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1、直线与方程预习提纲1斜率及斜率公式：倾斜角：倾斜角与斜率的关系：2直线方程的五种形式点斜式：斜截式：两点式：截距式：一般式：3两直线平行与垂直4方程组的解与交点个数的关系直线系方程：5两点间距离公式：中点公式：点到直线的距离公式：直线与方程教案例1：已知直线l1的倾斜角1300，直线l2l1，求l1、l2的斜率。例2：一条直线经过点P1(2，3)，倾斜角45，求这条直线方程，并画出图形.例3：三角形的顶点是A(5，0)、B（3，3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。例4：已知直线m的倾斜角的余弦值等于 ，在y轴上的截距为2，求直线方程。例5：求过点P（5，4），且与y轴夹角为 的
2、直线方程。 例6：一条直线经过点A（2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.例11：把直线l的方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.例12：直线l过P（3，2）且与l：x3y9 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。例13：已知点P（6，4）和直
3、线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。例14：若一直线l被直线l1：4xy6 = 0和l2：3x5y6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。例15：已知直线方程l1：2x4y70，l2：x2y50，证明l1l2 例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.例17：求与直线l1：AxByC = 0平行的直线方程。例18：求和直线2x6y11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。例19：ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，1),直线lAC,且l平分ABC的面积，求l 的方程。例20：求过
4、点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.例21：已知三角形两顶点是A(10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:例23：已知两条直线l1：xmy6=0，l2：（m2）x3y2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合例24：已知两条直线l1：xm 2y6=0，l2：（m2）x3my2m=0，问当m为何值时，l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交例25：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：（1）例26：求平行线和的距离.例27：已知l1：AxByC10，l2：AxByC20，求l1与l2
5、间的距离。例28：求与直线3x7y5 = 0的距离为2的直线方程。例29：求两直线l1：xy2 = 0，l2：7xy4 = 0所成角的平分线方程。例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，5）距离相等的直线l的方程。例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x4y13 = 0与3x4y7 = 0截得线段的长为4的直线方程。例32：求经过两已知直线l1：x3y5 = 0和l2：x2y7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。例33：设直线方程为（2m1）x（3m2）y18m5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。直线与方程教案例1：已知直线l1的倾斜角1300
6、，直线l2l1，求l1、l2的斜率。解：l1的斜率k1tan1tan300l2的倾斜角29003001200，l2的斜率k2tan2tan1200tan600例2：一条直线经过点P1(2，3)，倾斜角45，求这条直线方程，并画出图形.解：这条直线经过点P1(2，3)，斜率是 ktan4501.代入点斜式方程，得y3x2，即xy50这就是所求的直线方程，图形略例3：三角形的顶点是A(5，0)、B（3，3）、C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。解：直线AB过A(5，0)、B（3，3）两点，由两点式得整理得：3x8y150，即直线AB的方程.直线BC过C(0，2)，斜率是k,由点斜式得:
7、y3（x0）整理得: 5x3y60，即直线BC的方程.直线AC过A(5，0)，C(0，2)两点，由两点式得: 整理得：2x5y100，即直线AC的方程.例4：已知直线m的倾斜角的余弦值等于 ，在y轴上的截距为2，求直线方程。解：cos ，0k tan，得y x2例5：求过点P（5，4），且与y轴夹角为 的直线方程。 xy54= 0 或 xy54= 0例6：一条直线经过点A（2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求这直线的方程。解法一：设直线方程为 = 1，则有： 解得a = 1，b = 2 或 a = 2，b = 1直线方程为 = 1或 = 1解法二：令y2 = k（x2）从y = 0
8、得x = 2从x = 0得y = 2k2（2）（2k2）1得k = 或k = 2例7：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程。解：设直线方程为 = 1，则有： = 1 得a = 5 直线方程为 = 1 又：直线过原点 k = y = x例8：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程。解：设直线方程为y = kxb，则有： b2= m2 即 b = y = kx例9：已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点（4，4），求其直线方程。解：设直线方程为y4 = k（x4），则： （4，0），（0，44k） 4= 44k6 得k = 2或k = 即y4 = 2（x4）
9、或y4 = （x4）例10：已知直线经过点A(6,-4),斜率为,求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6，4)并且斜率等于的直线方程的点斜式是:y4（x6）化成一般式，得4x3y120.例11：把直线l的方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.解：将原方程移项,得2yx6两边除以2，得斜截式yx3因此，直线l的斜率k，它在y轴上的截距是3，在上面的方程中令y0，可得x6，即直线l在x轴上的截距是6.由上述内容可得直线l与x轴、y轴的交点为A（6，0）、B（0，3），过点A、B作直线，就得直线l.（如右图）. 例12：直线l过P（3，2）且与l：x3y9
10、 = 0及x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，求直线l的方程。解法一：求k解法二：求l与x轴的交点坐标例13：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。解：设l与l1的交点为Q（x1，4x1）（x11），则直线l的方程为y4 = (x6) l与x轴的交点为R（，0） S 10x12Sx1S = 0由0,得：S40当S40时，x12，此时：xy10 = 0例14：若一直线l被直线l1：4xy6 = 0和l2：3x5y6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。解：设l：y = kx由 得x = 由 得x =
11、 = 0 k = 得l：x6y = 0例15：已知直线方程l1：2x4y70，l2：x2y50，证明l1l2 证明:把l1、l2的方程写成斜截式l1：yx，l2：yx例16：求过点A（1，-4）且与直线平行的直线的方程.解:已知直线的斜率是,因为所求直线与已知直线平行,因此它的斜率也是.根据点斜式,得到所求直线的方程是:即.例17：求与直线l1：AxByC = 0平行的直线方程。解:所求直线l的斜率k所求直线方程为：y = xb即：AxByBb = 0也就是AxByb= 0例18：求和直线2x6y11=0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程。解: 设所求直线方程为 2x6yb=0则有
12、：（0，）,（,0）S = = 6b2 = 144 b = 12 即：2x6y12=0或2x6y12=0例19：ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，1),直线lAC,且l平分ABC的面积，求l 的方程。解:kAC= = 设l：y =xb 且交AB于Dl平分ABC的面积= = = 1D点坐标：x =,y = 则：= b得 b = l：x2y135= 0例20：求过点A(2,1),且与直线垂直的直线的方程.解:直线的斜率是-2,因为直线与已知直线垂直,所以它的斜率为:根据点斜式,得到的方程:即.解法二: 设所求直线方程为 x2yb = 0 则：221b = 0 得b = 0 l：例21：
13、已知三角形两顶点是A(10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标。解:kBH = 2 kAC = lAC：y2 = （x10）又 BCy轴 C（6，6）解法二:kAB = kCH = 8 又H（5，2）lCH：y2 = 8（x5）又BCy轴 C（6，6）例22：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:解:解方程组所以, l1与l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得,所以所求直线方程为例23：已知两条直线l1：xmy6=0，l2：（m2）x3y2m=0，当m为何值时，l1与l2（1）相交（2）平行（3）重合解: 当=
14、时，= ，解得m = 1或m = 3 当= 时，= ，解得m = 3 （1）当m1且m3时，l1与l2相交（2）当m =1时，l1l2（3）当m = 3时，l1与l2重合。例24：已知两条直线l1：xm 2y6=0，l2：（m2）x3my2m=0，问当m为何值时，l1与l2 （1）平行（2）重合（3）相交解: 当m = 0时，l1：x6 = 0，l2： x = 0，此时l1l2 当m0时，= 得m = 3或m = 1 = 得m = 3 （1）当m = 0或m = 1时，l1l2 （2）当m = 3时，l1与l2重合（3）当m0，m1且m3时，l1与l2相交。例25：求点P0（-1，2）到下列直
15、线的距离：（1）解：（1）根据点到直线的距离公式得（2）因为直线平行于y轴，所以例26：求平行线和的距离.解:在直线上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线的距离就是两平行线间的距离.因此:.例27：已知l1：AxByC10，l2：AxByC20，求l1与l2间的距离。略解：（0，）l1 d =A0B()C 2/=C 2C 1/例28：求与直线3x7y5 = 0的距离为2的直线方程。解：设P（x，y）是所求直线上一点，则：= 2 3x7y5= 2 3x7y52= 0例29：求两直线l1：xy2 = 0，l2：7xy4 = 0所成角的平分线方程。解一：设P（x,y）是角平分线上任意
16、一点，则：= 得 5（xy2）（7xy4）即：x3y7 = 0（舍）或 6x2y3 = 0解二：k1= 1，k2= 7 得 k = （舍）或 k = 3例30：求过点P（1，2）且与两点A（2，3），B（4，5）距离相等的直线l的方程。解：l与x轴不垂直可设l的方程为：y2 = k (x1) 即：kxy2k = 0得：= k = 或 k = 4所求直线方程为：4xy6 = 0 或 3x2y7 = 0例31：求过点P（1，1）且被两平行直线3x4y13 = 0与3x4y7 = 0截得线段的长为4的直线方程。解：两平行线间的距离为：= 4所求直线与平行线的夹角为45 0，设其斜率为k，则：= 1 解得k = 或 k = 7所求直线方程为：y1 = 7(x1) 或 y1 = (x1)即：7xy6 = 0 或 x7y8 = 0例32：求经过两已知直线l1：x3y5 = 0和l2：x2y7 = 0的交点及点A（2，1）的直线l的方程。略解：x3y5(x2y7) = 0 将A（2，1）代入得：l：3x41y35 = 0例33：设直线方程为（2m1）x（3m2）y18m5 = 0，求证：不论m为何值时，所给的直线经过一定点。略证：方程化为x2y5m（2x3y18）= 0 得（3，4）