根据位似知两线交于点O，延长H、FI 交于点 P,根据D
8、BC、FBC，根据笛沙格定理知 BC、HI、三线共点。定理二知OC,又EO1GPHAIOTDBCFO2图 11命题三命题三:如图2,BC 外接圆为O。于 D、E；与O 相切于点 M，且分别切 CB、A与O 相切于 P,且分与O 相切于，且分别切A、C 于 F、G;别切 AC、A于 H、。C交于 J,BN 交于 K，AP 交于，JB、交于 Q、A 交于 R、A、L交于 S，证明:Q、BS、CR 交于一点。-JEO1FKAMRNODIBCGSO2PQHO3L图 1证明:如图 13，设交 AB 于，BK 交C 于 Y，A交 BC 于 Z。由于M、BN、AP 交于一点,所以（）根据三角形面积公式知,所
9、以()又根据三角形面积公式知，所以(3），所以(）将（3)、()代入（2）知（）同理可知：(6)()-(5)(6）(7）知（8)由（7)、（)知于一点。，根据赛瓦定理逆定理知A、BS、CR 交JEO1FKAMRXYNOZCGSO2DIBPQHO3L图 13命题四命题四:如图 14,B外接圆为O。与相切,且分别切 CB、CA 于 D、E；与O 相切，且分别切 BA、BC 于、G；与相切，且分别切 AC、A于H、I。L、N 分别为H、D、EF 中点,求证：NA、MB、共点。-ENFO1AO2OBDMIHCGLO3图 1证明：根据三角形面积公式知,所以（1）同理可知(2)（3）(1)(2)()知（4
10、）根据定理三知NA、MB、LC 三线共点。，所以,根据赛瓦定理逆定理知与相切，且分别切 CB、CA 于、命题五命题五:如图 15,B外接圆为。E;与O 相切,且分别切、B于 F、G；与相切，且分别切 AC、A于 H、I。直线 EF、GH、ID 分别交于点 P、Q、R,求证:PA、B、C 共点。-QEFRO1AO2BDOCGIHO3P,所以图 15证明：根据三角形面积公式知（1）同理可知 (）（3)(1)(2)（3）知,又根据定理三知RB、C 三线共点。，所以。根据赛瓦定理逆定理知A、与O 相切，且分别切 CB、CA 于 D、命题六命题六:如图 16,AC 外接圆为。E；与O 相切,且分别切 B
11、A、BC 于 F、G;与O 相切,且分别切 A、AB 于、。BH、CI 交于 P，AG、CF 交于 Q,AD、BE 交于 R。证明:AP、B、CR 三线共点。证明：设B、R 交于 M，B、P 交于，AC、BQ 交于 L。则由赛瓦定理逆定理知，要证P、BQ、CR 三线共点,只需证明又由塞瓦定理知,即。由定理三知证。同理。，,所以。三式相乘有，命题得-FO2EAO1RBDNPHMOQLCGIO3图 16命题七：如图 1,AC 的外接圆为O。与O 外切，且分别与 AB、C 切于 G、；与O 外切,且分别与 B、B切于 I、J;与O 外切,且分别与CA、B 切于 K、L。GK、交于点 M,I、H 交于
12、点 N,IG、JL 交于点 P。求证:M、PB 三线共点。-MKO3AJO2QILBCGHPO1N图 17证明:如图 1，连接、GH 交于 D，连接 B、IJ 交于点 E,连接 C、L交于点F,则由曼海姆定理知 D、E、F 分别为ABC 的三个旁心。于是知、过点A,且 EAD,GHAD；F过点 B,且 FDBE,IJE;D、E 过点 C，且 DECF,KF。根据赛瓦定理三角形式知,要证 MA、NC、B 三线共点,只需证明：（1）下面证明（）式根据三角形面积公式知所以（2）又将(3)代入(）知（）（4）又(5）（6)(5)(6)知 (）-又（8)()(8）（9）得 (10)将（10）代入(7)知
13、（1）将（11)代入（）知 (12)同理可知:（3）（14）(1）（13)(14)知(15)根据定理三知得证。，所以M,（1)式成立,问题KO3FQOLBTCAJEO2IGDHPO1N图 18命题八命题八:如图 19,AB外接圆为。与O 相切，且分别切 BC、BA 于 L、M；与相切，且分别切 AB、AC 于 J;与O 相切，且分别切 CA、CB 于 N、P。于，BE 交于 H,CF 交BC 内切圆分别切 B、A、AB 于 D、E、F。交-于 I。I、HC 交于点 Q,IA、G交于点 R，、HA 交于点 S，求证：AQ、BR、C三线共点。INO3MHO2REDCLASFOPBJQKO1G图 1
14、9证明：我们先证明一个引理：如图 20,BC 的外接圆为,分别切 CA、CB 于 G、H；N 分别切 BC、A、AB 于、F，CF 交M，则ADBA。于 K,BE 交与O 外切，且与外切，且分别切A、BC 于 I、J,ABC 的内切圆于 L，KB、LC 交于点-KGO1IAFENHBODCJO2LM图 20如图 21，连接 C交G 于,交 DE 于 Q，连接 B交 I于，交 D于 P,连接 P分别交B、A于 R、S。则知 P、分别为 DF、DE 中点，所以 PEF,即 REF，于是知 RAN，且 ARAS。又根据曼海姆定理知U、V 为BC 的旁心，所以 UV 过点 A，且VAN，于是知 RSU
15、V。根据变相同一法知,要证BCD,只需证明（）下面我们证明(1）式。由三角形面积公式知:，所以 (2）又根据三角形面积公式知:（3)又，代入(）知（）又,所以（5),所以-又，所以（6）（5）（）知 (7)将（7）代入（4)知（8）由(）、(8）知，要证明(),只需证明（)根据位似知（10）（1）（10)(1)知，K，即只需证明：，即（)式成立，命题得证。GO1UIAFRP NHBODEQSCJVO2LM图 21下面我们借助引理证明原命题。根据引理知:Q、R、C三线共点。由赛瓦定理逆定理知-命题九命题九:如图 22,ABC 外接圆为O。与O 相切于点 J，且分别切B、于 D、;与O 相切于 K
16、，且分别切 BA、C 于 F、G；与O 相切于 L,且分别切 AC、AB 于 H、I。D、GK 交于点 P,EK、IL 交于点,HL、EJ 交于，求证：P、QJ、三线共点。EO1PJFAKO2DIRBLQCGHO3图 22证明:我们先证明一个引理：引理：如图 23,过 A 作两条切线,切点分别为 B、C，A为弧 DE 中点，则 F、G 三点共线。外切于点 T，A 为交 BC 于 F,AB、AC 分别交GA上一点，于 D、E,GO1EDTBFCO2图 23-如图 2,连接并延长交 A于 K,则知K=DG=DAE=DAK，所以 D、G、A、K 四点共圆,即 K 在上。延长分别交于 I、J。易知 I
17、KT。所以我们要证 F、三点共线,只需证FK,即只需证（1）下面我们证明()式。易知,所以,(1）式得证。IGAEO1DTBFKCO2J图 24下面我们借助引理证明原命题。如图 2,连接E 取其中点 U，连接G 取其中点 V，连接 HI 取其中点,则易知为与 DE 交点,V 为 B与 F交点，为 A与交点。根据定理二知P 为 U中点,且为弧 BA中点;Q 为W 中点，且为弧B 中点;R 为 WU 中点，且为弧 ABC 中点。又根据引理知 P、L、W 三点共线,、三点共线，R、V 三点共线。而 PW、QU、V 是UW 的三条中线,所以交于V的重心。于是知 PL、Q、K 三线共点,交于U的重心。-
18、EO1UPJFAO2RDIBLQKCVGWHO3图5命题十：如图 2,BC 外接圆为。于 D、E；与O 相切于点 M，且分别切、C与O 相切于 P，交 DE 于 J，B交与O 相切于,且分别切 BA、于 F、G；且分别切 AC、AB 于 H、。D、G、I 分别交于点、S。CFG 于 K,交I 于。证明：Q、三点共线,R、M、三点共线,S、K 三点共线。（潘成华题)-QEFO1JTMBDOANCGKO2PSILHRO3图6证明：我们先证明一个引理引理:如图 2，AB外接圆为O。分别切B、CA 于 D、E；,A与O 相切,且分别切 B、BC 于 F、G;交 DE 于 Z,B且分别切 AC、AB 于
19、 H、I。DE、FG、HI 分别交于点 T、U、V。C交 HI 于 Y。则 X、Y、Z 分别为 TU、U、VT 中点。与相切，且与相切,交 FG 于-TEO1ZAFXO2ODVIHUBCGYO3图 27如图 28,由曼海姆定理知 X、Y、为ABC 的三个旁心。于是知ZXAV。同理 XYV,YZT。于是知 X、Y、Z 分别为 TU、UV、VT 中点。,于是知 ZXTEO1ZAFXO2ODVIHUBCGYO3图 2下面我们借助引理证明原命题。我们先证明 Q、P、L 三线共点。根据引理知、K、L 分别为Q、QR、RS 中点,所以 Q于 J的交点 T 为 JK 中点。根据定理三知 T 为弧A中点,根据
20、命题九的引理知、L 共线,所以、L 三点共线。-命题十一命题十一:如图 2,ABC 外接圆为，与O 外切于 J,且分别切 AB、AC 于G、H,AP 交O 于 R,CB、HG 延长线交于，证明:S、R 三点共线。AOCBJRSGHP图9证明:如图 3,延长 GJ 交O 于 M，过 M 作O 的切线l,由于 J 为O、P 的位似中心，AG 是切线,l为O 切线,所以lAG，于是知弧JM=弧CM。所以GJB=BA=JM，即J 为BJ 中JB 的外角平分线。所以(1）同理可知 HJ 为ACJ 中JC 的外角平分线,所以 (2）又由于 AG=AH,由（)()知（3)又根据梅涅劳斯定理知，所以，代入（)
21、知,所以 S为BJC 的外角平分线。另一方面，由于 AG、AH 为P 两条切线,所以平分BAC,所以BJC+2RJC=B2RABJCBAC180,所以 RJ 也为BJ的外角平分线。综上所述,知 S、R 三点共线，且直线 S为B的外角平分线。-AOClBJSGLRMHP图 30命题十二命题十二:如图 31，ABC 外接圆为O。与O 相切于点 M,且分别切 C、C于 D、;与相切于，且分别切B、C 于、G;与O 相切于 P，且分别切 AC、于 H、I。DE、FG、分别交于点Q、R、S。、J、K 分别为 HI、D、FG 中点,LD、SK 交于交于 U,LG、RJ 交于 V。证明：U、共线,且 UL
22、于。-QEO1FJAMNBOCGUKO2DPVSILHRO3图1证明:我们先证明一个引理：如图 32，ABC 中，DE分别为三边中点，RG于,FHDE 于 H,G分别交B、AC 于 I、，DI 交于 K,J 交 C于 L,则 KAD。AFIGMKHEJLBDC图证明:如图 17，设AC 的重心为 M，令 Ea,F=b,D=c,则C=2a,AC2，B=c。根据中线长公式知 BE=，CF=，A-=DM=。于是知M。要证 KLD，只需证明，=，即只需证明：（1）又根据余弦定理知（2)(3)由（)、（3）知,要证(1),只需证(4）下面我们证明（4)式。因为 F、G、E 共圆,所以GI=FDFBD,所
23、以、G、D、四点共圆。于是知。于是有。，所以，根据梅涅劳斯定理知是知,所以有，于（）同理可知 (）由(5）、（6)知(7）（8)由(7）、（)知()式成立,所以（1)式成立，命题得证。下面我们借助引理证明原命题。如图 33，延长 G、R交于 W，连接 AL 交O 于 X，连接 JK、L、LJ，连接 KB、。设 QL 交 JK 于 T,连接 TX。根据命题十的引理知，、K、L 分别为 SQ、R、RS 中点，于是知 QL、SK、RJ 交于一点 Y。且知道四边形 QJLK 是平行四边形，所以 T 为 JK 中点。根据定理一知，T 在上，且为弧AC 的中点。根据曼海姆定理知 J、K、L 为ABC 的三个旁心，所以BL、JCKL,又根据引理十的引理知 J、K、L 分别为 S、QR、RS 中点，所以根据引理知,UVQL。又因为 SD、RG 的交点 Q,U、RV 的交点 Y 和 D、V 的交点,三点共线,在DUS和GVR 中使用笛沙格定理知，W、U、共线。又根据命题十一知，W、P、X 共线。又因为BAX=CAX，所以 X 为弧P的中点。又为弧 BAC 的中点,所以X 为O 直径,即PT,所以 WPL。综上所述，W、U、共线，UVQ，QL,所以知 U、P 共线，且VQ于P。-QEO1FJTMNAKO2WBDUSILYOXCGPVHRO3图 3-