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1、专题4.2 导数与函数的单调性1. 以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合凸显数学运算、逻辑推理等核心素养；2.与函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等综合考查.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力1.函数的单调性与导数的关系(1)函数在某个区间内可导.如果在区间上恒成立，则在区间内单调递增；如果在区间上恒成立，则在区间内单调递减；(2) 函数在某个区间内单调在某个区间内，是函数在此区间内单调递增（减）的充
2、分条件，而不是必要条件.如函数在上单调递增，但.如果函数在内单调递增(减)，则在区间内恒成立，且在其任意的子区间内不能恒成立，即在个别点处导函数等于零，不影响函数的单调性.2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)在函数的定义域内解不等式或；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间求函数的单调区间【方法储备】1.利用导数求函数的单调区间的一般步骤为：（1）确定函数的定义域；（2）求导函数；（3）在函数的定义域内解不等式和；（4）根据（3）的结果确定函数的单调区间2.利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号
3、【精研题型】1.已知函数，则的单调递增区间为_2.函数在上的单调情况是 3.已知，函数的单调递减区间是 【特别提醒】1. 先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解； 2.在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式；3.一般可令，解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么减区间即为增区间在定义域上的补集；4.若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么是定义域上的减函数.给定区间求参数的取值范围【方法储备】已知函数单调性求参数的值或参数的范围
4、：(1)已知函数在区间上单调在区间上单调递增：转化为在上恒成立，且在的任意子区间上不恒为0；也可转化为区间是单调增区间的子区间；在区间上单调递减：转化为在上恒成立，且在的任意子区间上不恒为0；也可转化区间是单调减区间的子区间.(2)已知区间是函数的单调区间：函数的增区间是，可转化为增区间，也可转化为的解集是；函数的减区间是，可转化为减区间，也可转化为的解集是(3)已知函数在区间上存在递增或递减区间：利用正难则反思想，转化为函数在区间上不存在递增或递减区间，即或；转化为或在区间上有解. (4) 已知函数在区间上不单调：即函数在区间上有极值点，转化为在区间上有零点.【精研题型】4.若函数在区间上单
5、调递增，则实数的取值范围是A. B. C. D. 5.函数在上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 6.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【思维升华】7. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是A. B.C. D. 8.设函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若在定义域上单调递增，求实数的取值范围.函数单调区间的讨论【方法储备】1.求函数的定义域；2.明确讨论点依据：（1）导函数有无零点的讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域内的讨论；（3）二次项系数讨论；（4）导函数多个零点时大小的讨论.【精研题型】9.（导函数有一
6、零点）已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；10.（导函数有两个零点且能因式分解）已知函数，（1）若 ，求的值；（2）讨论函数的单调性11.（导函数有两个零点且不能因式分解）已知函数（1）讨论函数的单调性；12.（构造函数再求导）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）设，讨论函数的单调性【思维升华】13.已知函数为自然对数的底数.（1）若，求的零点；（2）讨论的单调性；14.已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围.【特别提醒】1.导函数有一个零点：定义域为时，讨论零点有无意义；定义域不是时，讨论零点在不在定义域内；2.导函数有两个零点：定义域为
7、时：讨论零点的大小关系；定义域不是时，讨论两个零点在不在定义域内，若都在，讨论零点的大小关系；不能因式分解时，利用判别式讨论根个数，或构造函数研究零点.构造函数研究单调性【方法储备】比较大小或解不等式的思路方法1.根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数.构造函数常见形式：（1）加乘型（2）减除型 （3）带常数型 2.含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系.【精研题型】15.实数中的最大值和最小值分别为A. B. C. D. 16.已知定义在实数集上的
8、函数满足的导数，则不等式的解集为A. B. C. D. 17.已知的定义域是，是的导数，且满足，则不等式的解集是_18.已知，对，且，恒有，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【思维升华】19.若对于任意的，都有，则的最大值为A. B. C.1 D. 20.(多选)已知函数的定义域为，导函数为，且，则A. B. 在处取得极大值C. D. 在单调递增单调性的应用【方法储备】先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小，或者解不等式.【精研题型】21.函数在定义域内可导，若，且当时，设则A. B. C. D. 22.设函数，若，则的大小为A. B. C. D. 23.函数是定义是在上的
9、可导函数，其导函数满足，则的解集是A. B. C. D. 24.已知函数若当时，恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.【思维升华】25.已知定义在上的函数的导函数为，对任意，有，且设，则A. B. C. D. 26.定义在上的函数,满足,且当时, ,则使不等式成立的的取值范围是A. B. C. D. 专题4.2导数与函数的单调性答案和解析考点一1.【答案】【解析】【分析】本题考查利用函数的导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，然后令导函数大于等于零，解集即为函数的单调增区间.【解答】解：，定义域为，令，又，可得，故答案为.2.【答案】在上单调递增【解析】【分析】
10、本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，导数在给定的区间上恒大于0，则函数在区间上单调递增.【解答】解：由题意得当时，恒成立，在上单调递增.3.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题.首先求出函数的导函数，解不等式，即可得出函数的单调递减区间.【解答】解：由题意得令，则的单调递减区间为.考点二4. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性与导数的关系，属于中档题.因为在区间上单调递增，所以当时，恒成立，即在上恒成立.令，求得在的最大值，即可得答案【解答】解：，函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，单调
11、递增，当时，单调递减.，故选5. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于中档题根据题意可知当或时，为单调函数，从而可得函数在上不单调时a的取值范围，进而可得充分不必要条件【解答】解：由已知，当时，当或时，为单调函数，则或，故在上不单调时，a的范围为，故C是充要条件，D是充分不必要条件.故选6. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题求出函数的导数，问题转化为在有解，转化为存在，使得，而在单调递增，求出的范围，从而求出a的范围即可【解答】解：根据题意得，在区间内存在单调递增区间，
12、在内有解，即在内有解故存在，使得，令，则在单调递增，所以，故故选7. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了用导数研究函数的单调性，是基础题.利用导数求出函数的单调减区间，然后转化为集合之间的关系即可.【解答】解：因为，所以在上，单调递减；在上，单调递增，函数在区间上单调递减，于是，解得故选8.【答案】解：当时，所以，又因为，所以切线方程为因为在定义域上单调递增，所以当时，令，所以，所以【解析】本题考查函数的导数，求函数中未知量的取值范围，首先分离参变量，再根据新构建的函数的性质求得未知量范围将a的值代入，求出和，即可得切线方程；函数单调递增则，即，整理分离未知量a，再根据x取值范围求得实数
13、a的范围考点三9. 【答案】解：由题知的定义域为，由于，所以当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题函数的定义域为求导后对a分类讨论即可得出单调性10. 【答案】解：（1）由题意得（2）由（1）得，当即时，在区间上单调递增当即时，令时，或在区间上单调递增，在区间上单调递减当即时，令时，或在区间上单调递增，在区间上单调递减综上可得：当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.【解析】本题
14、考查了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用（1）先求导，结合已知条件带入可求；（2）结合导数与单调性的关系，对进行分类讨论，即可求解函数的单调性.11. 【答案】解：，若，则，所以函数在上递增；若，方程的判别式为，所以方程有两根分别为，所以当时，；当时，所以函数在上递减；在上递增.【解析】本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属于拔高题.求导数可得，对a进行分类讨论可得函数单调性；已知函数若，求c的取值范围;设，讨论函数的单调性.12.【答案】解：等价于，设，则，所以在上递增，在递减，所以，即，因此c的取值范围是因为，所以，令则，令，得；令，所以，在上递增，在上递减；
15、因此，即，所以在和都是单调递减的【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题不等式等价于，设，求导判断单调性及最值，即可求得c的范围;对求得，再令的分子为对求导，判断单调性及最值，进而可得的单调性.13.【答案】解：若，则，当时，；当时，所以在上单调递增又因为，所以的零点为，若，由于，令，则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增若，令，则或，且，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增若，由知，在上单调递增若，令，则或，且，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，
16、在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点和不等式恒成立问题，涉及的主要思想是分类讨论，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于拔高题当时，易证得在R上单调递增，而，故有唯一零点求导得，然后分四类：，和，逐一讨论与0的关系，从而得函数的单调性14.【答案】解：，当时，在单调递减，在单调递增.当时，在单调递减，在单调递增.当时，即时在单调递减，在单调递增，在单调递减.，即时，在单调递减.，即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.综上：当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.当时，在单调递减.当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.当时
17、，在单调递减，在单调递增.，令，当，即时，在单调递减，在上没有零点，舍；当，即时，对称轴，使得，当时，在单调递减， 当时，在单调递增，存在唯一的，使得综上，【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，由函数的零点求参数.先求导，并求出的根，然后分，进行讨论求解的单调性；求出并求导，令，对的值进行讨论求解a的取值范围.考点四15.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查指数函数与幂函数的单调性，利用导数判断函数的单调性，运用指数函数与幂函数的性质求解即可.【解答】解：因为，由在R上单调递增，则，由在上单调递增，则，由在上单调递增，令，则，所以在上单调递减，所以，所以实数，中的最大值和最小值分别为，故
18、选16【答案】【解析】【分析】本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题构造函数，从而可得g（x）的单调性，结合，可求得，然后求出不等式的解集即可【解答】解：令，为减函数，又，不等式的解集的解集，即，又为减函数，即故选B17.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造新函数是解题的关键，本题是一道中档题构造新函数，通过求导得到的单调性，所解的不等式转化为求，结合函数的单调性得到不等式，解出即可【解答】解：设，则，在单调递减，由得：，得：，解得：或，故答案为18. 【答案】B【解析】【分析】本题考查不等式恒成立
19、问题，方法是利用导数求函数的最值，构造函数是解题的关键.【解答】解：依题意，得，且，所以，则在上单调递增，令，则恒成立，即，令，则，当时，；当时，故，所以，故选19. 【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.构造函数，求出导数可知的单调性，由题可知在单调递增，即可求出a的范围，得出答案.【解答】解：令，则，令，解得，则时，单调递增；当时，单调递减，对于任意的，都有，即，即在单调递增，所以，即a的最大值为故选20. 【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.根据题意可设，根据求b，再求判断单调性求
20、极值即可.【解答】解：函数的定义域为，导函数为，即满足，可设为常数，解得，满足，正确；，且仅有，错误，A、D正确，故选考点五21. 【答案】B【解析】【分析】本题考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力，属于中档题根据求出的图象关于对称，又当时，得到，此时为增函数，根据增函数性质得到即可【解答】解：由可知，的图象关于对称，根据题意又知时，此时为增函数，时，为减函数，所以，即，故选22 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性、利用导数判定函数的单调性并利用单调性判定大小，属于中档题.先判断函数为偶函数，再利用导数判定函数在上单调递增，最后利用对数、指数性质比较自变量大小即可求解.
21、【解答】解：由题意可知，所以函数为偶函数，又，当时，即在上单调递增，则易判断，所以由单调性可得，故选A23. 【答案】D【解析】【分析】本题考查导数的应用，不等式求解，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性及极值，属于中档题.设，求导判断出的单调性及极值，利用单调性及极值，结合分类讨论即可求出不等式的解集.【解答】解：，当时，；设，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，则时，有极大值为，所以，又当时，；所以的解集为故选24. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及分离参数与函数值域的求法知识点，属中等题根据题意原不等式即恒成立，根据分离变量法求解.【解
22、答】解：由可知的定义域为R，且为奇函数，则在R上单调递增，即，根据函数单调性有：，可设则，式即恒成立，当时，则实数m的取值范围是故选25. 【答案】D【解析】解：设，时，时，在上是减函数，又时，是R上的奇函数，是R上的偶函数，在上是减函数，故选：可设，根据条件即可得出时，即得出在上是减函数，并根据条件可判断出是偶函数，这样即可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系本题考查了通过构造函数解决问题的方法，基本初等函数和商的导数的计算公式，奇函数和偶函数的定义及判断，根据导数判断函数单调性的方法，减函数的定义，考查了计算能力，属于中档题26.【答案】C【解析】，.令,则,为R上的奇函数，,当时, ,在上单调递减.又为R上的奇函数, 在R上单调递减. f(m-1)- 即是R上的减函数,解得.故选C.