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1、21 椭圆21.1椭圆及其标准方程课标解读1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程(重点)2了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用(难点)椭圆的定义【问题导思】1取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？【提示】椭圆2在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点
2、的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的标准方程【问题导思】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？【提示】以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)焦点(c,0)与(c,0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系c2a2b2椭圆定义的理解及简单应用(1)已知F1(4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是_；(2)椭圆1的两焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则ABF1的周长为_【思路探究】(1)
3、动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求ABF1的周长？【自主解答】(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.(2)由椭圆的定义，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF1|2a，|AF1|BF1|AF2|BF2|AF1|BF1|AB|4a20，ABF1的周长为20.【答案】(1)线段F1F2(2)201定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，a0，c0，且a、c为常数当ac时，集合P为椭圆上点的集合；当ac时，集合P为线段上点的集合；当ac时，集合P为空集因此，只有|F1F
4、2|2a时，动点M的轨迹才是椭圆2注意定义的双向运用，即若|PF1|PF2|2a(a|F1F2|)，则点P的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2B4C8D.【解析】如图，F2为椭圆右焦点，连MF2，则ON是F1MF2的中位线，|ON|MF2|，又|MF1|2，|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4.【答案】B求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两焦点坐标分别为(4,0)和(4,0)且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点
5、【思路探究】(1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？【自主解答】(1)椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)，2a 10，a5.又c4，b2a2c225169，故所求椭圆的标准方程为1.(2)法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则所求椭圆的方程为：y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为1(ab0)椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，则与ab矛盾，故舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.法二设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)椭圆过(2,0)和(0,1)两
6、点，综上可知，所求椭圆方程为y21.1求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)因为它包括焦点在x轴上(mn)和焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的本例(2)若改为“经过(2，1)和(，2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程【解】设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，将点(2，1)，(，2)代入上述方程得解得故所求椭圆的标准方程为1.求与椭圆有关的轨迹方程已知圆x2y29
7、，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，垂足为P，点M在PP上，并且2，求点M的轨迹【思路探究】【自主解答】设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0x，y03y.P(x0，y0)在圆x2y29上，xy9.将x0x，y03y代入得x29y29，即y21.点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆y21.1转代法(即相关点法)求轨迹方程：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”2用转代法求轨迹方程大致步骤是：(1)设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x
8、，y)0上的动点Q(x，y)；(2)找出P、Q之间坐标的关系，并表示为(3)将x，y代入f(x，y)0，即得所求轨迹方程设A、B是椭圆1与x轴的左、右两个交点，P是椭圆上一个动点，试求AP中点M的轨迹方程【解】设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则即代入椭圆方程1，得1，所以AP中点M的轨迹方程是1.已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程【思路探究】(1)解答本题时如何建系更简单？(2)由ABC的周长为18能否得到A到B、C的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？【自主解答】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系
9、由|BC|8，可知点B(4,0)，C(4,0)由|AB|BC|AC|18，得|AB|AC|10|BC|8.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a10，即a5，且点A不能在x轴上由a5，c4，得b29.所以点A的轨迹方程为1(y0)1本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A的轨迹方程，解答时不要漏掉y0这一条件2用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可已知A(，0)，B是圆F：(x)2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P点，则动点P的轨迹方程为_【解析】如图，
10、依题意知|PA|PB|，所以|PA|PF|PB|PF|BF|2，所以点P的轨迹为以A(，0)，F(，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x21，又因为c，a1，所以b2a2c2，从而所求的动点P的轨迹方程为x2y21.【答案】x2y21忽略椭圆标准方程中ab0的条件致误方程1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围【错解】方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m2(m1)2，解得m，所以实数m的取值范围是(，)【错因分析】错解只注意了焦点在y轴上，而没有考虑m20且(m1)20，这是经常出现的一种错误，解题时要注意【防范措施】椭圆的焦点在x轴上时，其方程为1(ab0)，焦点在y轴上时，其方程为1(ab0
11、)，应用时一定要注意条件ab0，否则极易将焦点位置弄错【正解】方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则解得故实数m的取值范围是(，0)(0，)1熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手2在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件ac.3注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系4求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法1设P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A10 B8 C5 D4【解
12、析】由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a2510.【答案】A2椭圆1的焦点坐标是()A(4,0) B(0，4)C(3,0) D(0，3)【解析】a225，b216且焦点在y轴上，c3，焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)【答案】D3一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】由题意c8，a10且焦点在y轴上，b2a2c21006436，方程为1.【答案】C4已知一椭圆标准方程中b3，c4，求此椭圆的标准方程【解】b29，c216，a2b2c225.此椭圆的焦点不确定，标准方程为
13、1或1.一、选择题1已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|PA|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由椭圆定义知甲/ 乙，但乙甲，故甲是乙的必要不充分条件【答案】B2设椭圆1(m1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m()A6 B3 C2 D4【解析】由题意椭圆焦点在x轴上，则2m314，m2.【答案】C3设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形【解析】由椭圆定义知|P
14、F1|PF2|2a8，不妨设|PF1|PF2|，|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，PF1F2为直角三角形【答案】B4若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()Aa3 Ba2Ca3或a2 Da3或6a2【解析】椭圆的焦点在x轴上，a3或6a2.【答案】D5(2013天水高二检测)设集合A1,2,3,4，m、nA，则方程1表示焦点在x轴上椭圆的个数是()A6 B8 C12 D16【解析】椭圆焦点在x轴上，mn，因此，当m4时，n1,2,3；当m3时，n1,2；当m2时，n1，共6种情况【答案】A二、填空题6若方程ay21表示椭圆，则实数a应满足的
15、条件是_【解析】将方程化为1，此方程表示椭圆须满足：解得a0且a1.【答案】a0且a17已知椭圆1的焦点在y轴上，且焦距为4，则实数m_.【解析】由题意，焦点在y轴上，焦距为4，则有m2(10m)()2，解得m8.【答案】8图2118(2013临沂高二检测)如图211所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是_【解析】折叠后的M与F重合，|PM|PF|，又|PM|PO|r，|PF|PO|r|OF|，故点P的轨迹是以O、F为焦点的椭圆【答案】椭圆三、解答题9求符合下列条件的椭圆的标准方程(1
16、)过点A(，)和B(，1)的椭圆(2)过点(3,2)且与1有相同焦点的椭圆【解】(1)设所求椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)椭圆过点A(，)和B(，1)，解得m1，n.所求椭圆的标准方程为x21.(2)已知椭圆1中a3，b2，且焦点在x轴上，c2945.设所求椭圆方程为1.点(3,2)在所求椭圆上，1.a215.所求椭圆方程为1.10已知椭圆1的焦点为F1、F2，P是该椭圆上一点，且|PF1|4，求：(1)|PF2|的值；(2)F1PF2的大小【解】由题意知：a3，b22，c.(1)由椭圆定义知|PF1|PF2|2a6.|PF1|4，|PF2|2.(2)|F1F2|2c2，由余弦定理：cosF1PF2，F1PF2120.11已知点M在椭圆1上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且M为线段PP的中点，求P点的轨迹方程【解】设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)点M在椭圆1上，1.M是线段PP的中点，x0x且y0.把代入1中，得1，即x2y236.P点的轨迹方程为x2y236.